本刊试题研究组

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1.已知集合M={0，1，3}，集合N={x|x=3a，a∈M}，则M∩N=    .

2.已知復数z在复平面内对应的点在第一象限，且虚部为1，模为2，则复数z的实部为    .

3.采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，420，则抽取的21人中，编号落入区间[241，360]上的人数为   .

4.运行如图算法语句，则输出的结果为    .

S←2

I←1

While S≤200

I←I+2

S←S×I

End While

Print I

5.将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为    .

6.已知数列{an}是等差数列，满足2a7-a5-3=0，则a9=    .

7.若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为    .

8.若双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）与直线y=3x无交点，则离心率e的取值范围是    .

9.若cos（α-π3）=13，则sin（2α-π6）=    .

10.△ABC是直角边等于4的等腰直角三角形，D是斜边BC的中点，AM=14AB+m·AC，向量AM的终点M在△ACD的内部（不含边界），则AM·BM的取值范围是    .

11.已知函数f（x）=x2-2ax+a2-1，若关于x的不等式f（f（x））<0的解集为空集，则实数a的取值范围为    .

12.已知直线l经过点P（1，1），且被两平行直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为37，则直线l的方程为    .

13.已知函数f（x）=xlnx，当x2>x1>0时，给出以下几个结论：

①（x1-x2）·[f（x1）-f（x2）]<0;

②f（x1）-f（x2）x1-x2<1;

③f（x1）+x2

④x2f（x1）

其中正确的命题的序号是    .

14.对于集合A={a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥3），定义集合S={x|x=ai+aj，1≤i

二、解答题（本大题共6小题，共90分）

15.（本小题满分14分）在四边形ABCD中，CA=CD=12AB=1，AB·AC=1，sin∠BCD=35.

（1）求BC的长;

（2）求三角形ACD的面积.

16.（本小题满分14分）如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面

ABC.

（1）求证：AE∥面DBC;

（2）若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC.

17.（本小题满分14分）如图，某小区有一矩形地块OABC，其中OC=2，OA=3，单位百米.已知OEF是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边EF相切于点M的直路l（宽度不计），交线段OC于点D，交线段OA于点N.现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边EF满足函数y=-x2+2（0≤x≤2）的图象.若点M到y轴距离记为t.

（1）当t=23时，求直路l所在的直线方程;

（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？

18.（本小题满分16分）已知椭圆C中心在坐标原点，对称轴为y轴，且过点M（4，2）、N（6，3）.

（1）求椭圆C的方程;

（2）设椭圆C上的任一点R（x0，y0），从原点O向圆R：（x-x0）2+（y-y0）2=8作两条切线，分别交椭圆于P，Q.试探究OP2+OQ2是否为定值，若是，求出其值;若不是，请说明理由.

19.（本小题满分16分）已知函数f（x）=1x-a+λx-b（a，b，λ为实常数）.

（1）若λ=-1，a=1.

①当b=-1时，求函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程;

②当b<0时，求函数f（x）在[13，12]上的最大值.

（2）若λ=1，b

（定义区间（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的长度均为d-c，其中d>c.）

20.（本小题满分16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{Mn}满足条件：M1=St1，当n≥2时，Mn=Stn-Stn-1，其中数列{tn}单调递增，且tn∈N*.

（1）若an=n，

①试找出一组t1、t2、t3，使得M22=M1M3;

②证明：对于数列an=n，一定存在数列{tn}，使得数列{Mn}中的各数均为一个整数的平方;

（2）若an=2n-1，是否存在无穷数列{tn}，使得{Mn}为等比数列.若存在，写出一个满足条件的数列{tn};若不存在，说明理由.

第Ⅱ卷（附加题，共40分）

21.[选做题]本题包括A、B、C三小题，每小题10分.

A.（选修42：矩阵与变换）

变换T1是逆时针旋转π2的旋转变换，对应的变换矩阵是M1;变换T2对应的变换矩阵是M2=1101.

（1）求点P（2，1）在T1作用下点P′的坐标;

（2）求函数y=x2的图象依次在T1，T2变换的作用下所得曲线的方程.

B.（选修44：坐标系与参数方程）

已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=π6.

（1）写出直线l的参数方程;

（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积.

C.（选修45：不等式选讲）

对任给的实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|·（|x-1|+|x-2|）恒成立，求實数x的取值范围.

[必做题]第22、23题，每小题10分，共计20分.

22.（本小题满分10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y.设ξ为随机变量，若xy为整数，则ξ=0;若xy为小于1的分数，则ξ=-1;若xy为大于1的分数，则ξ=1.

（1）求概率P（ξ=0）;

（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）.

23.（本小题满分10分）已知a，b为整数且a>b>0，sinθ=2aba2+b2，其中θ∈（0，π2），An=（a2+b2）nsinnθ，求证：对一切正整数n，An均为整数.

参考答案

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题

1.{0，3}

2.1

3.6

4.7

5.29

6.3

7.5π

8.（1，2]

9.-79

10.（-2，6）.解析：AM=14AB+m·AC，根据向量分解基本定理，可得m∈（14，34），

所以AM·BM=AM·（BA+AM）=（14AB+m·AC）（-34AB+m·AC）

=（14AB+m·AC）（-34AB+m·AC）=-3+16m2∈（-2，6）.

11.（-∞，-2].解析：f（x）<0的解集为（a-1，a+1），所以f（x）≤a-1或f（x）≥a+1恒成立，又f（x）∈[-1，+∞），所以-1≥a+1a≤-2.

12.x+6y-7=0或6x+y-7=0.解析：设直线l与l1和l2的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），根据题意可得x1+y1+1=0x2+y2+6=0（x1-x2）2+（y1-y2）2=37，令x1-x2=t，可得y1-y2=5-t，代入（x1-x2）2+（y1-y2）2=37可得t=6或t=-1，而所求直线的斜率k=y1-y2x1-x2=5-tt，代入可得k=-16或k=-6，所以所求直线的方程为x+6y-7=0或6x+y-7=0.

13.④.解析：f（x）=xlnx，所以f′（x）=1+lnx，令f′（x）=1+lnx<0，得x∈（0，1e），所以f（x）=xlnx在（0，1e）内单调递减，而在（1e，+∞）内是单调递增，可知①不正确，令F（x）=f（x）-x，则F′（x）=f′（x）-1=lnx，可得F（x）=f（x）-x在（0，+∞）不是单调的，所以②③不正确，令G（x）=f（x）x=lnx，得G（x）=f（x）x是单调递增，所以④正确.

14.4n2+2n-12.解析：考察ai+aj（1≤i

二、解答题

15.（1）AB·AC=|AB|·|AC|cos∠BAC=1cos∠BAC=12，

在△ABC中由余弦定理知

BC2=AC2+AB2-2AB·AC·cos∠BAC=3，

所以BC=3.

（2）在△ABC中，

AB2=AC2+BC2∠ACB=π2，

sin∠BCD=sin（∠ACD+π2）=cos∠ACD

=35.

∵∠ACD∈（0，π），

sin∠ACD=1-cos2∠ACD=45，

∴S△ACD=12|CA||CD|sin∠ACD

=12×1×1×45=25.

16.（1）过点D作DO⊥BC，O为垂足.

因为面DBC⊥面ABC，又面DBC∩面ABC=BC，DO面DBC，

所以DO⊥面ABC.又AE⊥面ABC，则AE∥DO.

又AE面DBC，DO面DBC，故AE∥面DBC.

（2）由（1）知DO⊥面ABC，AB面ABC，所以DO⊥AB.

又AB⊥BC，且DO∩BC=O，DO，BC平面DBC，则AB⊥面DBC.

因为DC面DBC，所以AB⊥DC.又BD⊥CD，AB∩DB=B，AB，DB面ABD，则DC⊥面ABD.

又AD面ABD，故可得AD⊥DC.

17.（1）由题意得M（23，149），又因为y′=-2x，所以直线l的斜率k=-43，

故直线l的方程为y-149=-43（x-23），

即y=-43x+229.

（2）由（1）易知l：y-（2-t2）=-2t（x-t），

即y=-2tx+t2+2.

令y=0得x=12（t+2t），令x=0得y=t2+2.

由題意12（t+2t）≤2，t2+2≤3解得2-2≤t≤1.

∴S△ODN=12·12（t+2t）（t2+2）

=14（t3+4t+4t）.

令g（t）=14（t3+4t+4t），

则g′（t）=14（3t2+4-4t2）=3t4+4t2-44t2

=（t2+2）（3t2-2）4t2.

当t=63时，g′（t）=0;

当t∈（2-2，63）时，g′（t）<0;

当t∈（63，1）时，g′（t）>0，

∴当t=63时，g（t）min=g（63）=896.

∴所求面积的最大值为6-896.

18.（1）依题意，设此椭圆方程为mx2+ny2=1，

过点M（4，2）、N（6，3），可得16m+4n=16m+9n=1，

解之得m=124，n=112，

所以椭圆C的方程为x224+y212=1.

（2）（i）当直线OP，OQ的斜率均存在时，不妨设直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，

依题意|k1x0-y0|1+k21=22，

化简得（x20-8）k21-2x0y0k1+y20-8=0，

同理（x20-8）k22-2x0y0k2+y20-8=0.

所以k1，k2是方程（x20-8）k2-2x0y0k+y20-8=0的两个不相等的实数根，

k1k2=-b+b2-4ac2a·-b-b2-4ac2a

=ca=y20-8x20-8.

因x2024+y2012=1，所以y20=12-12x20.

所以k1k2=4-12x20x20-8=-12，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1x1·y2x2=-12，

所以y21y22=14x21x22，

因为x2124+y2112=1x2224+y2212=1，所以y21=12-12x21y22=12-12x22，

所以（12-12x21）（12-12x22）=14x21x22，

所以x21+x22=24，y21+y22=12，

所以OP2+OQ2=36.

（ii）当直线OP，OQ落在坐标轴上时，

显然有OP2+OQ2=36，

综上，OP2+OQ2=36.

19.（1）①当b=-1时，f（x）=1x-1-1x+1=2x2-1，则f′（x）=-4x（x2-1）2，可得f′（2）=-42，

又f（2）=2，

故所求切线方程为y-2=-42（x-2），

即42x+y-10=0.

②当λ=-1时，f（x）=1x-1-1x-b，

则f′（x）=-1（x-1）2+1（x-b）2

=（x-1）2-（x-b）2（x-1）2（x-b）2=2（b-1）（x-b+12）（x-1）2（x-b）2.

因为b<0，则b-1<0，且b

故当b0，

f（x）在区间（b，b+12）上单调递增;

当b+12

f（x）在区间（b+12，12）单调递减.

（Ⅰ）当b+12≤13，即b≤-13时，

f（x）在区间[13，12]单调递减，

所以[f（x）]max=f（13）=9b-92-6b;

（Ⅱ）当13

[f（x）]max=f（b+12）=4b-1.

综上所述，[f（x）]max=4b-1，-13<b<0，9b-92-6b，b≤-13.

（2）f（x）≥1即1x-a+1x-b≥1. （*）

①当x

②当a>x>b时，不等式（*）可化为

（x-a）+（x-b）≤（x-a）（x-b），

展开并整理得，

x2-（a+b+2）x+（ab+a+b）≥0，

设g（x）=x2-（a+b+2）x+（ab+a+b），

因为Δ=（a-b）2+4>0，所以g（x）有两不同的零点，设为x1，x2（x1

又g（a）=b-a<0，g（b）=a-b>0，且b

因此b

所以当a>x>b时，不等式x2-（a+b+2）x+（ab+a+b）≥0的解为b

③当x>a时，不等式（*）可化为

（x-a）+（x-b）≥（x-a）（x-b），

展开并整理得，

x2-（a+b+2）x+（ab+a+b）≤0，

由②知，此时不等式的解为a

综上所述，f（x）≥1的解构成的区间为（b，x1]∪（a，x2]，

其长度为（x1-b）+（x2-a）=x1+x2-a-b

=a+b+2-a-b=2.

20.（1）若an=n，则Sn=n2+n2，

①取M1=S1=1，M2=S4-S1=9，M3=S13-S4=81，满足条件M22=M1M3，

此时t1=1，t2=4，t3=13.

②由①知t1=1，t2=1+3，t3=1+3+32，则M1=1，M2=32，M3=92，

一般的取tn=1+3+32+…+3n-1=3n-12，

此时Stn=3n-12（1+3n-12）2，

Stn-1=3n-1-12（1+3n-1-12）2，

则Mn=Stn-Stn-1

=3n-12（1+3n-12）2-3n-1-12（1+3n-1-12）2

=（3n-1）2，

所以Mn为一整数平方.

因此存在数列{tn}，使得数列{Mn}中的各数均为一个整数的平方.

（2）假设存在数列{tn}，使得数列{Mn}为等比数列，设公比为q.

因为Sn=n2，所以Stn=t2n，则M1=t21，当n≥2时，Mn=t2n-t2n-1=qn-1t21，

因为q为正有理数，所以设q=rs（r，s为正整数，且r，s既约）.

因为t2n-t2n-1必为正整数，则rn-1sn-1t21∈N*，由于r，s既约，所以t21sn-1必为正整数.

若s≥2，且数列{tn}为无穷数列，则当n>logst21+1时，t21sn-1<1，这与t21sn-1为正整数相矛盾.于是s=1，即q为正整数.

注意到t23=M3+M2+M1=M1（1+q+q2）=t21（1+q+q2），于是t23t21=1+q+q2.

因为1+q+q2∈N*，所以t23t21∈N*.

又t3t1为有理数，从而t3t1必为整数，即1+q+q2为一整数的平方.

但q2<1+q+q2<（q+1）2，即1+q+q2不可能为一整数的平方.

因此不存在满足条件的数列{tn}.

第Ⅱ卷（附加題，共40分）

21.A.（1）M1=0-110，

M121=0-11021=-12，

所以点P（2，1）在T1作用下的点P′的坐标是

P′（-1，2）.

（2）M=M2M1=1-110，设xy是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是x0y0，

则Mx0y0=xy，也就是x0-y0=xx0=y，

即x0=yy0=y-x，

所以所求曲线的方程是y-x=y2.

B.（1）直线的参数方程为x=1+tcosπ6y=1+tsinπ6，

即x=1+32ty=1+12t.

（2）把直线x=1+32ty=1+12t代入x2+y2=4，

得（1+32t）2+（1+12t）2=4，t2+（3+1）t-2=0，t1t2=-2，

则点P到A，B两点的距离之积为2.

C.由题知，|x-1|+|x-2|≤|a-b|+|a+b||a|恒成立，

故|x-1|+|x-2|不大于|a-b|+|a+b||a|的最小值，

∵|a-b|+|a+b|≥|a+b+a-b|=2|a|，当且仅当（a+b）（a-b）≥0时取等号，

∴|a-b|+|a+b||a|的最小值等于2.

∴x的范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2的解，解不等式得12≤x≤52.

22.（1）依题意，数对（x，y）共有16种，其中使xy为整数的有以下8种：

（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），所以P（ξ=0）=816=12;

（2）随机变量ξ的所有取值为-1，0，1，

ξ=-1有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），

故P（ξ=-1）=616=38;

ξ=1有以下2种：（3，2），（4，3），

故P（ξ=1）=216=18;

所以ξ的分布列为：

ξ-101

P381218

E（ξ）=-1×38+0×12+1×18=-14，

答：ξ的数学期望为-14.

23.构造An的对偶式Bn=（a2+b2）ncosnθ，下面用数学归纳法证明更强的结论：An，Bn都是整数.

（1）当n=1时，由sinθ=2aba2+b2知cosθ=a2-b2a2+b2，则A1=（a2+b2）sinθ=2ab，B1=（a2+b2）cosθ=a2-b2，于是A1，B1都是整数;

（2）假设当n=k时，Ak、Bk都是整数，则当n=k+1时，Ak+1=（a2+b2）k+1sin（k+1）θ=（a2+b2）k+1（sinkθcosθ+coskθsinθ）=AkB1+BkA1∈Z.

同理可得，Bk+1=BkB1-AkA1∈Z.由（1）、（2）知An、Bn都是整数.

所以，对一切正整数n，An均为整数.