何晋丞，陈国平,何 欢

(南京航空航天大学 机械结构力学及控制国家重点实验室，南京 210016)

转子系统由于转子偏心质量等因素，在运转时会产生振动，在跨越临界转速时这种振动尤为明显。其中一部分振动会通过轴和轴承传递到支承上，从而引发整个装置结构的振动。过度振动会导致各种问题。低频的振动会造成结构疲劳损伤，干扰仪器设备的正常使用。高频的振动会产生噪声，从而影响使用者的身心健康。所以抑制轴承和支承之间的振动，开展结构的减振降噪研究，在工程实践中有着重要的研究价值。

20世纪，研究人员发现利用压电材料的正压电效应可以将振动产生的机械能转化为电能，最终被电阻等外接电路耗散掉，从而对振动实现有效的被动控制。该技术被称为压电分流阻尼技术[1]。Forward[2]最先提出利用压电片外接分流电路可以实现对金属梁振动的被动控制。Hagood等[3]对压电分流阻尼系统中的分流电路进行了定量分析。杨智春等[4]研究了压电片对悬臂梁的减振作用。近些年来，研究人员对于压电分流阻尼技术的研究主要集中在压电片方面。但是，Ramsay等[5]发明压电堆作动器以来，将压电堆叠用于压电分流阻尼技术的研究才刚起步。Atzrodt等[6]将压电堆叠沿着轴承的径向方向安装在支承座内部，实现了对传动轴的隔振。但是这样的结构不利于批量生产和安装，作用在压电堆叠端面的切向力也会造成压电堆叠的损坏。

本文设计了一款采用压电堆叠的新型减振环装置，实现对轴承-支承系统的隔振，同时减少了作用在压电堆叠上的切向力，提高了压电堆叠的使用寿命。利用压电分流阻尼技术，提出了新的压电减振环被动控制理论模型。并根据系统力传递函数优化分流电路中电子元件的参数。

1 基于压电分流阻尼技术的压电堆叠复刚度分析

为了更准确地表述压电堆叠在外接电路下的刚度和阻尼特性，引入复弹簧模型模拟外接分流电路的压电堆叠，则压电堆叠的刚度可用复刚度形式表示[7]

(1)

式中:k为无损刚度，η为压电叠堆在外电路作用下的损耗因子。

如图1所示，压电堆叠由压电薄片堆叠在一起烧结而成，每一片压电片之间用导电材料并联在一起。典型的压电片结构如图2所示。在压电堆叠中的压电片极化方向为3方向。当受到3方向上的力时，产生3方向的应变，在两个电极上产生电压。则单片的压电片的压电方程如下[8]

(2)

图1 压电堆叠示意图Fig.1 Depiction of piezo stack 图2 压电片示意图Fig.2 Depiction of piezo element variables

为了从压电片的压电方程中推导出压电堆叠的本构关系式，做了以下假设：① 每个压电堆叠模型用线性压电本构方程建模；② 应力、电荷、应变和电场在压电堆叠中均匀分布；③ 压电片绝缘端板和电极之间的接触关系在理论模型中视为完全固连，且忽略电荷泄漏和机械滞后损失。

根据以上假设，式(2)可变换为

(3)

式中：y为位移，I为电流，F为极化方向所受的力，V为端面两端电压，A为端面面积，l为极化方向的厚度，下标el代表单个压电片。由于参数方向都是沿3方向，式中省略表示方向的下标。

一个压电堆叠由n个单元连接组成，则压电堆叠和压电片单元有如下关系

F=Fel,y=nyel,V=Vel,I=nIel

(4)

式中：无下标的符号表示压电堆叠的参数，将式(4)代入到式(3)中得压电堆叠的本构关系

(5)

式中：ksc=A/nlsE是压电堆叠的短路刚度，C=nAεT/l是压电堆叠的两端自由边界条件下的电容。deff=n·d是压电堆叠的有效压电常数。所以式(5)可以转化为

(6)

分流电路中从电极到外部负载的电流可以表示成

(7)

式中：zL是负载阻抗，IL是流向负载的电流。

连接外接电路时，压电堆叠可以看作是一个电源和电容的组合。在研究压电分流阻尼外接电路时，本文考虑了三种情况。一种是压电堆叠串联电阻，即RC电路。另一种是压电堆叠串联电阻和电感，即串联RLC电路。第三种情况是外电路电阻和电感并联，即并联RLC电路[9]。三种情况的简图如图3所示。

(a)串联RLC电路

(b) RC电路(c) 并联RLC电路

在RC电路中，谐振电路负载为电阻，则ZL=R。代入式(6)和式(7)中，推导出连接RC电路的压电堆叠复刚度

(8)

当负载电阻R=0时，刚度取最小值，即短路刚度ksc。当R=∞，刚度取最大值，即开路刚度koc

(9)

压电堆叠的机电耦合系数可以表示为

(10)

将式(10)代入式(8)中得到RC电路情况下压电堆叠的复刚度表达式

(11)

将式(11)转化为式(1)的复刚度表达形式，其中损耗因子和无损刚度分别为

(12)

(13)

在串联RLC电路情况中，压电分流阻尼系统外部电路为串联的电阻和电感，外部电路阻抗为

ZL=R+Lωj

(14)

代入到式(6)和式(7)中，推导出压电堆叠在串联RLC电路下的复刚度

(15)

将式(15)转化为式(1)的形式，则无损刚度和损耗因子的表达式分别为

(16)

(17)

在并联RLC电路情况中，压电分流阻尼系统外部负载为并联的电阻和电感，外部电路阻抗为

(18)

代入到式(6)和式(7)中推导出压电堆叠在并联RLC电路下的复刚度：

(19)

将式(19)转化为式(1)的形式，则无损刚度和损耗因子的表达式分别为

一是要协调人民内部矛盾。利益冲突是人民内部矛盾的根源和基础。基层警务工作要依靠依法照章办事，切实保障人民的根本利益。[7]基层警务机关要按照“发现得早、控制得住、处置得好”的总体要求，根据有关信息，及时了解当前社会的核心问题并且及时处理。高度关注重点领域、重点行业、重点地区的动向，健全和完善维护稳定的预警工作机制。在政府的统一领导下，基层警务工作者应该主动配合有关部门进行问题调查，根据调查情况进行针对性的行动，协调人民群众通过正常渠道反映问题，指导群众通过法律手段维护自身权益，通过源头上即基层方面的控制来保证社会的稳定。

k=

(20)

(21)

2 基于压电分流阻尼技术的压电减振环力学特性分析

2.1 压电减振环设计

如图4和图5所示，减振环安装在轴承和支承之间，可以产生一个阻尼作用，从而抑制从轴承传递到支承的振动。减振环分为压电堆叠、分流电路、保护框三大部分。保护框分为内圈、外圈、内外圈端盖、碟型保护框，碟型保护框可以减少由于轴承转动施加在压电堆叠端面的切向力。减振环采用8个压电堆叠沿周向均匀分布，每个压电堆叠的极化方向垂直于减振环的径向平面。由图6可知，当内圈和外圈变形时，内外圈间距缩短，从而挤压碟型保护框，使得在压电堆叠极化方向上产生变形，从而挤压压电堆叠产生压力。该设计便于加工、拆卸和安装，能有效保护压电堆叠。

图4 减振环Fig.4 The vibration ring

图5 减振环装配图Fig.5 Assembly drawing of the vibration ving

2.2 连接外接电路的减振环复刚度

在实际工程中，轴承所受振动的方向是在径向平面内绕轴线随时间不断变化的。减振环中有8组碟型连接件和压电堆叠的组合，沿着周向对称分布。这样可以对垂直于轴向的平面内各个方向都能起到减振的效果。受到某一方向上的力时，其中一个压电堆叠起主要作用。所以将系统化简为单自由度系统。并且推导分流电路的最优参数时，只考虑一个压电堆叠起作用的情况。

图6 减振环剖视图Fig.6 Depiction of sectional view of the vibration ring

利用压电堆叠的复刚度推导减振环的复刚度时，还需要在推导过程中引入以下假设：① 外力为竖直方向过轴承中心的正弦激励；② 减振环的振型和响应的频率和正弦外激励一致；③ 减振环在轴向方向的变形都是一致的，这样可以取其中一个平面来分析，建立二维的受力模型；④ 只考虑保护框在径向的等效刚度，在压电堆叠极化方向上的等效刚度与压电堆叠的刚度相比可以忽略不计；⑤ 碟型保护框在建模时简化为刚性二力杆，在转折处简化为铰接，使用径向的弹簧来替代碟型保护框的径向刚度。

减振环的截面尺寸如图7所示。

图7 减振环截面尺寸Fig.7 Measurements of the vibration ring

由以上假设，得到减振环的二维简化模型。如图8所示。

连接分流谐振电路的压电堆叠在外力作用下提供的反作用力为

(22)

式中:y′是压电堆叠受到压力后的变形位移。

连接弹簧提供的作用力为

(23)

图8 减振环二维简化模型Fig.8 Dynamic representation of the vibration ring

因为假设减振环的轴向刚度与压电堆叠刚度相比可以忽略不计，所以本文只考虑径向刚度，简化为上下两侧的弹簧。该弹簧提供的作用力为

Fcage=kcage·x

(24)

式中:x为外力作用下内环和外环间距的压缩量。

所以根据以上假设和推导，可以求出外力表达式为

Fext=Fcage+Flinkcosφunload

(25)

式中:下标unload指代碟型保护框未受外力的情况。

根据以上公式和截面尺寸间的关系，可以求出减振环的复刚度表达式

(26)

式中:G为φunload的函数

(27)

由于减振环的变形很小，所以x≈0，且φunload在0°～90°，则G可以近似为

(28)

kvr=kcage+kG

(29)

(30)

2.3 系统的力传递率

如图9和图10所示，假设受力和运动只在一个方向上，可以将系统看作一个单自由度振动系统，轴承和减振环分别简化为复弹簧。

(a) 无减振环(b) 有减振环

图9 轴承-支承系统示意图Fig.9 Schematics of simple driveline

轴承的复刚度可表示为

(31)

减振环的复刚度可表示为

(32)

则弹簧系列组合的总刚度表达式为

(33)

对比有无减振器的情况，得到系统的力传递率表达式为

(34)

3 压电分流谐振电路的电子元件参数优化

减振环系统力传递率描述的是减振环和轴承以及支承系统在外激励作用下的力响应。力传递率函数以外激励的频率为自变量，在固有频率处达到峰值。当轴承型号和减振环外形被确定后，系统中的刚度，质量，压电堆叠电容等参数，除了外接电路元器件的值是变量，其他都为不变量。所以使力传递函数的幅值最小的电路元件数值就是最优解。

下面通过实际案例分析减振环的减振性能，并介绍外接电路的参数优化过程。本节分析的系统采用6205型轴承，并设计了和轴承相匹配的减振环，系统中的参数如表1所示。

表1 减振环系统参数Tab.1 Parameters of simple driveline system

分别将三种电路情况下的压电堆叠复刚度代入式(26)中，得到三种电路情况下的减振环复刚度，代入式(34)，得到系统力传递率函数。在实际工程中，过大的电阻和电感会增加设备的体积和重量，所以最优值的求解应在一个合理的范围内进行，电阻不超过20 000 Ω，电感不超过10 H。用MATLAB软件，采用嵌套循环和判断语句求解不同电路元件值对应的力传递率曲线。找出幅值最小的力传递率曲线对应的电路元件值，即为最优解。其中RC电路的MATLAB求解程序如图11(a)所示，串联和并联RLC电路的MATLAB求解程序如图11(b)所示。

(a) RC电路求解程序(b) 串联RLC电路和并联RLC电路求解程序

由MATLAB程序得到的三种电路情况的最优电路参数和对应的力传递率曲线峰值如表2所示。将三种电路的最优解对应的力传递率曲线绘制于图12中。当减振环连接串联和并联RLC电路时，最优解对应的力传递率峰值最低。使得力传递率曲线在固有频率附近出现一个平缓的双峰。但是并联所需的电阻值过大，所以采用串联RLC电路的最优解作为减振环的外接电路。

表2 三种电路情况最优解情况表Tab.2 The optimal solution of three circuits

图12 力传递率曲线图Fig.12 Force transmissibility plots

为比较传统阻尼橡胶和减振环的减振效果，分别计算安装同尺寸橡胶环和减振环以及不安装任何阻尼装置的系统力传递率。橡胶环的无损刚度6×106N/M、损耗因子η=0.1[10]。减振环采用串联RLC的最优电路。计算得到三种情况的力传递率如图13所示。

图13 力传递率曲线对比图Fig.13 Force transmissibility plots

从图13可知，不安装任何阻尼的轴承-支承系统的力传递率峰值为37.05。安装了连接最优串联RLC电路的减振环后，系统力传递率峰值降为一个平坦的双峰，最大值为4.64，较原系统下降了87.5%。安装了和减振环同样尺寸的橡胶圈的系统，力传递率峰值为17.93。很显然，减振环的减振效果更为明显，且造成的频移影响也较橡胶圈更小。

4 结 论

(1)利用压电堆叠的正压电效应，可以将振动的机械能转化为电能，并通过外接的分流电路消耗。从而产生一个阻尼作用。这种阻尼作用可以用压电堆叠复刚度中的损耗因子来表述。

(2)安装减振环后，系统的力传递率峰值显著下降，说明减振环可以有效降低由轴承传递到支承的振动，起到很好的减振作用。当外接电路为串联RLC电路时减振效果最好。

(3)相比传统橡胶材料的阻尼效果，利用压电分流阻尼技术的减振环不但减振效果更为明显，而且安装减振环后比安装橡胶圈后系统的频移产生的影响更小。

(4)减振环结构简单，可采用线切割、铸造等传统加工工艺加工，安装方便，压电堆叠有多种型号可供选择，使其非常适合批量生产，具有广泛的发展前景和实用价值。