黄硕程，陈 星

（四川大学 电子信息学院，四川 成都 610041）

0 引 言

随着无线通信的发展，用户对数据传输速率的要求越来越高，且通信的频谱资源越来越紧张。如何在有限频谱资源内进一步提升数据传输速率，成为当前研究的一个热点问题。在卫星通信中，成对载波多址接入[1]和物理层网络编码[2]等体制已被提出并应用。此时，收发两端在同一频带内同时发送一个单载波信号，在一个时隙内实现用户数据交互。但是，这些机制都是针对单载波信号实现的，形成的混合信号容易被识别。正交频分复用技 术（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）由于频谱效率高等优点被广泛使用，若通信双方同时传送OFDM信号不仅能进一步提升数据传输速率，而且这种多载波混合信号还能增强混合信号的抗截获能力。要实现多载波混合信号通信机制的关键，是如何在接收端恢复原始信号，需要同时估计各个混合信号的调制参数和信道响应。其中，时延是一个重要的调制参数，直接影响多载波混合信号的分离性能。

目前，关于多载波时延估计算法的研究都是基于单个OFDM信号展开的，如基于训练序列的方 法[3]、基于循环平稳特征方法[4]以及基于最大似然准则的算法[5]等。混合信号的研究主要关注的是单载波混合信号，其时延估计算法包括基于最大似然估计方法[6-7]、基于循环自相关估计方法[8-9]以及联合参数估计方法[10-11]等。然而，这些方法并不适用于多载波混合信号。目前公开文献中也未见关于多载波混合信号的研究。

鉴于此，本文提出一种多载波混合信号时延估计算法，将为实现多载波混合信号通信机制奠定基础。除此以外，本文还分析了多载波混合信号时延估计的克拉美罗界。下面将分别分析信道衰减、滤波器等信号参数和未知两种情况对应算法的理论基础和实现步骤。

1 系统模型

目前，混合信号的研究基本都是围绕由两个信号构成的混合信号展开的。本文也选用由两个OFDM信号组成的多载波混合信号作为研究对象。此时，接收信号可以被表示为：

式中xi(t)表示第i个OFDM信号，v(t)表示高斯白噪声，并且x1(t)、x2(t)和v(t)相互独立。

在卫星通信中，第i个OFDM信号xi(t)可被表示为：

式中hi、fi和iφ分别表示信号的信道衰落、载频和初始相位；aim,n表示第i个OFDM信号第m个子载波的第n个传输序列；Ni和Li分别表示OFDM信号的子载波数和循环前缀长度；Ti和ti为OFDM信号的符号速率和传送时延；gi(t)表示成形滤波器。

不考虑循环前缀时，式（2）能被简化为：

通过P倍过采样得到离散信号为：

其 中xi(u)=xi(t)|t=uTs，gi(u)=gi(t)|t=uTs，Ts=T/P，i=1,2，且：

基于上面的信号模型和假设，下面将分别讨论信道衰落hi和滤波器gi(t)等信号参数已知和未知两种条件下的时延估计方法。

2 时延估计算法

自相关函数定义为：

式中上标“*”表示共轭运算。

将式（5）代入式（6），可得单个OFDM信号的自相关函数为：

式（7）满足：

因此，m2xi(u,τ)是一个周期函数，它的傅里叶级数可表示为：

由帕斯瓦尔定理，可知：

其中Gi(f)是gi(u)的傅里叶变换。

令：

此时，式（9）可被重写为：

由于x1(t)、x2(t)和v(t)相互独立，因此多载波混合信号x(t)的自相关函数可被表示为：

通过式（13）不难发现，m2x(u,τ)也是一个周期函数，它的傅里叶级数可被表示为：

当k≠0或τ≠0时，式（14）能被简化为：

利用式（15），下面将分别讨论信道衰减和滤波器等参数已知和未知条件下对应的时延估计 算法。

2.1 方法一

此时，假设接收方已知信道衰减和滤波器等参数，即h1、h2、F1和F2已知。将S2x(k,τ)重写为：

式中A=|h1|2F1(k,τ)/P，B=|h2|2F2(k,τ)/P，且：

式（16）中的实部和虚部能被分别表示为：

S2x(k,τ)能够直接通过接收数据计算得到，因此式（19）和式（20）中|S2x(k,τ)|和φ被认为是已知的。同时考虑到方法一中信道衰减和滤波器参数已知，那么A和B也被认为是已知的。此时式（19）和 式（20）仅包含两个未知参数，可直接通过求解方程组得到α和β的值，表达式为：

或：

式（21）和式（22）是两组不同的解，这是由盲估计的模糊特性导致的，此时需要辅助数据来消除错误解。

当α和β的解被求出后，将其代入式（17）和式（18），可得到两个OFDM信号的估计时延，如下：

为了提高估计精度，选择不同τ估计得到时延的平均值作为最终估计结果。

通过前面的分析，方法一的求解步骤能被概 括为：

（1）给定k值，通过式（24）计算混合信号循环自相关函数；

（2）通过式（21）或（22）计算中间变量α和β的值；

（4）当τ＜D（D＜N）时，τ=τ+1，并返回步骤（1）；（5）当τ=D，计算估计时延的平均值。

2.2 方法二

此时，信道衰减和滤波器等参数是未知的。 式（15）可被重写为：

式中：

当k分别等于1和-1时，可得方程组：

一般情况下，成形滤波器选用升余弦滚将滤波器。此时，滤波器gi(t)为实偶函数，其傅里叶变换Gi(f)也为实偶函数，因此可得：

将式（29）代入（27），可得：

因此，式（28）可重写为：

通过解方程组，可得：

当且仅当f1≠f2，式（32）和式（33）才有效。实际接收中，该条件一般都满足。此时，可通过 式（34）估计各个OFDM信号的时延。

同样，为了提高估计精度，方法二也选择不同τ估计得到时延的平均值作为最终估计结果。此时，方法二的估计步骤与方法一类似，唯一的区别在于中间变量发生了变化，在此不在赘述。

3 理论界分析

不失一般性，假设在一段时间内各个OFDM信号的时延保持不变。通过式（4）可得混合OFDM信号的似然函数为：

式中K表示OFDM符号总长度。

通过确定参数克拉美罗不等式，其估计时延iε^的方差满足：

式中Jii表示矩阵I-1的第i个对角元素，并且I表示Fisher信息矩阵，可表示为：

由于x1(t)、x2(t)和v(t)相互独立，因此：

此时，多载波混合信号估计时延的克拉美罗界能表示为：

通过式（41）可知，多载波混合信号估计时延的理论界与符号长度K、噪声功率σv2、采样率以P及信道增益hi相关，且将随着K、P或hi的增加而减小，反之亦然。

4 仿真实验和分析

本节采用MATLAB仿真评估多载波混合信号时延估计算法的性能，并考察观测数据长度、信号载频差异以及信噪比等因素对估计性能的影响。随机产生两路独立的OFDM信号，子载波调制方式为QPSK，子载波数为32，且其符号速率Rb为512。升余弦滤波器滚降系数为0.33，时延为5，信道噪声为高斯白噪声。不失一般性，假设两个信号的载频分别为0.1Rb和0.2Rb，传输时延分别为0.3T 和0.5T。

此时，时延估计均方误差（MSE）被定义为：

4.1 实验1

本实验将验证载噪比对多载波混合信号时延估计性能的影响。当OFDM符号长度为2 000时，在不同载噪比条件下时延估计的仿真结果如图1所示。

图1 不同载噪比条件下时延估计误差

图1 中，当载噪比小于18 dB时，方法一和方法二的均方误差将随载噪比的增加而减小，而当载噪比大于18 dB时，均方误差趋于平稳，且方法一的性能明显优于方法二。

多载波混合信号时延估计误差主要来自于噪声和统计误差。当信噪比较小时，噪声起主导作用，此时均方误差将随载波的增加而减小；当载噪比足够大时，均方误差主要来源于信号的统计误差，与符号长度密切相关。实验中，符号长度是固定的，因此当载噪比足够大时均方误差趋于平稳。

4.2 实验2

本实验将验证符号长度对多载波混合信号时延估计性能的影响。

当载噪比为10 dB时，在不同符号长度条件下时延估计的均方误差如图2所示。

图2 不同符号长度条件下时延估计误差

图2 中，方法一和方法二的均方误差随着符号长度的增加而减小，且方法一的性能优于方法二，并接近理论界。

当载噪比给定时，时延估计误差将随着符号长度的变化而变化。当符号长度增加时，统计误差将变得更小，与实验结果一致。

4.3 实验3

本实验将验证多载波混合信号之间的频率间隔对时延估计性能的影响。定义频率间隔为：

式中fi表示第i个OFDM信号的载频。

当载噪比为10 dB、符号长度为2 000时，在不同频率间隔条件下的仿真结果如图3所示。

图3 不同频率间隔条件下时延估计误差

图3 中，方法二的均方误差随着频率间隔的增加而减小，而方法一的性能基本保持不变。

式中，Mid的模与sin(2πΔfTτ/P)成正比。当P＞4时，|Mid|的值随着Δf的增加而增加。实验中过采样率P=8，因此估计误差将随着Δf的增加而减小，这与实验结果一致。

方法一的求解过程与Δf不相关，因此它的均方误差几乎不受频率间隔的影响。

4.4 实验4

本实验将验证已知载频的精度对时延估计性能的影响。定义频率精度为：

式中fi为第i个OFDM信号的真实载频，表示接收端已知的第i个OFDM信号的载频。

当载噪比为15 dB且符号长度为2 000时，不同频率精度条件下方法一的均方误差仿真结果如 图4所示。

图4 不同频率精度条件下方法一时延估计误差

图4 中，当τ≠0时，方法一的均方误差随着df的增加而变大；而当τ=0时，方法一的均方误差几乎不受df的影响。

回顾式（22），它能被重写为：

式中u代表α或β。

式（46）中，当且仅当τ=0时，估计时延与载频无关，这与实验结果一致。实际应用中，载频估计误差不可避免，因此通常选择τ=0来规避频率精度带来的影响。

当载噪比为15 dB且符号长度为2 000时，不同频率误差条件下方法二的均方误差仿真结果如 图5所示。

图5 不同频率精度条件下方法二时延估计误差

图5 中，方法二的均方误差随着df的增加而变大，且两条曲线基本重合。为了保证解调性能（即时延估计误差必须小于10-3），因此频率误差必须小于2%。

为了保证算法的有效性，τ不能等于0，因此频率精度带来的影响不可避免。

4.5 实验5

本实验将验证已知信道增益的精度对时延估计性能的影响。定义信道衰减参数的精度为：

式中hi是第i个OFDM的信道衰减参数，是接收端已知的信道衰减参数。

当载噪比为15 dB且符号长度为2 000时，不同信道衰减精度条件下方法一的均方误差仿真结果如图6所示。

图6中，方法一的均方误差随着信道衰减精度的增加而增大。为了保证解调性能，接收端已知信道衰减的精度必须小于8%。

对于方法二，它实质上是同时估计的时延和信道衰减，因此它的估计性能并不受信道衰减参数精度的影响。

通过上面的实验结果发现，方法一和方法二的性能都将受到载噪比和符号长度的影响，且方法一还将受到信道衰减参数精度的影响。此外，方法二的性能与混合信号间的频率间隔和频率精度密切相关。

图6 不同衰减精度条件下方法一时延估计误差

5 结 语

本文提出一种适用于多载波混合信号的时延估计算法，为实现多载波混合信号通信机制奠定了基础。当信道增益、滤波器等参数已知时，估计性能明显优于信道增益、滤波器等参数未知条件下的估计性能。仿真结果表明，本文提出的算法将受到载噪比大小、符号长度、频率精度、幅度精度以及频率间隔等参数的影响。下一步将在本文基础上研究如何实现多载波混合信号的分离。