拨云见日
2019-06-19陈爱强
陈爱强
【中图分类号】G634.6
【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2019）13-0257-01求圆锥曲线的离心率问题是高考中常考的问题，在高考试题中处于重要的位置，也是高考中解析几何试题的一个倍受青睐的考查点，其求解策略的关键是建立目标的方程式或不等式，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率的值；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围。由于它涉及圆锥曲线较多的基本量，方程与曲线问题，方程组与不等式的求解问题，等等，所以相对比较复杂，学生常常感到难以下手，迷雾重重，不好把握。下面就通过近年的一些高考题和模拟题的分析、研究和求解，总结出一般的解题策略和方法，期望能拨云见日，马到功成。一、根据条件先求出a，c，利用e=ca求解其关键是找出a，c的两个关系式从而求e.例1 若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），F2（3，0），则其离心率为（
）A.34 B.23 C.12 D.14解析：由F1、F2的坐标知 2c=3﹣1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a﹣c=1，a+c=3，∴a=2，c=1，所以离心率e=ca=12.故选C.二、构造一个关于a、b、c、e的齐次方程式求e其中关键是找出一个关于a、b、c、e的齐次方程式，然后对其中的b（其中椭圆和双曲线区分）用a、c的表达式代入，最后在方程的左右两边同除以a的最高次数从而列出一个关于e的方程求e。要注意椭圆离心率的取值范围e∈（0，1），双曲线离心率的取值范围e∈（1，+∞），在抛物线中，离心率e=1.1.根据圆锥曲线的几何性质等建立a，c方程式求解。例2 设双曲线x2a2﹣y2b2=1（0
B.22
C.
12 D. 24解析：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F，则MF⊥x轴，知|MF|是通径的一半，则有|MF|=22。由圆锥曲线统一定义，得离心率e=|MF|d=22，从而选B。三、求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围问题这类问题是高考的一个热点，也是一个难点，求离心率的难点在于如何建立不等关系定离心率的取值范围.通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何关系量的大小及圆锥曲线相关性质等，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列出不等式.1.由已知条件直接找出一个不等式来求e。例4 椭圆x2a2+y2b2=1的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N.若|MN|≤2|F1F2| ，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A.（0，12] B.（0，22] C.[12，1） D.[22，1）解析：D. ∵两准线距离为2a2c，又∵|F1F2|=2c，∴2a2c≤4c，即a2≤2c2，∴22≤e<1.本题主要考查准线方程及椭圆离心率的求法，而限制条件即是题目中的，故利用题设得到与离心率相关的不等式即可.2.利用三角形三边关系。例5、（福建）双曲线x2a2=y2b2=1（a>0，b>0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.（1，3）
B.（1，3] C.（3，+∞）
D.[3，+∞）解析：可用三角形三边关系求解，但注意取等条件.在△PF1F2中|PF1|-|PF2|<|F1F2|，|PF1|+|PF2|≥|F1F2|（后者在P与A1重合时取等），又|PF1|-|PF2|=2m-m=m=2a，则2a<2c且3m=6a≥2c，∴e∈（1，3].只要与焦点三角形相关的问题可以考虑用三角形三边关系来建立不等式.3.运用函数思想求解离心率。例6：若a>1，双曲线x2a2-y2（a+1）2=1离心率e范围是（ ）A.（2，2） B.（2，5） C.（2，5） D.（2，5）解析：B. e=1+（a+1）2a2=（1a+1）2+1.∵a>1，∴0<1a<1，根据二次函数值域可得2 B.（0，12] C.（0，22 D.[22，1）解析：C. M轨迹为以焦距为直径的圆， M总在椭圆内部，知：c C.（3，+∞） D.[3，+∞）解析：B.设|PF2|=m，∠F1PF2=θ（0<θ≤π），当P点在右顶点处θ=π，e=2c2a=m2+（2m）2-4m2cosθm=5-4cosθ.∵-1≤θ<1，∴e∈（1，3].根据第一定义结合余弦定理将离心率转化为角的函数，再利用三角函数求最值。总之，在圆锥曲线中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，很多学生很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以上，总结一些处理问题的常规思路，如果能理解并在解决问题时灵活运用，往往能在山重水复迷雾重重时，就能拨开云雾，柳暗花明。参考文献[1]张瑞炳.《 百题过关》. 上海：华东师范大学出版社，2012.[2]王昊. 圆锥曲线的解题技巧.考试周刊，2011年第76期.
