丁亚明 金锋 朱亚敏 黎振远

【摘 要】本文以平面简谐波的波函数的建立为例，从提出问题出发，然后分析问题并建立数学模型进行讨论，最后总结归纳并拓展应用。以期通过这种教学模式开展大学物理课程的教学，以增强学生分析问题和解决问题的能力。

【关键词】大学物理；教学模式；能力培养；简谐波波函数

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）10-0008-03

大学物理课程是高等学校理工科各专业学生一门重要的必修基础课程。在此课程的教学过程中，不仅仅要重视物理知识的传授，还应注重学生分析问题和解决问题能力的培养，注重学生探索精神和创新意识的培养，努力实现学生知识、能力、素质的协调发展[1]。

物理学的基本规律是大学物理课程讲授的重要内容之一。在教学中，一般由创设问题情景出发，然后分析问题，找出影响问题解决的各种可能因素，再建立数学模型对各种因素进行充分讨论分析，并归纳总结，从而得出一般性的规律，最后讨论此规律的深刻含义及相关

应用。

这是研究复杂问题的基本方法，也是比较理想的物理教学模式，非常有利于增强学生分析问题和解决问题的能力。现以平面简谐波的波函数的建立为例，谈谈如何在大学物理课程教学中注重学生分析问题和解决问题能力的培养，实现学生的全面发展。

1 提出问题

波动是自然界中常见的也是非常重要的运动形式之一。自然界波动形式是多种多样的，如声波、水面波、地震波、电磁波等。各种类型的波各有特性但更有共性。大学物理教材[2-3]一般以简单直观的平面简谐波为理想模型，讨论波动的基本性质。

对于波面为平面的机械波而言，如果波源做简谐振动，弹性介质是均匀、无吸收的，则形成的波动称为平面简谐波。那么表征平面简谐波波动规律的波动方程是什么呢？即得求出平面简谐波的波动方程的一般形式。

2 分析问题

根据对波动的理解，波动过程是振动状态（相位）向前传播的过程。平面简谐波在介质中传播时，各质点并不“随波逐流”，只是在重复波源的运动状态，即在自身平衡位置附近作简谐运动。所以，要确定波动方程，即要概括出所有质点的振动规律。

由于平面简谐波要求弹性介质无吸收，即能量在传递过程中没有损失，所以各质点的振幅均保持一致。所以，波动方程应该体现位于不同位置处的质点，在不同时刻相位上的差异。由波动的物理过程可知，这种差异源自于各点相对于波源的距离和波动的传播速度。考虑到对于平面简谐波，要求弹性介质均匀各向同性，波速的大小是一常量。所以，可以考虑已知介质中某一质点的简谐振动方程，在不同传播方向情况下的波动方程形式，再进行总结归纳。

3 建立数学模型

物理学中，将各质元的位移随其平衡位置和时间t变化的数学表达式叫做简谐波的波函数。现假设介质均匀、无吸收，波速大小为。在介质中某质点P的振动规律为 （1）

式中A是振幅，是圆频率，是初相位。

根据对波動的理解，波动过程是振动状态向前传播的过程，进行如下几种情况的讨论：

情况1.若已知P点位于坐标原点处，波沿轴正向传播。沿波的传播方向，在P点后方任取一点C，设其坐标为，则PC之间的距离为，振动状态从P点传播到C点所需要时间为。若P振动时间为，则C点振动时间为。P点相位为时，C点相位为，即

C点的振动方程可写为。

因为C点是在P点后方任取的一点，所以描述此种波动现象的波函数形式为

（2）

同理可求得，情况2.当P点位于坐标原点处，波沿轴负向传播时的波函数形式为

（3）

情况3.若P点位于坐标处，波沿轴正向传播时的波函数形式为

（4）

情况4.若P点位于坐标处，波沿轴负向传播时的波函数形式为

（5）

4 总结归纳

4.1 符号说明

通过比较上述四种情况的讨论可知，对第1种情况和第3种情况，即如果波动沿着轴正向传播，波函数中表示质点所在空间位置的前面符号是“-”号。对第2种情况和第4种情况，即如果波动沿着轴负向传播，波函数中表示质点所在空间位置的前面符号是

“+”号。

4.2 波函数的形式

对第1种情况和第2种情况下波函数的形式进行归纳可知，平面简谐波波函数的形式为

（6）

总结上述第三种和第四种情况的讨论结果，可得平面简谐波波函数的形式为

（7）

4.3 两种形式比较

如果将（7）式中关于的项放到括号外，则有

= （8）

由于已知，若令，则上式可写成

（9）

上式与（6）式形式上相同，只是相位上相差一个常量。这个常量是由于质点所在空间相对位置不同所引起的。根据对波动规律的理解，这个常量的存在对于空间波动上某一质点的运动描述是非常重要的，但对于整个波动过程，或是描述波动规律来讲没有影响。所以（6）式可以作为波动方程的一般形式。在（7）式中，若取

，即已知振动规律的点位于坐标原点处，则（7）式回到了（6）式。从这种意义上讲，波函数的表达式（7）式更具有一般意义。如果已知振动规律的点的坐标，以及波动传播方向，则可以根据（7）式写出此波动的波动

方程。

5 应用举例

如图1所示，一平面简谐波以速度m·s-1沿直线传播。已知在传播路径上某点A的简谐运动方程为（SI），则（1）以点A为坐标原点，写出波动方程；（2）以距点A为5 m的点B为坐标原点，写出波动方程[2]。

图1

解析：（1）已知振动规律的A点为坐标原点，波沿着轴正向传播，所以取式（6）为波函数一般形式，即

（SI）

（2）以B点为坐标原点，则已知振动规律的A点的坐标为，波沿着轴正向传播，所以直接取（7）式表达的波函数形式

（SI）

以上对平面简谐波波函数的建立的讨论，不仅使学生加深了对波动的物理过程的理解，波动过程是振动状态即相位向前传播的过程，还使其形成了描述波动规律的波函数的知识结构。更重要的是，这样的教学模式会引导学生体会收获物理学基本规律的分析思考过程，以提高他们分析问题和解决问题的能力，并培养其探索精神和创新意识。

【参考文献】

[1]教育部高等学校物理学与天文学教学指导委员会，物理基础课程教学指导分委员会.理工科类大学物理课程教学基本要求理工科类大学物理实验课程教学基本要求[M].2011.2

[2]东南大学等七所工科院校.物理学（第五版）下册[M].北京：高等教育出版社.2006.3.

[3]张三慧.大学物理学（力学、热学）（第三版）[M].北京：清华大学出版社.2008.9.

【作者简介】

丁亚明（1983～），男，汉族，江苏泰兴人，讲师，理学硕士，主要从事大学物理课程和大学物理实验课程的教学工作.