周优鹏,娄军强,陈特欢,马剑强,魏燕定

(1.宁波大学 机械工程与力学学院，浙江 宁波 315211;2.浙江大学 机械工程学院，浙江省先进制造技术重点实验室,杭州 310027)

具有移动灵活方便、载荷/自重比高等优点的柔性机械臂和柔性机器人在航空航天及工业生产中得到了广泛应用[1-2]。为了实现高精度的平稳操作，柔性臂机器人大多采用转动平稳的伺服电机进行驱动；同时为了满足轻型和低能耗等要求，柔性臂机器人关节中常集成谐波减速器等部件[3]。伺服电机及谐波减速器组成的伺服驱动关节是最典型的驱动形式[4]。

由于从伺服电机的驱动控制力矩到柔性臂末端的操作移动具有显著的非最小相位特性，导致柔性臂由于自身结构特性产生的弹性振动在关节定位运动停止后仍长时间存在[5]。这严重降低了系统的操作精度和工作效率，并有可能引发共振带来严重后果。因此研究伺服关节驱动的柔性臂机器人的动力学特性并抑制其弹性振动是柔性臂机器人领域的重要研究课题并成为研究热点[6]。

为了提高伺服关节驱动的柔性臂系统的定位精度，必须要掌握其动力学特性，建立合理描述系统特性的动力学模型。但是目前在柔性臂动力学特性的研究中大多直接以力矩控制量作为伺服关节的驱动输出，重点放在柔性臂的振动特性上[7]。孙汉旭等[8]对伺服驱动关节的柔性和摩擦特性进行了研究，邱志成等[9]研究了行星减速器的非线性特性对旋转双柔性臂振动特性的影响。Cambera等[10]基于集中质量模型，得到了柔性臂的弹性振动与电机驱动特性之间的耦合关系。Bossi等[11]从电机的驱动电压和转角之间的关系出发，建立了伺服关节的传递函数驱动模型。总之，伺服驱动的柔性臂系统的动力学特性不仅包括柔性臂的振动特性，还应包含关节的驱动特性，以及二者之间的耦合关系[12]。考虑到电机的摩擦特性、谐波减速器的传动特性还不能完全掌握[13]，如何从实验的角度研究伺服驱动的柔性臂系统的电机摩擦特性、驱动特性以及柔性臂振动特性，是掌握柔性臂机器人系统耦合动力学特性的关键；也是实现柔性臂机器人运动控制与振动抑制的前提和基础。

针对伺服关节驱动的柔性臂系统的耦合动力学建模问题，本文首先理论上分析了其整体动力学模型，然后根据驱动关节特性对电机匀速正反转实验数据进行线性拟合，掌握了关节的摩擦特性。接着分别建立了从伺服电机控制电压到编码器检测的电机转角和伺服控制电压到代表柔性臂振动的应变桥路输出的传递函数。通过伪随机二进制信号激励辨识和正弦信号激励验证，得到了与实际结构响应具有较高吻合度的系统耦合动力学模型，精确地预测出了系统的转动位移和振动响应。

1 伺服关节驱动的柔性机械臂系统建模

本文的研究对象为伺服关节驱动下的柔性机械臂结构，其运动示意图如图1所示。伺服关节在控制电压信号的激励下做旋转运动，柔性机械臂通过夹持装置固定在关节输出端，在刚柔耦合的作用下柔性机械臂会产生弹性振动。由此可见，整个系统属于一个复杂的机电、刚柔耦合系统。其本质是由驱动电压输入到伺服关节转动再到柔性机械臂振动输出的一个过程。

图1 柔性臂运动的坐标示意图Fig.1 Coordinate diagram of the flexible manipulator

图中坐标系xooyo为固定惯性坐标系，坐标系xoy为固连在柔性臂根部的浮动坐标系，ρb,Eb,Ib分别为柔性臂的密度，弹性模量和极惯性矩，θm(t)为柔性臂根部绕减速器输出轴的转角，θt(t)为柔性臂末端绕减速器输出轴的转角，w(x,t)为距离柔性臂根部x处点的弹性位移。

现在考虑力矩平衡的情况下对整个系统进行建模，其动力学模型可以表示如下

(1)

集中质量法物理意义直观，大大简化了建模的复杂度，常用于柔性臂振动特性的建模中。由于柔性臂的高阶振动模态在其振动位移中所占比重较少，且在小振动变形的条件下，柔性臂的一阶振动模态起到主导作用，故此处采用单个集中质量进行柔性臂振动特性建模。柔性机械臂的振动模型可以表示为

(2)

根据材料力学可知3EbIb/lb为柔性臂的回转刚度，而连接伺服驱动关节和柔性臂的耦合振动力矩Mc，也是驱使柔性臂转动的驱动力矩，其表达式为

(3)

且容易得知，在谐波减速器的等效下

(4)

联立式(1)、(2)、(3)、(4)可得到整个伺服关节驱动的柔性机械臂系统的机电、刚柔耦合模型如下所示

(5)

1.1 伺服驱动关节建模

在驱动电机转动过程中，伺服驱动器接收到控制系统发出的控制电压信号后，通过内置的电流环将其转变为电机的控制电流信号。由于伺服驱动器的电响应特性远高于电机的机械响应速度，故将其视为一个线性比例环节，其等效原理如图2所示。

图2 伺服驱动器的等效原理图Fig.2 Equivalent amplifier scheme of the servo controller

在不考虑柔性臂的情况下，包含直流伺服电机、谐波减速器以及伺服驱动器在内的整个伺服关节的动力学模型为

(6)

式中，i为伺服电机的控制电流，A。

摩擦力矩是影响伺服电机驱动精度的关键因素，此处忽略由于安装误差引起的与位置有关的摩擦力项，认为伺服电机的摩擦力矩由黏滞摩擦力矩和库伦摩擦力矩构成，其表达式为

(7)

1.2 柔性机械臂振动特性动力学建模

本文所研究的柔性机械臂结构为薄壁结构，所以在其振动过程中仅考虑其横向振动位移，在运动的过程中，由于柔性梁横向振动位移w(x,t)相对于长度尺寸lb较小，其末端转角θt(t)可以进一步表示为

(8)

将表达式(8)代入式(2)，整理可得

(9)

将表达式(8)代入式(3)，耦合振动力矩Mc可表示为

(10)

在本文的研究中采用应变全桥电路和动态应变仪检测柔性臂的振动信号，应变全桥电路检测到的柔性臂振动信号经动态应变仪调理放大后，输出的电压信号为

(11)

式中:Kg为动态应变仪的放大增益，Ss为电阻应变片的灵敏度系数，U0为桥接电路的供桥电压，εs为传感器检测到的柔性臂根部应变。w″(x,t)为弹性位移对位置x的两阶偏导数。

在单个集中质量及小弹性变形的假设前提下，柔性臂的根部应变与末端应变具有线性变换关系，结合式(11)可以得到

(12)

式中，β为根部与末端应变的线性变换系数。将式(12)的结果代入式(10)，应变全桥电路的输出电压与耦合振动力矩具有如下线性关系

(13)

将式(12)的结果代入柔性臂的动力学方程式(9)，并在零初始条件下对方程两边进行Laplace变换，得到柔性臂动力学方程的复数s域表示形式为

(14)

式中，变量下标为大写字母均表示s域内变量。

在伺服电机转速不为零的前提下，如果从伺服电机端看过去，结合表达式(13)，伺服关节的耦合驱动模型(1)可以进一步表示为

(15)

为了便于后续的系统模型实验辨识，结合电机耦合驱动模型式(15)，定义虚拟的控制输入信号uin(t)

(16)

将式(16)代入式(15)，整理可得

(17)

在零初始条件下对式(17)两边进行Laplace变换，并将式(14)的结果代入，最终建立伺服关节驱动的柔性臂系统机电耦合、刚柔耦合的传递函数模型

(18)

(19)

从最终得到的系统耦合动力学传递函数模型式(18)和(19)中可以看出：驱动关节在驱动柔性臂转动的过程中，不可避免的激起了柔性机械臂的弹性振动。式(18)反映了从伺服电机的伺服控制电压到电机转角之间的关系，体现了系统机电耦合的驱动特性；而式(19)反映了从伺服电机控制电压到检测柔性臂振动的应变检测电压的关系，证实了系统刚柔耦合的振动特性。

2 实验系统描述

实验系统关键部件的特征参数如表1所示。伺服关节驱动的柔性臂系统结构见图3。

表1 柔性臂系统参数值表Tab.1 Parameter values of the flexible manipulator system

柔性臂根部通过夹持装置固定在驱动关节的输出端。驱动关节由直流伺服电机(瑞士Maxon，型号：EC-60)和谐波减速器(日本Harmonic Drive，型号：CSF-20-50-2UH-LW-SP)组成。实验中利用安装在电机尾部的光电编码器(瑞士Maxon，型号：HEDL-9140，分辨率：500 p/r)检测电机的转动信息，该信息经伺服驱动器(瑞士Maxon,ESCON-70/10)调理后，通过USB接口传输到计算机控制系统中。控制系统利用数据采集卡(美国NI,型号PCI-6221(37 Pin))的D/A模块发出电机控制信号，通过伺服驱动器驱动电机运动，经谐波减速器减速后，带动柔性臂在平面内转动。实验中利用黏贴在柔性臂根部的应变传感器检测柔性臂的振动情况，通过全桥电路将应变信号转变为电信号，经动态应变仪(江苏联能，型号：AFT-095，放大增益5 000)调理后通过数据采集板卡的A/D模块传送至计算机中，整个测控系统基于NI-LABVIEW数据采集平台，其实物装置系统如图4所示。

图3 伺服关节驱动的柔性臂系统结构示意图Fig.3 Schematic diagram of the flexible manipulator system

图4 柔性臂系统实验装置图Fig.4 Experimental setup of the proposed system

3 摩擦及传递函数模型辨识

3.1 驱动关节摩擦模型辨识

(20)

(a)正转实验

(b)反转实验数据

表2 拟合直线的特征参数值Tab.2 Parameter values of the fitting lines

3.2 系统耦合传递函数模型的实验辨识

系统模型特征参数的辨识精度严重依赖于输入激励信号的选择。为了实现系统耦合动力学模型的实验辨识，采用具有近似白噪声性质的伪随机二进制序列(Pseudo-Random Binary Sequence,PRBS)作为输入激励信号[14]。为了避免库伦摩擦力引入的系统非线性，在原来PRBS序列的基础上加上一定的直流分量作为输入激励信号开展辨识实验研究。辨识实验过程中，PRBS信号的幅值区间取[-0.2 ﹢0.2]V，直流分量信号的幅值为1.2 V，激励时间为5 s，设置采样频率200 Hz。基于式(16)，得到用于系统模型辨识的虚拟控制输入信号uin(t)见图5。可以看出uin(t)的值均大于零，从而保证了辨识过程中库伦摩擦力的大小和符号保持不变，消除了其带来的非线性。

图6 虚拟控制输入PRBS信号uin(t)Fig.6 Virtual input PRBS signal uin(t)

以图6中的虚拟控制输入信号uin(t)为输入，借助MATLAB系统辨识工具箱对输入输出实验数据进行传递函数辨识，基于式(18)得到的传递函数模型，采用模型预测法(Model Prediction Method)得到从虚拟输入到电机转角的传递函数

(21)

图7给出了在图6所示的虚拟输入信号激励下，辨识模型G(s)的预测输出与实际电机转动角度的比较结果。从图中可以看出二者具有较高的吻合度，辨识模型G(s)预测的电机转角曲线和实际测得的电机转动角度高度基本吻合，且二者的偏差在0 V左右上下波动见图7中的点划线。

图7 辨识模型G(s)与实验结果比较图Fig.7 Comparison result between identified model G(s)and experimental data

同样基于式(19)进行从虚拟控制输入uin(t)到柔性臂应变输出Vout(t)的传递函数H(s)辨识。得到

(22)

图8给出了辨识模型H(s)预测输出与实测的柔性臂应变振动电压信号的比较结果。从图中可以看出二者变化趋势基本一致，模型H(s)大体上能够反映柔性臂在激励信号下的振动响应，模型预测值与实验数据之间的偏差见图中虚线。

图8 辨识模型H(s)与实验结果比较图Fig.8 Comparison result between identified model H(s)and experimental data

需要指出的是，辨识结果式(22)和(21)分母多项式的对应系数存在着较大的差异，这点与理论推导结果不一致。造成这种情况的具体原因如下：从式(18)和(19)理论模型的推导过程中可以看出：伺服电机的控制输入Vin(t)并没有直接改变柔性臂的应变振动输出Vout(t)，而是通过改变驱动关节的转角来间接影响柔性臂的振动。由于在两个模型H(s)和G(s)的辨识过程中不可避免地存在着测量噪声、测量误差，导致两个辨识模型与实际结构的动力学响应存在着一定程度的辨识误差。特别是模型H(s)的实验辨识结果是实际结构影响存在着不可忽略的差异，导致H(s)和G(s)模型的分母多项式系数差异较大。

从辨识模型H(s)的预测输出和实际应变输出的频域响应曲线比较图9可以进一步看出：柔性臂在伺服关节驱动下产生了强烈的弹性振动，其振动响应频谱覆盖0～100 Hz，且一阶固有频率占据主导位置。虽然辨识模型H(s)与实际结构在10～100 Hz频域区间内的响应特性具有一定的差异，存在着一定程度的失真，导致辨识模型H(s)的辨识精度下降。但是H(s)在固有频率附近处与实际结构的频率响应基本重合，较高精度地刻画了柔性臂在伺服关节驱动的一阶振动特性。

图9 H(s)与实验结果频域响应比较图Fig.9 Comparison of frequency responses between identified model H(s)and experimental data

4 模型验证

为进一步校验辨识得到的两个传递函数模型与实际结构的匹配程度，图10给出了二者在同一个正弦信号激励下输出结果的比对情况，正弦信号的频率为3.5 Hz，幅值区间为[1 1.5] V，激励时间为2 s。

为进行定性分析，定义模型匹配度指标

(23)

显然模型匹配度越高，代表辨识模型与实际结构越接近。注意模型H(s)在正弦信号激励下的模型匹配度指标高于随机信号激励实验，这是由于伪随机信号的频谱比较丰富，而正弦信号的频率与柔性臂一阶固有频率接近，因而更易激起柔性臂的一阶振动模态。从图10以及表3结果均表明：辨识得到的模型G(s)在伪随机信号和正弦信号的驱动下都较为准确地预测了电机的驱动角度，代表了系统驱动关节的驱动特性；而模型H(s)也反映了不同驱动条件下柔性臂的振动特性。显然通过系统辨识，不仅得到了伺服驱动关节的摩擦特性以及驱动特性，还得到了柔性臂的振动特性，二者综合起来反映了伺服关节驱动的柔性机械臂系统的机电耦合、刚柔耦合特性。

(a)辨识模型G(s)与实验结果比较图

(b)辨识模型H(s)与实验结果比较图

(c)辨识模型H(s)与实验结果频响比较图

表3 模型匹配度指标计算表Tab.3 Values of the model fitness percentage

5 结 论

研究了伺服关节驱动的柔性臂系统的耦合动力学建模问题。针对直流伺服电机、谐波减速器以及伺服驱动器组成的伺服驱动关节，通过对电机的匀速正反转实验数据进行线性拟合得到了关节的摩擦特性。结合柔性臂的振动方程和伺服关节的驱动模型建立了对应系统机电、刚柔耦合的传递函数。分别是从伺服电机控制电压到编码器检测的电机转角的关节驱动模型和从伺服控制电压到代表柔性臂振动的应变桥路输出的柔性臂振动模型。通过伪随机二进制序列信号激励，辨识得到了与实际结构响应具有较高吻合度的系统耦合动力学模型，该模型精确地预测出了系统的转动位移和振动响应，代表了伺服关节驱动的柔性臂系统的耦合动力学特性。本文从实验辨识的角度研究了柔性臂系统耦合动力学建模问题，为伺服驱动的柔性臂系统的动力学建模提供了有益的借鉴和尝试，为后续进行柔性臂系统的运动控制和振动抑制奠定了基础。