高贵卓

参数的范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围，根与系数的关系、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.

参数范围与最值问题解题策略一般有以下几种：

（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质构造含参数的不等式，通过解不等式解出参数的范围和最值.

（2）代数法：在利用代数法解决范围与最值问题时常从以下五个方面考虑：

①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围;

②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是建立两个参数之间的等量关系;

③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围;

④利用基本不等式求出参数的取值范围;

⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.

一、参数范围问题

例1 如图，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

（1）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程;

（2）设过点F且不垂直x轴的直线l交椭圆于A，B两点，若直线l绕点F任意转动，恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2，求a的取值范围.

解：（1）由图可得：M（0，13b）由正三角形性质可得：∠MFO=π6，kMF=-33，

∴kMF=13b-00-1=-33，∴b=3，

∴a2=b2+c2=4，

∴椭圆方程为：x24+y23=1.

（2）设l：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），

∵|OA|2+|OB|2<|AB|2，

∴cos∠AOB=|OA|2+|OB|2-|AB|22|OA||OB|<0，

∴∠AOB为钝角，∴OA·OB=x1x2+y1y2<0，

联立直线与椭圆方程：y=k（x-1）b2x2+a2y2=a2b2b2x2+a2k2（x-1）2=a2b2，整理可得：

（a2k2+b2）x2-2a2k2x+a2k2-a2b2=0，

∴x1+x2=2a2k2a2k2+b2，x1x2=a2k2-a2b2a2k2+b2，

∴y1y2=k2（x1-1）（x2-1）

=k2x1x2-k2（x1+x2）+k2

=k2·a2k2-a2b2a2k2+b2-k2·2a2k2a2k2+b2+k2

=k2b2-a2b2k2a2k2+b2，

∴x1x2+y1y2=a2k2-a2b2+k2b2-a2b2k2a2k2+b2<0，

a2k2-a2b2+k2b2-a2b2k2<0恒成立，即k2（a2+b2-a2b2）

当k=0时，不等式恒成立，

当k≠0时，a2+b2-a2b2a2b2<1k2恒成立.

而1k2>0，∴a2+b2-a2b2a2b2<0，

∴a2+b2-a2b2<0，∵b2=a2-1，

a2<（a2-1）b2=b4，

又∵a>0，b>0，∴a1+52.

∴a的取值范圍是（1+52，+∞）.

二、方程中参数范围问题

例2 （2016高考江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px（p>0）.

（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程;

（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.

①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）;

②求p的取值范围.

解析：（1）抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为（p2，0），

由点（p2，0）在直线l：x-y-2=0上，得p2-0-2=0，即p=4.

所以抛物线C的方程为y2=8x.

（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点M（x0，y0），

因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，

于是直线PQ的斜率为-1，则可设其方程为y=-x+b.

①由y2=2pxy=-x+b消去x得y2+2py-2pb=0 （*）.

因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2，

从而Δ=（2p）2-4（-2pb）>0，化简得p+2b>0.

方程（*）的两根为y1，2=-p±p2+2pb，从而y0=y1+y22=-p.

因为M（x0，y0）在直线l上，所以x0=2-p.

因此，线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）.

②因为M（2-p，-p）在直线y=-x+b上，

所以-p=-（2-p）+b，即b=2-2p.

由①知p+2b>0，于是p+2（2-2p）>0，所以p<43.

因此p的取值范围为（0，43）.

三、求线段问题的范围

例3 （2016年高考浙江文数）设双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是    .

解析：由已知a=1，b=3，c=2，则e=ca=2，

设P（x，y）是双曲线上任一点，由对称性不妨设P在右支上，因为∠PF2F1为锐角，则1

因为∠F1PF2为锐角，则|PF1|2+|PF2|2>|F1F2|2，

即（2x+1）2+（2x-1）2>42，解得x>72，所以72

故|ΡF1|+|ΡF2|=4x∈（27，8）.

点评：先由对称性可设点Ρ在右支上，进而可得|ΡF1|和|ΡF2|，再由△F1ΡF2为锐角三角形可得|ΡF1|2+|ΡF2|2>|F1F2|2，进而可得x的不等式，解不等式可得|ΡF1|+|ΡF2|的取值范围.

四、斜率范围问题

例4 （2016年高考全国Ⅱ卷理数）已知椭圆E：x2t+y23=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k>0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

（1）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积;

（2）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.

分析：（1）先求直线AM的方程，再求点M的纵坐标，最后求△AMN的面积;（2）设M（x1，y1），将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组，消去y，用k表示x1，从而表示|AM|，同理用k表示|AN|，再由2|AM|=|AN|求k.

解：设M（x1，y1），则由题意知y1>0.

（1）当t=4时，E的方程为x24+y23=1，A（-2，0）.

由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为π4.

因此直线AM的方程为y=x+2.

将x=y-2代入x24+y23=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=127，所以y1=127.

因此△AMN的面积

S△AMN=2×12×127×127=14449.

（2）由题意t>3，k>0，A（-t，0）.

将直线AM的方程y=k（x+t）代入x2t+y23=1得（3+tk2）x2+2t·tk2x+t2k2-3t=0.

由x1·（-t）=t2k2-3t3+tk2，得x1=t（3-tk2）3+tk2，

故|AM|=|x1+t|1+k2=6t（1+k2）3+tk2.

由題设，直线AN的方程为y=-1k（x+t），

故同理可得|AN|=6kt（1+k2）t+3k2.

由2|AM|=|AN|，得23+tk2=k3k2+t，

即（k3-2）t=3k（2k-1）.

当k=32时上式不成立，因此t=3k（2k-1）k3-2.

t>3等价于

k3-2k2+k-2k3-2=（k-2）（k2+1）k3-2<0，

即k-2k3-2<0.因此得k-2>0k3-2<0或k-2<0k3-2>0，解得32

故k的取值范围是（32，2）.

点评：在求解第（2）问时，同学们一般能将直线方程和椭圆方程联立转化为关于x的一元二次方程，由此写出判别式和根与系数的关系，便可得到基本分数.若同学们稍加思考，由于直线和椭圆的一交点为（-t，0），从而可求出另一交点坐标，若要求出k的范围，仍存在一定难度，不等式t>3的落实非常关键.这就需要我们学会使用一定的技巧答题，能答多少答多少.

五、离心率的范围问题

例5 （2017年高考课标Ⅱ，文5）若a>1，则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是    .

解析：由题意e2=c2a2=a2+1a2=1+1a2，因为a>1，所以1<1+1a2<2，则1

点评：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，而建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

例6 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2.这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1·e2的取值范围是    .

解析：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m>n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线定义可得m-n=2a2，即a1=5+c，a2=5-c，（c<5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c>10，可得c>52，即5213，则e1·e2的取值范围是（13，+∞）.

点评：求解本题的关键是利用三角形的两边之和大于第三边建立不等式求出c的范围.

六、面积最值问题

例7 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率与双曲线x24-y212=1的离心率互为倒数，且过点P（1，32）.

（1）求椭圆C的方程;

（2）过P作两条直线l1，l2与圆（x-1）2+y2=r2（0

①求证：直线MN的斜率为定值;

②求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）.

解析：（1）可得椭圆C的离心率e=12，设椭圆的半焦距为c，所以a=2c，

因为椭圆C过点P（1，32），所以1a2+94b2=1，又c2+b2=a2，解得a=2，b=3，

所以椭圆方程为x24+y23=1.

（2）①显然两直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，M（x1，y1），N（x2，y2），

由于直线l1，l2与圆（x-1）2+y2=r2（0

直线l1的方程为y-32=k1（x-1），联立方程组y=k1x-k1+32，x24+y23=1，

消去y，得x2（4k21+3）+k1（12-8k1）x+（3-2k1）2-12=0，

因为P，M为直线与椭圆的交点，

所以x1+1=k1（8k1-12）4k21+3，

同理，当l2与椭圆相交时，x2+1=k1（8k1+12）4k21+3，所以x1-x2=-24k14k21+3，而y1-y2=k1（x1+x2）-2k1=-12k14k21+3，所以直线MN的斜率k=y1-y2x1-x2=12.

②设直线MN的方程为y=12x+m，联立方程组y=12x+m，x24+y23=1，消去y得x2+mx+m2-3=0，

所以|MN|=1+（12）2·m2-4（m2-3）=1524-m2，原点O到直线MN的距离d=|2m|5，

△OMN面积为S=12·1524-m2·|2m|5=32m2（4-m2）≤32m2+4-m22=3，

当且仅当m2=2时取得等号.经检验，存在r（0

七、求其他最值问题

例8 已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率e=33，左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线y2=4x的焦点重合.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）若过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD，求|AC|+|BD|的最小值.

解析：（1）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），所以c=1，又因为e=ca=1a=33，所以a=3，

所以b2=2，所以椭圆的标准方程为x23+y22=1.

（2）（i）当直线BD的斜率k存在且k≠0时，设直线BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程x23+y22=1，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2-6=0.

设B（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=-6k23k2+2，x1x2=3k2-63k2+2，

|BD|=1+k2·|x1-x2|

=（1+k2）·[（x1+x2）2-4x1x2]

=43（k2+1）3k2+2. （*）

易知AC的斜率为-1k，将（*）式中的k用-1k替換，

所以|AC|=43（1k2+1）3×1k2+2=43（k2+1）2k2+3.

|AC|+|BD|=43（k2+1）（13k2+2+12k2+3）

=203（k2+1）2（3k2+2）（2k2+3）≥203（k2+1）2[（3k2+2）+（2k2+3）2]2

=203（k2+1）225（k2+1）24=1635.

当k2=1，即k=±1时，上式取等号，故|AC|+|BD|的最小值为1635.

（ii）当直线BD的斜率不存在或等于零时，

易得|AC|+|BD|=1033>1635.

综上，|AC|+|BD|的最小值为1635.

点评：本题要熟悉椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系问题，在求解目标式的最值问题时务必先用变量表示目标式，再结合不等式即可得出结论，同时直线与椭圆的弦长公式也要非常熟悉.