郑金萍

【摘 要】恢复高考40年，回眸一些试题，虽经岁月洗礼，但却仍然不失为经典中之经典。这些经典试题在培养学生的数学核心素养方面发挥着重要的作用。本文简单分析了高考40年来，高考数学中出现的经典试题，以及通过40年的演变所体现的数学核心素养。

【关键词】经典；高考；数学；核心素养

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）10-0188-02

1 1981年全國统一高考数学试卷（理科）第9题

（1981年全国统一高考数学试卷（理科）第9题），给

定双曲线。

（1）过点A（2，1）的直线l与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程。

（2）过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。

解：（1）设直线l的方程为 ①

将①代入双曲线方程得：

②

又设，，则是②的两个实根，所以：

所以，又因为在l上，

得，消去k得所求轨迹得普通方程

为。

（2）设所求的直线方程为，代入双曲线方程整理得：

③

设，，则，是③式的两

个实根，如果B是的中点，则有，解得k。又因为k=2，不满足

，所以满足题设条件的直线不存在。

经过近40年的演变，仔细分析试题发现它对培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据分析等数学核心素养发挥着重要的作用，仍然是经典中的经典，它被选入在现行教材人教A版选修2-1中。

2 人教A版《数学》选修2-1第62页习题2.3B组第4题

人教A版《数学》选修2-1第62页习题2.3B组第4题[1]：已知双曲线，过点P（1，1）能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？

由题目一可知此题不存在直线l，点P恰好是AB的中点，而当点变为（2，1），结果就不一样了。

变式：已知双曲线，过点P（2，1）的直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l的方程。

解法1：设所求直线为y-1=k（x-2），将其代入双曲线方程整理得

又设直线与双曲线得交点为，

则、是方程得两个根，又P为AB得中点，于是，解得k=4，故所求直线方程为。

解法2：设，则有

，

①-②得=4，即，故所求直线方程为。

解法3：设直线的参数方程为，代入

得。

又设直线与双曲线的交点为A、B，则方程的两个根t1，t2是A、B对应的参数，P为AB的中点，所以，解得，故所求直线方程为。

解法4：由题意设A（x，y），B（4-x，2-y），将A，B代入双曲线方程相减得，即是中点弦所在的直线

方程。

解法5：由题意可设A（2+m，1+n），B（2-m，1-n），则。将A，B代入双曲线方程相减得。故AB的直线方程为。

40年的变革，高考数学试题从最初的“重视双基”到正在试行和全面开展的“重视核心素养”的重大变革，而题目依旧经久不衰。《中国学生发展核心素养》提出了核心素养的总体框架和基本内涵，高考评价体系确立了高考中学科素养的考查目标，标志着中国高考正在实现从能力立意到素养导向的历史性转变。

能力立意强调知识、智力、能力和技能的考查，题目的特点是追求知识覆盖力求全面，题目结构完整，目标指向明确，要求一定的反应速度[2]。素养导向不但强调知识和智力，更要求知识的迁移和后天的习得。题目的特点是不追求题目结构完整，追求目标指向开放，要求临场思考发挥，目的在于更清晰、准确地考查学生的智力水平、思考深度、思维习惯和科学态度[3]。数学学科的六大核心素养，既有相互独立性，又有相互交融性，形成一个有机整体，是需要通过每一个数学教学活动去渗透和实现，需要我们积极主动去实践和挖掘。

【参考文献】

[1]普通高中课程标准实验教科书人教A版《数学》选修2-1[M].北京.人民教育出版社.2005.

[2]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准[G].北京：人民教育出版社，2017.

[3]党永生.教研论文撰写导航[M].兰州：甘肃教育出版社出版，2015.