涂逸可

摘 要：本文从单摆的微分方程出发，先研究了小角度近似下的简谐振子运动，接着从能量守恒定律的角度求解了任意角度单摆的周期，最后给出了几种大角度单摆近似的研究方法。

关键词：单摆 泰勒展开 周期

引言

单摆在物理学中不但具有重要的理论意义和实践意义，还具有重要的教学价值，是许多发明创新的出发点。在高中物理里讨论最多的就是一种类似于简谐振动的单摆运动，但这仅限于小角度摆动。所以当初在单摆的简谐振动时我就在思考着如果单摆角度过大时，单摆的运动将是什么样的，这种大角度单摆运动是否还能够运用高中物理所学到的周期公式。同时高中物理中经常会说到这种类似于简谐振动的单摆运动只适用于角度不超过5°的情况，角度一定是不超过5°就可以用 ，如果角度是5.1°呢，情況会有变化吗？

一、简谐振动的单摆

单摆是一种物理模型，它是一个形状、大小都可以看成质点的小球系在不计伸长和质量的摆线上的理想状态。建立物理模型是研究和解决物理问题的关键，而单摆模型是讨论和处理有关单摆运动必不可少的要素，尤其是研究单摆的运动周期，如图1所示。单摆运动问题有两个基本性质如右：

①单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并指 向平衡位置的分力 提供的（ 为单摆的摆角）。

②回复力越大， 回复力产生的加速度越大， 则摆球振动的周期越小，所以回复力的大小影响振动的快慢。

设摆长为L、质量为m的单摆在重力场g中作小角度摆动，由牛顿第二定律可得到单摆受力方程：

当单摆摆角θ很小时，也就是高中物理中经常提到的小于5°时，可以作下面这样的近似（这个近似在接下来的泰勒展开中会详细探究一下为什么可以这么运算）

这样上面的方程可以进一步化为

这就是简谐振动近似下的单摆运动方程，求解这个方程就可以得到高中物理中提到的单摆周期公式，对于上述这样的微分方程可以得到：

继续求解可以得到单摆的周期公式

二、大角度单摆周期中要用到的泰勒公式

后面将继续探究大角度单摆，也就是非简谐振动情况下的单摆运动，在这之前我们有必要介绍一下其中需要用到的数学处理方法泰勒中值定理。

在平常的物理运用中我们经常使用这些近似公式 ，将复杂函数用简单的一次多项式函数来近似表示，这是一个进步。但是这些近似表示式过于粗糙，在 较大时其近似结果偏差非常大。所以在上述这样的情况下人们就想着去改进这样的情况，一是提高近似程度，比较有效的方法就是增加多项式的次数。二是对于近似，如果知道了其近似过程中的误差也会极大地改进近似效果。

这一展开式中的第一项，在θ取值极小时写出来当作 的近似项，而高中物理中提到的小角度简谐振动单摆在摆角低于5°时才能近似为简谐振动，就是因为当角度很小时， 与其第一项的θ偏离极小，所以对于之前提出的如果摆角不是5°而是5.1°时，这时候的近似还是有效的。因此对于小角度单摆的运动方程是否可以写为简谐振动的方程，应当看 与其一次近似项的偏差是否过大。

三、大角度单摆周期的几种求解方法

1.单摆周期的精确解

在探究大角度单摆周期的近似求解方法之前，先研究一下关于任意摆角的单摆周期公式。对于上述的单摆过程中，从能量守恒的角度可以得到

上述公式实为椭圆积分表示式，积分步骤繁杂，对于这类积分超出了我的研究范围，所以接下来我将采用之前提到的泰勒展开方法，将积分项运用泰勒公式展开之后再代入到原先的积分中求解，而展开之后的积分可以查询简单的积分表得到积分结果。

2.大角度单摆周期近似解的待定系数解法

之前在小角度单摆近似中我们取 的一次近似项θ解单摆的运动方程。上述我们也讨论关于单摆周期的精确解法，这一解法虽然相对于椭圆积分相对容易一些，但还是相当的繁琐，所以为了进一步简化计算，更加方便快捷地得到我们需要的大角度单摆周期，采用待定系数的方法去实现这一功能。

首先我们将sinθ应用二倍角公式展开：

此时将变量 看作一个常数 ，其中 ， 仍然是之前我们所提到的摆线偏离平衡位置的最大偏角，μ是待定系数。这样上式可以写作

其中 。这样上式就是对于小角度单摆运动方程的修正，只是其中多了一项待定系数，如此之后方程就又能够简单求解了。可以得到

上述式中μ是一个待定系数，求出这一待定系数就可以得到较精确的周期公式。求解的方法就是取不同的μ值，代入到大角度周期公式与任意角度周期公式中，然后再取不同的摆角，得到相应的T1值和T值，将这两个周期值作比较，选取一个最合适的μ值，使得这两个周期值相差极小。在此基础上还可以将上述sinθ用三倍角、四倍角或者五倍角公式展开进行近似，只不过待定的系数将不是一个μ值，会有更多的待定系数，这样得到的结果也会更加接近精确解。

除上述这两种近似方法以外，还有许多其他的近似方法，比如将上述方程中的sinθ用其麦克劳林展开式来替代，选取其中的前两项或者前三项代入方程中，只不过这样的微分方程不如上述第二种的微分方程求解起来简单，所以这里就不详细研究了。

结语

本文从单摆的线性方程出发，求解小角度单摆的周期情况，再介绍了一下数学中的泰勒展开式，并运用数学上的这种泰勒展开的近似思想去求解大角度单摆周期甚至是任意角度的单摆周期。但是上述单摆是没有空气阻尼时的单摆运动情况，如果考虑空气阻尼之后，单摆的运动将会变得更加复杂，就不能直接求解出来，即使是小角度的单摆，也不再是简单的简谐振动，方程也将变成非线性的，需要运用计算机数值求解，也会导致物理上的另一种奇特的现象“混沌”。

参考文献

[1]陶利.大角度单摆运动问题的计算机模拟[J].中国西部科技，2010，9（08）：42-43.

[2]谭志中.求大摆角单摆周期近似解的“局部常化”方法[J].大学物理.2005（12）.

[3]赵凯华.从单摆到混沌[J].现代物理知识.1993（05）.