韩中合，侯栋楠，赵建宏，朱霄珣

(华北电力大学 能源动力与机械工程学院，河北 保定 071003)

随着气体润滑技术在20世纪中期迅速发展，气体轴承作为该技术的核心产品被开发出来。气体轴承与滚动轴承和液体滑动轴系相比具有高精度、高转速、振动和噪声小、寿命长和摩擦功耗小等优点，在高速旋转机械上得到了广泛应用[1]。同时气体轴承存在着承载能力低，稳定性差等缺点。气体轴承作为气体轴承-转子系统的支撑部分，直接影响转子系统的动力学特性[2]。因此需要将气体轴承和转子耦合起来进行分析，考虑气体轴承对整个系统的影响。

1886年,Reynolds推导出解决流体润滑轴承理论计算的Reynolds方程，为解决流体润滑问题奠定了理论基础。随着计算机技术的进步，通常采用数值计算求解Reynolds方程，得到气体轴承的性能参数[3]。随着计算流体力学(CFD)技术的发展，采用CFD软件对气体轴承内流场进行模拟，也可以得到气体轴承的性能参数。对比采用有限差分法求解静压气体Reynolds方程和采用CFD计算的结果，可知两者具有较好的一致性[4]。同时利用CFD软件对气体轴承的性能进行计算，并根据计算结果研究气体轴承-转子系统的动力学特性，也能得到与试验相对一致的结论[5]。在试验中，发现通过升高轴承供气压力，能够提高气体轴承刚度，消除和抑制转子低频振动并增大气体轴承-转子系统的临界转速[6]。综上所述，采用CFD和求解Reynolds方程的方法计算静压气体轴承的性能，都能得到相对准确的结果。且气体轴承的供气压力、轴颈转速等因素都对气体轴承-转子系统的动力学特性产生影响。

采用CFD方法计算气体轴承性能虽然较为精确，但使用CFD计算方法需要对不同工况下流场的边界条件进行逐一设置并计算。在研究气体轴承的性能对气体轴承-转子系统的动力学特性影响时，需要得到供气压力、转速变化范围内任意工况的气体轴承的性能。而采用CFD计算方法对所需工况进行计算耗时漫长、效率较低，不利于为系统动力学研究提供支撑参数。

针对该问题本文提出了采用支持向量机回归算法(SVR)建立气体轴承性能函数，根据此函数对气体轴承-转子系统的临界转速计算方法。该方法只需对多个由CFD计算得到的气体轴承的性能参数进行训练，就能得到准确的气体轴承性能函数，此函数能快速、准确地预测一定压力、转速范围内任意工况下的轴承性能，利用该模型对供气压力变化时气体轴承-转子系统进行动力学分析，能够得到和试验接近的结果，为选择合理的供气方案提供参考。

1 基于fluent的静压气体轴承性能计算

1.1 静压气体轴承的结构尺寸

本文研究静压气体轴承结构如图1所示，结构参数如表1所示。

图1 静压气体轴承结构Fig.1 Static pressure gas bearing structure

1.2 模型的建立与假设

根据图1与表1的结构尺寸，利用前处理软件GAMBIT建立静压气体轴承的流道模型(图2)。

气体轴承的供气孔区是计算的关键部位，需要对其进行网格加密，因此将流场划分为供气孔区和无供气孔区。在供气孔区采用非结构化网格(图3)，在无供气孔区采用结构化网格。为提高流场计算精度，在气膜的高度方向将网格分为10层。

对模型设置3类边界条件：① 压力入口，供气压力pin=0.25 MPa、0.35 MPa、0.45 MPa、0.6 MPa;② 压力出口，两侧出气口压力等于大气压力，相对压力pout=0 MPa;③ 旋转面，选取轴颈状态为静止、10 000 r/min、20 000 r/min、…、60 000 r/min。

表1 静压气体轴承结构参数Tab.1 Static pressure gas bearing structural parameters

图2 气体轴承网格划分Fig.2 Mesh generation of gas bearings图3 供气孔区网格Fig.3 Air supply hole area grid

实际的静压气体轴承流场较为复杂，所以在计算时做如下假设：① 轴承间隙内的气体是理想气体，气体与壁面无热量交换，即为绝热过程;② 轴承与轴颈工作面为光滑曲面，气膜厚度为常数，不考虑粗糙度对轴承特性的影响[7];③ 轴颈面沿y轴负方向偏移，且不考虑偏心角的影响。

本文采用Fluent软件对流场数值仿真，选用基于压力的隐式求解器。由于轴承气膜中存在着不同尺度的漩涡[8]，因此采用湍流模型中的模型，该模型能够较准确模拟轴承间隙内的流场[9]。选择工质为空气，方程采用SMPLE算法求解。

1.3 计算结果与试验对比

采用与上一节相同的网格划分、边界条件和计算假设条件，建立文献[10]中试验所采用的气体轴承流道模型，得到CFD计算与试验结果如图4所示。

结果表明，采用Fluent对气体轴承的承载力计算的结果与实际较为吻合。随着偏心率增大到0.6，仿真结果与试验出现偏差。这是由于随着偏心率的增大，气体轴承一侧间隙较小，实际流场和层流模型存在差异导致的。

根据文献[11]，本文研究的气体轴承-转子系统中，转子正常运行时的最大偏心率小于0.4，因此采用Fluent对气体轴承的性能进行计算可以得到较准确结果。

图4 仿真结果和实际对比Fig.4 Simulation results and the actual comparison

1.4 气体轴承承载力计算

考虑到气体的供气压力会对气体轴承的刚度产生影响，设置0.25 MPa、0.35 MPa、0.45 MPa、0.55 MPa的供气压力。设轴颈沿y轴负方向偏移，偏心率为0～0.4。转速设置为0～60 000 r/min。分别计算轴颈x、y方向上的合力。再由式(1)得到轴承的承载力

(1)

式中:f为承载力，fx为轴颈x方向上的合力，fy为轴颈y方向上的合力。

绘制不同供气压力下轴承承载力随转速和偏心率变化的曲线图。(如图5～图8所示)。

图5 0.25 MPa时轴承承载力Fig.5 Bearing capacity of bearing at 0.25 MPa

图6 0.35 MPa时轴承承载力Fig.6 Bearing capacity of bearing at 0.35 MPa

图7 0.45 MPa时轴承承载力Fig.7 Bearing capacity of bearing at 0.45 MPa

图8 0.6 MPa时轴承承载力Fig.8 Bearing capacity of bearing at 0.6 MPa

分析承载力变化规律得到，相同的供气压力下，承载力随着偏心率的增大近似线性增大。随着转速的升高，承载力也增大。在供气压力升高时，承载力和转速与偏心率的变化规律不变，但承载力整体增大，这是由于供气压力升高，在相同的偏心率下气膜两侧的压差增大，产生的承载力也增大。

2 基于SVM的静压气体轴承性能计算

支持向量机(Support Vector Machine,SVM)是一种分类算法，通过寻求结构化风险最小来提高学习机泛化能力，实现经验风险和置信范围的最小化，从而达到在样本量较少的情况下，亦能获得良好统计规律的目的[12]。通俗来讲，它是一种二类分类模型，其基本模型定义为特征空间上的间隔最大的线性分类器，即支持向量机的学习策略便是间隔最大化，最终可转化为一个凸二次规划问题的求解。

2.1 气体轴承承载力计算

对于本文模型，首先通过CFD计算，得到不同压力p、转速n、偏心率e下的轴承承载力，并将其作为SVM的训练样本集：T={(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)}，其中，x=(p，n，e)，y为承载力F限定回归问题所需要寻找的函数f(x)为线性函数

y=f(x)=ωx+b

(2)

然后构造并求解最优化问题

(3)

(4)

(5)

式中：xi为样本输入；yi为样本输出；ω为权重向量；b为偏置项；C为惩罚系数；αi、αi*为拉格朗日乘子；ε为不敏感损失值。最后构造出最优线性回归函数[13]。

在实际情况下对线性问题进行拓广后可得到非线性情况下的回归函数，其关键是引进核函数K(xi，xj)，把数据从低维空间映射到高维空间[14]，优化问题转化为

(6)

最终可得到最优的非线性回归函数。

在选取合适的惩罚系数以及核函数后利用训练样本建立支持向量机(SVM)预测模型[15]。模型建立好以后，利用预测模型分别预测已经输入到SVM的训练集数据和未输入到SVM的数据。再利用CFD方法计算进行预测工况条件下的结果，并进行对比。结果见图9、图10。

图9 SVM预测训练集数据Fig.9 SVM Prediction of Training Set Data

图10 SVM预测未输入数据Fig.10 SVM prediction of not entered data

从图9、图10可以看出预测模型计算出的数据和输入模型的已知数据以及未输入模型的数据对比准确率都很高。根据计算，采用SVM预测训练集的最大误差为0.4%，预测未输入到SVM的数据最大误差为0.8%。该结果满足对轴承性能计算的要求。

2.2 气体轴承刚度计算

在图1所示的静压气体轴承中，转子到受气体轴承承载力实现无接触悬浮，所以气体轴承的刚度直接影响转子的支撑刚度，为了方便计算转子临界转速，气体轴承-转子系统的支撑刚度由式(7)得到[16]。

(7)

式中:k为系统支撑刚度，F为轴承承载力，h为轴颈偏移量。

通过CFD计算无法得到承载力F关于偏移量h的函数，而通过SVM建立的模型也难以直接进行求导。故在实际过程中采用差分代替微分计算支撑刚度k(如式(3))

(8)

当Δh值越小，式(8)的计算结果越接近与式(7)。但当Δh值过小时，会因承载力F的拟合误差导致计算精度下降，因此本文选取Δh值为1 μm。

通过由SVM建立的模型，利用式(8)计算出转子的刚度随转速偏心率、转速、供气压力的变化规律如图11～图13所示。

根据图11可得，在偏心率小于0.4的情况下，转子的支撑刚度受偏心率的影响较小。

由图12可得，当转子的转速小于30 000 r/min时，转速对转子的支撑刚度影响也很小，当转速大于30 000 r/min时，随着转速升高转子支撑刚度增大，而且供气压力越大，转子支撑刚度受转速影响越大。

由图13可得，相对于偏心率、转速，供气压力对转子支撑刚度的影响最大。供气压力在0.25～0.55 MPa内转子支撑刚度随供气压力近似线性增大，当供气压力大于0.55 MPa后，转子支撑刚度对供气压力不敏感。

图11 60 000 r/min时转子支撑刚度随偏心率变化
Fig.11 Rotor support stiffness changes with eccentricity at 60 000 r/min

图12 偏心率0.3时转子支撑刚度随转速变化Fig.12 Rotor support stiffness changes with speed at eccentricity 0.3

图13 偏心率0.3时转子支撑刚度随供气压力变化Fig.13 Rotor support stiffness changes with air supply pressure at eccentricity 0.3

3 供气压力对转子临界转速的影响

3.1 模态分析的理论基础

模态分析是求得系统的各阶模态参数，对一个N自由度的线性振动系统，根据弹性力学有限元理论，得到其运动微分方程

(9)

在对系统进行模态分析时，若无外力作用设f(t)=0,得到系统的自由振动方程。同时在求解系统的固有频率时，阻尼对气体轴承影响不大，忽略阻尼对系统的影响得到

(10)

设式(10)的解为简谐振动

x=X0sin(ωt+θ)

(11)

将式(11)代入得到

([K]-ω2[M])X0=0

(12)

式中:ω为转子的固有频率,X0为转子的振幅矩阵。求解此方程即可得到转子的固有频率。

3.2 利用Ansys建立气体轴承-转子系统的模型

气体轴承-转子系统如图14所示，主要包括1径向气体轴承；2止推轴承。长度L为582 mm，直径D为50 mm。

图14 气体轴承-转子结构Fig.14 Gas bearing-rotor structure

根据图12所示的结构尺寸，利用ANSYS前处理器建立模型。定义单元的类型和材料属性。选取solid185单元对主轴进行划分，选用combin14弹簧单元对径向气体轴承进行模拟。其中combin14单元可以设置弹性刚度和阻尼系数，由于气体轴承阻尼系数较小，所以忽略阻尼系数的影响，根据支持向量机计算的结果得到不同工况下combin14元的弹性刚度。本文不考虑止推轴承的性能对转子固有频率的影响，在止推盘处添加位移约束模拟止推轴承。

转子的主体采用的材料为1Cr13结构，可以用于各种旋转机械。其为密度7 850 kg/m3，弹性模量210 GPa。泊松比为0.3。为提高计算效率，在划分网格时忽略倒角和圆角，并采用“自由”网格划分方法对网格进行划分。最终在Ansys中建立如图15所示模型。

图15 气体轴承-转子模型Fig.15 Gas bearing - rotor model

3.3 计算结果与分析

本文采用Block Lanczos法提取转子前三阶模态，并对转子设置0、10 000、…、60 000 r/min的旋转速度，根据计算的气体轴承特性，设置不同转速下combin14单元的刚度值。通过固有频率和等速线的交点计算出转子的临界转速。

通过改变气体轴承的供气压力，设置不同工况下combin14单元的刚度值，分别计算出供气压力在0.25～0.6 MPa间变化时的转子前三阶临界转速。结果如图16所示。

图16 临界转速随供气压力变化Fig.16 The critical speed varies with the supply pressure

根据文献[5]中用相同转子结构在供气压力0.6 MPa下试验得到的转子升速幅频特性曲线，可知转子一阶临界转速在16 580～17 360 r/min，二阶临界转速在23 400～24 300 r/min，三阶临界转速发生在43 300 r/min之后。

本文通过计算得到在0.6 MPa供气压力下转子一阶临界转速18 130 r/min，二阶临界转速24 102 r/min，三阶临界转速50 273 r/min。计算结果和试验数据间的存在差距，这可能是由于试验采用的轴承和计算采用轴承结构存在的差异造成的。

计算结果表明，随着供气压力的提高，转子的一、二阶临界转速发生升高，三阶临界转速近似不变。同时当供气压力增大到0.5 MPa以上时，供气压力对临界转速的影响较小。

4 结 论

(1)本文利用CFD商业软件Fluent建立静压气体轴承流场模型，在相同供气压力下，轴承承载力随偏心率增大近似线性增大，也随转速升高而增大；再供气压力增大情况下，承载力随着转速和偏心变化规律不变，但承载力整体增大。

(2)采用SVM对由CFD得到的气体轴承性能数据进行训练，得到的气体轴承性能参数预测模型具有很高的精度，能够满足计算要求。

(3)利用SVM得到的模型进行计算，得到转子支撑刚度随偏心率、转速、供气压力的变化规律，转子支撑刚度在0.4偏心率以下变化较小，当转速在30 000 r/min以下时变化较小，在30 000 r/min以上时转子支撑刚度随转速升高而升高。当供气压力从0.25 MPa增大到0.5 MPa，转子支撑刚度随供气压力线性增大，当供气压力增大到0.5 MPa以上时，转子支撑刚度受供气压力影响较小。

(4)利用ANSYS建立气体轴承-转子系统的有限元模型得到，当供气压力在0.25～6 MPa区间内升高，气体轴承-转子系统的一、二阶临界转速增大，三阶临界转速近似不变。研究结果表明通过改变供气压力能够调节系统的临界转速，使系统的临界转速避开工作转速。