钱守旺

本专辑的主题是“在概念教学中渗透对学生抽象思维的培养”，首先我们搞清楚什么是数学概念，什么是数学思维，什么是抽象思维。

一、关于数学概念

数学概念是客观现实世界的数量关系和空间形式的本质属性在人们头脑中的反映。数学概念一般由内涵和外延两部分组成。数学概念的内涵是概念“质”的反映，外延则是“量”的反映，两者相互依存，共同构成数学概念统一而不可分割的两个方面。

小学数学概念是小学数学知识的重要组成部分，也是小学数学教学的重难点之一，数学概念是数学知识的基本单位，是理解和掌握数学知识的起点，是构建数学知识框架的基石。学生学习数学概念是掌握其他知识内容的基础。例如，分数意义的教学，就是今后进一步学习分数加减法、分数应用问题、比、百分数的重要基础。

儿童学习数学概念，一般有两种方式，即概念形成和概念同化。这两种方式也是相互联系的，一般认为初级阶段采用概念形成，高级阶段使用概念同化。形成是指个体在接触具体事物中通过辨别、抽象、分化、提出假设与检验假设、概括等过程获得了一类事物的关键属性。同化是事物的关键属性以定义的方式出现或体现在上下文中。例如，学生学习“平行四边形”这一概念，教材给出的定义是“平行四边形是两组对边平行且相等的四边形”。学生首先接受新概念（平行四边形），并与自己认知结构中原有的知识（四边形）联系起来，把新概念作为原有概念的下位概念而纳入概念体系;其次，他们必须精确分化新概念和原有的有关概念（如梯形、四边形等）;最后，他们还需要使一般四边形、平行四边形、梯形等有关概念融合，形成一个概念体系，以便于记忆和运用。

二、关于数学思维

数学思维在小学生的数学学习中具有重要作用。没有数学思维，就没有真正的数学学习。小学生思维是一种心理活动的历程。数学思考贯穿于整个数学学习过程之中，数学教师应该使学生能够认识并掌握数学思考的基本方法，如归纳、类比、猜想与论证等;使学生根据已有事实进行数学推测、论断和解释，逐步养成“推理有据”的习惯，能够反思自己的思考过程;使他们能够理解他人的思考方式和推理过程，并能与他人进行沟通。

抽象概括是形成概念的思维过程和科学方法。通过抽象概括，使儿童对事物的感性认识转化为理性认识，没有抽象概括，就不能实现这个转化，因此抽象概括也是思维过程的核心。在数学学习中，无论是概念学习、规则学习还是解决问题学习，必须进行一系列的抽象概括活动，因此数学抽象概括能力是数学能力的主要构成因素。抽象概括能力强的学生，对数学材料概括迅速、全面而深刻，能正确地揭示数学材料的本质属性。而抽象概括能力差的学生，学习中概括不全面、不深刻，不能抓住数学材料的本质属性，往往易受非本质属性的干扰，甚至把非本质属性代替本质属性。

造成学生抽象概括能力差异的原因主要有：①对数学材料的观察能力较差，没有足够的感性材料作为抽象概括的基础，影响了抽象概括能力的发展。②不善于对数学材料进行比较，就不能区别数学材料的本质属性和非本质属性，也就不能抽象。③缺少概括的动机，一些学生只满足于知识的结论，不愿通过自己的积极思维，抽象概括出学习材料的本质属性。

三、概念教学中如何培养数学思维

概念学习过程，就是对客观事物的本质属性进行抽象概括的过程，也是舍弃事物非本质属性的过程。特别是一些较难的数学概念，教学时需要一个深入细致的探究过程。根据数学的特点和儿童的认知特点，教学时要注意以下几点。

1. 遵循儿童的认知规律，引导学生抽象、概括出所学概念的本质特征。数学内容是一个有着密切联系的整体，新学的数学内容总是建立在已学的数学内容基础上的。学生在新学习一个数学概念时，很可能用到原有的知识，教学时可以先回顾这些相关知识，再引入新学习的数学概念。在教师的引导下，学生经历概念的形成過程，自主地“发现”概念是掌握概念、理解数学概念间相关性的一种有效途径。把概念教学设计成学生在教师指导下的发现活动，对学生思维、能力的发展具有极为重要的意义。

2. 注意正确地理解所学的概念。教学经验表明，学生对某一概念的理解常常显示出不同的水平，尽管他们都参加同样的活动如操作、比较、抽象和概括等。有些学生甚至可能完全没有理解概念的本质特征。这就需要检查所有的学生是否理解所学的概念。

3. 掌握概念间的联系和区别。学习概念，关键是要掌握它的内涵和外延。比较所学的概念并弄清它们的区别，可以使学生深刻地理解这些概念，并消除彼此间的混淆。数学的特点之一是逻辑的严谨性，数学概念之间的关系十分紧密。寻找概念之间的纵向与横向联系，组成概念系统，有助于概念的理解和深化，便于提取和运用。同时，建立概念的结构关联，使数学知识系统化、结构化，也有助于知识迁移，发展学生的数学能力。

4. 重视概念的应用。学习概念的应用有助于学生进一步加深理解所学的概念，把数学知识同实际联系起来，并且发展学生的逻辑思维。学生在理解概念时，有时会出现一些对概念的误解。教师应该把这种情况看作是一种正常的现象，因为每一个新概念的建构都必须经过自我调整阶段，所以帮助学生如何主动发现问题，并主动重新建构新概念才是最重要的。

四、APOS理论下的概念教学模式

20世纪末，美国数学教育学家杜宾斯基等人在数学教育研究的实践过程中提出了APOS理论。该理论起源于作者试图对皮亚杰的“反思性抽象”理论进行拓展，这是一种关于数学概念学习的理论，也是一种建构主义的数学学习理论。APOS理论指出在学习数学概念的过程中，一般要经历四个阶段。

第一阶段——操作阶段。概念不能由教师简单地传授给学生，而要靠学生依据已有的知识和经验主动地建构，因此概念的引入情境就显得非常重要。设置问题情境要注意以下四个方面：①能有助于概念的现实背景和形成过程的揭示;②适合学生的学习水平，使学习活动能顺利展开;③适当的问题数量，使学生能获得充足的活动体验;④要有趣味性，可以用多种多样的形式引起全体学生的学习兴趣。操作阶段一定离不开具体形象的学习材料及学生参与的动手、动脑活动。

第二阶段——过程阶段。如果说操作活动是让学生寻找学习的大门，那么对操作活动进行思考则是找到打开学习大门的钥匙。在这一阶段，教师可引导学生在头脑中对前面的操作活动进行描述和反思，建立与概念的联系，初步经历关于概念的思维内化、压缩过程，逐步抽象出操作活动所特有的性质。教师要给予适当的提示、建议，引导学生通过思维运算、反省和抽象，对概念所具有的直观背景和形式定义进行必要的综合，从而比较顺利地完成由“操作”到“过程”的转型。

第三阶段——对象阶段。对象阶段是对前面“操作”与“过程”的抽象，认识到了概念的本质，对其赋予形式化的定义，使其达到精致化，成为一个具体的对象，在以后的学习中以此为对象去进行新的活动。教师一定要意识到一点：一个数学概念由“过程”到“对象”的建立大多数时候是既困难又漫长的，“过程”到“对象”的抽象需要经过多次反复、循序渐进、螺旋上升，直至学生真正理解概念。所以，除了关于概念意义的简洁表述外，还要增加一些学生喜闻乐见的例子，使学生在头脑中建立起的概念不但精致而且更具直观结构形象。

第四阶段——概型阶段。概型阶段是概念学习的最高层面。概型的形成要经过长期的学习活动来完善，起初的概型包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习建立起与其他概念、规则、图形等的联系，最后在头脑中形成关于这个概念的综合的心理图式。概念教学的高级目标就是让学生在头脑中形成关于概念的综合心理图式，使概念以个性化的方式存在于不同学生的头脑中，并在学生原有知识结构中拥有丰富的知识的“场”。

以上四个学习阶段反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动，应当循序渐进，一般不能逾越，也不能只停留在具体、直观、视觉化的阶段，必须逐级地反省、抽象，最后完成数学概念的建构。

归纳概念是建立概念的一个重要环节，也是训练学生思维的重要环节。教师应放手让学生自己归纳概念的意义。尽管学生的归纳可能不全面、不确切或者表达不清，但毕竟是学生自己开动脑筋积极思考的结果。教师可以针对学生表达不准确的地方进行补充。这样既可使学生看到自己思考归纳的成果，又可以看到自己的不足，从中逐步提高归纳和概括的能力。

教师在小学数学概念教学中还应注意以下几个问题。第一，无论是从实际引入，还是从已知引入，学生获得概念都必须经过从具体形象到抽象过渡这一过程。教师应该设计多样化的活动，让学生主动积极地参与到学习活动中去。第二，概念本质属性只有一个，但可以有不同的表达。当学生初步建立概念后，教师应注意让学生把概念用自己的语言表达出来，加深对概念的理解。教师也可以采用不同的方式叙述概念。如果学生对各种不同形式的叙述和表达都能理解和掌握，那么学生的思维能力、数学语言表达能力也会得到发展。但也要注意，由于学习活动必须经历一个由浅入深，由易到难的认知过程，如果过早地采用这种“变式”教学，学生因缺乏相应的感性经验作支柱，反而会增加学生学习中的困难。

总之，小学生数学概念的建立是学生主体进行思维的一个复杂活动。教学中，要依据小学生的认知规律，从直观引入，从感知表象再进行抽象（概念的形成），从已知到未知（概念的同化），逐步建立概念。教师要通过点拨、引导、启发学生，组织学生通过尝试、自学、操作、讨论、质疑、交流等学习途径，由学生自己总结，表达新知识，教师再作进一步的补充与完善。教师要运用灵活、多样的教学方法，从学生的认知规律出发，帮助学生理解概念。同时注意要从抽象回到具体，在实际运用中巩固和深化概念，组成概念的认知结构，从而使学生能在掌握数学概念的同时，发展数学能力。

（作者单位：北京市朝陽区教育研究中心）