蒋戎戎 任金莲

摘   要：光滑粒子動力学（SPH）法是一种纯无网格方法，将其推广应用到Gross-Pitaevskii方程（GPE）的模拟时，出现精度低和稳定性差的问题。因此，本文首先引入时间分裂法将GPE分解为线性导数和非线性项两个微分方程;其次对线性导数部分运用隐式修正SPH方法进行求解，对非线性部分用二阶分裂格式;最后采用MPI并行技术以提高计算效率，得到一种能够高效、准确模拟三维GPE的基于时间分裂隐式修正SPH方法。

关键词：光滑粒子动力学  Gross-Pitaevskii方程  时间分裂  并行计算

中图分类号：O241                                 文献标识码：A                        文章编号：1674-098X（2019）02（b）-0251-02

1  光滑粒子流体动力学方法的提出

近年来提出许多求解Gross-Pitaevskii方程（GPE）的数值方法，如有限元法[1]、有限差分法[2]、无网格法[3]和时间分裂伪谱法[4]等。各种无网格方法也得到了发展，其中光滑粒子流体力学方法[5-7]是一种纯无网格方法。与基于网格的方法相比，粒子法有一个主要优点，那就是在编程和并行化中，对于复杂的三维问题，特别是在区域上粒子分布不均匀的情况下，很容易实现。目前将利用现有改进的SPH方法、隐式格式和时间分裂法优点开发一种并行的隐式修正的SPH方法运用于求解GPE中。

2  分裂隐式修正并行SPH方法

2.1 分裂方法

时间分裂伪谱法[4]是求解GPE的常用方法，其精度高、效率高。

2.2 分裂隐式修正SPH格式

2.2.1 修正SPH格式

传统SPH方法的简单描述：传统SPH方法是基于核函数[5-6]积分插值的插值理论。在SPH方法中，计算域被离散成有限数量的粒子，每个粒子携带一些物理量，具体取决于问题。对于任意函数及其在处的一阶导数[5-6，9]，引入占据体积，得到粒子处的粒子近似方案[8]。

2.3 并行实现

SPH方法需要确定相邻粒子，这导致了计算内存和CPU计算时间的增加，尤其是对于三维问题。为了提高计算效率，提出了几种基于背景网格的粒子搜索方法，其中基于背景网格的粒子搜索技术在流体流动问题中被广泛采用。SPH方法具有与分子动力学方法相同的特点，易于实现消息传递接口（MPI）的并行化。

3  结语

在对Gross-Pitaevskii方程（GPE）的模拟时，传统光滑粒子动力学（SPH）方法易出现精度低和稳定性差的问题。因此，本文引入时间分裂法，运用隐式修正SPH方法求解线性导数部分，运用二阶分裂格式对非线性部分进行求解，并采结合MPI并行技术提高计算效率，给出一种能够稳定、高效、准确模拟三维GPE的基于时间分裂隐式修正SPH方法。

参考文献

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