李宏 张斯淇 郭明 李美萱 宋立军†

1)(吉林工程技术师范学院量子信息技术交叉学科研究院,长春 130052)

2)(吉林省量子信息技术工程实验室,长春 130052)

1 引 言

单光子源在量子光学领域至关重要,理想的单光子源在量子信息和量子通信领域意义重大.1997年,Imamoglu等[1]首次提出光子阻塞的概念,光子阻塞效应是实现单光子源的方法之一.2010年,Liew和Savona[2]在弱Kerr非线性条件下仍获得强的反聚束效应,首次提出非常规光子阻塞的概念.近年来,腔光力系统在理论和实验上都取得了快速的发展[3-7],为量子现象和光学效应研究提供了新途径,尤其在非线性方面为光子阻塞机制实现单光子源奠定了基础.Birnbaum等[8]首次在腔量子电动力学(quantum electro-dynamics,QED)系统中成功观测到光子阻塞效应以来,人们分别在耦合空腔阵列[9,10]、一维光波导[11]、量子腔耦合系统[12]、光学系统[13-22]和电路QED系统[23]中观测到光子阻塞现象.在实现非常规光子阻塞方面同样进展迅速,如耦合单量子点腔系统[24]、有损双模纳米谐振腔系统[25,26]、三阶非线性耦合的单模腔[11,15,27]、二阶非线性耦合腔[10,28]、高斯压缩态[29]和耦合光机械系统[30]等均观测到了非常规光子阻塞现象.2018年,Wicz等[31]利用非互易量子光学首次揭示了依赖方向的光子阻塞效应.同年,石海泉等[32]在多模光力系统中研究了非传统声子阻塞效应.

本文研究基于包含简并光学参量放大(optical parametric amplifier,OPA)的Fabry-Perot腔内实现非常规光子阻塞的可能性.尽管相关系统与内容已经有人研究,但本文包含复合型驱动强度的相位,并解析给出包含此相位的最优化条件.通过数值模拟,验证了优化条件的有效性.研究发现复合型驱动的相位对非常规光子阻塞效应有着显著的影响.

2 物理模型

考虑典型的光力系统：在Fabry-Perot腔中包含简并的OPA装置,如图1(a)所示,系统的哈密顿量可以写为[33]

其中a(a†)是 光模的降(升)算符,ωa是腔场的共振频率,ωl是驱动激光频率,Ωeiφ是复合型驱动强度,G是OPA的非线性增益,θ是外场驱动OPA的相位.

假设驱动强度Ω非常小,通过U=exp[iωlta†a]旋转变换,有效哈密顿量变为

其中Δa=ωa-ωl表示腔的失谐量.在下面的研究中,主要探索相位φ对光子阻塞的影响.

图1 (a)用激光抽运OPA,在腔内产生参量放大的腔结构示意图;(b)量子干涉系统的跃迁路径Fig.1.(a)Schematic diagram of the cavity setup with an OPA which is pumped by a laser to produce parametric amplification in the cavity;(b)transition paths of the system for quantum interference.

用等时二阶关联函数分析光子阻塞效应,其表达式如下：

二阶关联函数g(2)(0)＞1 表示光子存在聚束效应,会极大提高腔内双光子存在的概率,反之g(2)(0)＜1表示光子存在反聚束效应,会有效抑制腔内双光子存在的概率.如果二阶关联函数g(2)(0)!0,表示系统处于完全光子阻塞机制下,腔内同时出现两个光子的概率趋近于零.

考虑到系统的耗散,系统动力学演化过程可以由如下主方程描述：

其中κ表示腔的耗散率.通过数值求解主方程得到稳态解

3 数值结果

图2 等时二阶关联函数g(2)(0)随OPA非线性增益G的变化Ω/κ=0.01,θ=-0.0341π,Δa=1Fig.2.Variation curves of the zero-time-delay second-order correlation functiong(2)(0)with the nonlinear gainGof the OPA.Other parameters areΩ/κ=0.01,θ=-0.0341π,Δa=1.

图3 等时二阶关联函数 l g[g(2)(0)]数值结果随OPA非线 性 增 益G和 相 位θ的 等 高 线 图Ω/κ=0.01,Δa=1,φ=0.5radFig.3.C[ontour p]lot of the second-order correlation functions l gg(2)(0)vs.the nonlinear gainGof the OPA and phaseθ.Other parameters areΩ/κ=0.01,Δa=1,φ=0.5rad.

本文所有计算结果都是基于弱驱动条件,令Ω/κ=0.01,数值模拟结果如图2和图3所示.为方便起见,将耗散率κ归一化.在图2中,展示了关联函数数值计算结果随相位φ和G的变化,结果表明对于不同的G存在光子反聚束效应.相位φ分别取0.5,0.8和1.2 rad,数值结果表明φ=0.5rad时对应优化的强反聚束效应.为了[得到对应]反聚束效应的优化参数,图3展示了 l gg(2)(0)随OPA非线性增益G和相位θ的等高线图,其他参数为φ=0.5rad,Δa=1 .由图3可见,在一小区域内g(2)(0) 1,这区域内选定参数可实现强的反聚束效应.

4 光子阻塞最优条件

系统演化过程用Fock态表示,假设初始时刻处在j0i态 上,系统含时演化的态jΨi为

其中Cm(m=0,1,2)表示量子态的概率幅,通过求解薛定谔方程可得到Cm,考虑到系统的耗散情况,此时薛定谔方程为

有效非厄米哈密顿量

通过对系数耦合方程组的求解,可以得到稳态解.当态j2i等于0时,系统可达到完全光子阻塞效应,在此条件下可以解出光子阻塞的最优化条件.因此,在(9)式中,令C2=0,在弱驱动条件下,方程(9)中第一个式子总是近似满足,所以只需考虑最后两个方程进行计算：

为了保证C0和C1有非奇异解,可解析给出优化条件

和

其中“opt”表示G和θ的优化解.值得一提的是,这些条件取决于腔失谐、驱动激光振幅和复合驱动强度的相位.由于最优条件与驱动OPA的抽运场参数相对应,所以这些参数可以通过调节OPA抽运场来控制.当最优条件(11)和(12)式同时满足时,可获得较强的反聚束效应.

把方程(6)代入方程(3),在弱耦合条件下,态的概率幅满足C0C1C2,此时得到等时二阶关联函数

在弱抽运极限下,基态布居数近似为1,其他能级布居数微乎其微,可忽略不计,在这种情况下,方程(9)变为

求解(14)式得到

通过数值求解方程(3)模拟了 l g[g(2)(0)]随外场驱动OPA的相位θ和复合型驱动相位φ变化的等高线图,结果如图4所示.其中G满足(11)式,即G=Gopt.其中红色虚线由(11)式画出,研究发现非常规光子阻塞发生的地方正好是[G取最]优值的地方.同样地,在图5中,模拟了 l gg(2)(0)随非线性增益G和复合型驱动相位φ变化的等高线图,其中θ满足(12)式,即θ=θopt.其中红色虚线部分由(12)式画出,发现非常规光子阻塞发生的地方正好是θ取最优值的地方.由此可知,光子的统计性质可以通过改变复合型驱动强度的相位φ、OPA的非线性增益G和外场驱动OPA的相位θ来调节.系统的跃迁路径如图1(b)所示,双光子激发共有2条跃迁路径,一条是由驱动场激发从j0i态到j1i态,然后从j1i态 再到j2i态;另一条是 OPA作用直接从j0i态 到j2i态.当满足阻塞优化条件时,这两条路径上的光子发生量子干涉相消,干涉的结果为光子不能占据j2i态,所以发生强反聚束效应,即产生光子阻塞效应.

图4 等时二 阶 关联函数 l g[g(2)(0)]数 值结果随 相 位 θ 和φ的等高线图 Ω /κ=0.01,Δa=1,G=GoptFig.4.C[ontour p]l ot of the second-order correlation functions l gg(2)(0)vs.the phase θ and φ .Other parameters are Ω /κ=0.01,Δa=1,G=Gopt.

图5 等时二阶关联函数lg[g(2)(0)]数值结果随OPA非线性增益G和相位φ变化的等高线图Ω/κ=0.01,Δa=1,G=GoptFig.5.C[ontour p]lot of the second-order correlation functions l gg(2)(0)vs.the nonlinear gain of the optical parametric amplifier G and phase φ .Other parameters areΩ/κ=0.01,Δa=1,G=Gopt.

在图6中,分别数值模拟了二阶关联函数g(2)(0)随 非线性增益 G 和相位 θ 的变化.图6(a)为模拟得到的 g(2)(0)随 G 的变化曲线,蓝色实线是由数值求解方程(3)得到的,红色菱形是由(13)和(15)式得到的解析结果,其中 θ=θopt和 φ=0.5rad;图6(b)为模拟得到的 g(2)(0)随 θ 的变化曲线,蓝色实线是由数值求解方程(3)得到的,红色圆形是由(13)和(15)式得到的解析结果,其中 G=Gopt和φ=0.5rad.可以看出数值模拟与解析结果相符合,说明了解析结果的正确性.

5 结 论

图6 (a)二阶关联函数 g (2)(0)随OPA非线性增益 G 的变化,其中蓝色实线由数值求解方程(3)得出,红色菱形由(13)和(15)式解析得出;其他参数为Δa=1,Ω/κ=0.01,φ=0.5rad,θ=θopt;(b)二阶 关 联 函数 g (2)(0)随 相位 θ 的变化,蓝色实线由数值求解方程(3)得出,红色圆形由(13)和(15)式解析得出;其他参数为Δa=1,Ω/κ=0.01,φ=0.5rad,G=GoptFig.6.(a)The second-order correlation functionsg(2)(0)vs.the nonlinear gain of the optical parametric amplifier G;the blue solid line indicates the numerical results by numerically solving Eq.(3)and the red diamond corresponds to the analytical results of Eq.(13)and Eq.(15);other parameters are Δa=1,Ω/κ=0.01,φ=0.5rad,θ=θopt;(b)the second-order correlation functions g (2)(0)vs.the phase θ;the blue solid line indicates the numerical results by numerically solving Eq.(3)and the red diamond corresponds to the analytical results of Eq.(13)and Eq.(15).Other parameters areΔa=1,Ω/κ=0.01,φ=0.5rad,G=Gopt.

本文研究了在Fabry-Perot腔和OPA复合系统中实现非常规光子阻塞效应,给出了光子阻塞出现的最优化条件.研究发现,可以通过调整复合驱动强度中的相位来实现光子反聚束效应.本文考虑了弱驱动和弱非线性条件,通过选择最优解,从数值和解析两方面论证了系统的强反聚束现象,发现数值模拟与解析结果是一致的.本研究为精确控制光子阻塞提供了方案,并为制备优良单光子源提供了理论基础.