吴佐纪

【摘要】作为一线教师眼中的数学文化教学，从二基要求到数学核心素养的培养，教与学如何辩证地把握？笔者从情感努力出发，抓住一词一句一文化在感染学生的学习和生活，“啊哈”“杨辉三角”等好记的词来激发学生对数学课学习的热情，把数学的教与学作为人类文化的重要组成部分来进行诠释，突出以中国“芯”要求为教与学的爆破点，强调自信地学，不惟考试论.

【关键词】数学文化;正方形面积

【基金项目】福建省教育科学“十三五”规划教育科研基地专项课题“基于问题导引的初中数学“五学”教学模式的实践研究”（课题编号：FJKYJD16-11）.

学完数学我们剩下什么？第一是我们“菜大妈”级的强大计算力，第二呢？就是没有什么实用的了，这是很多人的想法.难道是真的吗？不是.其实，我们剩下很多很多，有一种叫思维，有一种叫能力，还有一种叫思考的习惯，还有一种叫学习的乐趣，一种可以终身为之而努力的学习情感等.我们义务教育阶段的数学教育除了满足学业水平和升学考试需要外，我们还要培养学生什么.对教师来说，数学文化视域中的数学教师应该追求“超越”水平的数学教学，而这种“超越”水平的数学教学则应充分体现“整体、联系与转换”“留有余地”等特征[1].在《标准》中的前言是这样说道：“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民具备的基本素养.作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代作用.”[2]最近“中國芯”在人民心中产生不少地震动，而数学这个基础学科，是自然科学的重中之重的学科，对学生的启蒙发展起着很大的作用.最近本人总是以“中国芯”的开发为教与学的爆破点，一直在强调只有自己有“芯”，祖国才会昌盛.当然每个个体发展的不一样，那他们的“芯”要求也不一样，但对自己有要求之后，才会对学习产生兴趣，而兴趣是个非常好的老师.

笔者很喜欢在北师大版七年级上册第五章的第一节练习中的一个问题：在一卷公元前1600年左右遗留下来的古埃及纸书中记载这样一个问题：“啊哈，它的全部，它的七分之一，其和等于19.”这个“啊哈”的词令本人激动不已，它是对字母表示数解决问题的快，对方程应用的感叹，是一种新思维的快挑战，是一种学习的奇乐趣.

今天讨论的问题来自：在教学多项式乘多项式的课时作业中有几题（x+y）2型的乘方算式，很多同学大胆地使用了积的乘方公式来进行计算得x2+y2，“啊哈，这是真的吗？”

由此，笔者对完全平方公式的教学就有了笔者的创意了.为使学生在教学中积极探索，不是跟着教师走，笔者设计如下三节课时来探究完全平方公式.

一、第一节课的课题是研究正方形面积的加

案例简要：

此课时的开篇引入是求正方形面积.学生高兴坏了，不就是等于a的平方.“好的，如果一组两邻边长均增加长度b再成正方形，那么新正方形的面积是多少？请同学们在小组里讨论讨论.”这时学生个个跃跃欲试，讨论声是此起彼伏.最后经过学生小组讨论，一致地认为，要解此问题，先画一个相当的图比较合适，然后在图中进行观察并计算，可以得出结果为（a+b）2，或是可以看作是几个小块图形的面积之和即a2+ab+ab+b2.这样的讨论结果很好，是本节课很想要的预构目标，也为本节课的演绎奠定了学习的基础.探究继续：“如若正方形的两邻边长均增加2后构成新的正方形，那么新图形面积会是多少？还是把解决问题的权利交给学习小组，让他们玩去吧！”笔者作为一个巡查者，观察者到处看看.大部分学生在小组中都能找到解决的方案，并且较顺利地进行利用图形进行图解题意.

“好吧，大家对刚才自己的探讨有什么发现？”

接着，教师道：“我弱弱地问大家一个神秘地问题.”教师神经兮兮地把上一节的错误问题给列出来：“那大家知道（x+y）2会等于多少？真是等于x2+y2吗？”学生沉默了一会儿.平时几个数学鬼灵精就要开口欲言.笔者见状，赶紧说“你们若想好了，不如先向小组同学汇报一下你们的看法如何？小组如果力推你，我就让你讲.好吧，好吧，开始，用你的智慧说服你的队友，寻求你队友的支持.”最后在师生相互交流中我们得到共识：（a+b）2=a2+2ab+b2.

于是，大家来一起定义这样一个基本事实，（a+b）2的展开与（ab）2展开是不一样的，道理应当是这样的：（ab）2=a2b2，这是叫积的乘方，而对（a+b）2=a2+2ab+b2这样的等式，我们称它为完全平方公式.应用中：（x+4）2，（x+3y）2，1022.大家利用刚才的发现来解决这些问题，当然大家还要用图形对她们进行解释说明.啊哈，英雄们冲啊！

二、第二课时的课题是研究正方形面积的减

案例简要：

昨天大家探索得出一个叫完全平方公式的等式，复习一下：“她的图形特征是怎样的，等式特征如何？你会怎样描绘她的代数式形状？”这里的复习要求是从图形和代数两个角度来考查学生的记忆特征.

好的，我们再次积极地来探索一个反方向的问题：“你知道（a-b）2等于多少？好了，问题已经摆在我们的面前，你们可以征服她吗？来吧，勇士们！”

学生积极地在小组中进行研究讨论，发表自己的见解.学生根据昨天地学习经验在画图，在计算，在讨论.师生交流：“把一个边长为a正方形边长的两领边分别减去b的长度，再做出正方形，则余下的图形面积是（a-b）2.如若从分块角度，大家认为如何表示新的正方形的面积？”教师再次积极地引导大部分的学生进行再次思考，这个非常有必要，因为学生的层次差别很大的.最后大家共同得出：a2-ab-ab+b2.“为什么最后要加一个b？从图中可以得知减去两个ab的面积，在角落多减去一片b的面积.于是我们可以得到怎样的一个等式？哦，是的：（a-b）2=a2-2ab+b2.请同学们思考，这个等式与昨天的探索出的等式是否有联系？请同学们认真的比对和思考.”几分钟过去，交流时间开始.一生说：“同学们，你们看，等式右边都是三项，每项除符号外均相同，有两项是完全相同，它们分别是a2和b2，就是2ab项是有正负的，昨天的是正的，今天这个是负的.”另一生积极地补充道：“括号内是加时，2ab项前的符号就是加的，括号内是两项相减的，则2ab项前的符号就是减的.真是如这两个同学所言吗？请大家在小组里就刚才这两个同学的发言进行再次的审视和论证.”

既然大家发现有这样的特征关系，我们可以正确地使用它吗？练习巩固：（x-4）2，（x-3y）2，982.

三、第三课时的课题是用三角形解（a+b）5展开式

案例简要：

“课题很动人哦！好吧！回忆前面两节我们探索得知有这样两个等式事实：她們叫着什么来着？”生一起悦言道：“完全平方公式.”“你知道在中国什么时候就出现这样的公式.今天我们来好好了解一下，好好来考古一下.”下面材料从网上下载，制作成幻灯片，与学生共同学习和了解：

北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算.（不会吧，这么厉害，是高次开方，说明中国先人早早就对自然科学进行的研究.）杨辉，南宋时期杭州人.在1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”.元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”.

意大利人则把它称之为“塔塔利亚三角形”（Triangolo di Tartaglia）以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚.在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”.布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介绍了这个三角形.帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形.21世纪以来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）.

“同学们看完这个中国三角形的历史介绍，你当如何想呢？”今天，中国要在品牌品质上要进一步发展壮大，更加需要在自然科学方面做出更加重大的突破，来破解中国发展中诸多方面的“芯”要求.在学习中，要善于发现新的计算规律，去探索空间里存在的规律.

“我们已经知道（a+b）2=a2+2ab+b2，那么（a+b）3的三次方会等于什么？当然，我们可以根据以前所学进行求解，把（a2+2ab+b2）再乘（a+b），而后再次使用乘法分配律进行计算.那么（a+b）4会等于多少？”师生一起操练.

“如果将上述每个式子展开的各项系数排成列表，与书上的杨辉三角一样吗？你们可以看出这个三角形的数字排列来怎样的规律？好的，我们现在一起利用这个规律来展开（a+b）5.”

教师通过这节课让学生知道一下中国的自然科学探索古就有之，而不是全部是外国引进的，建立起初步地文化自信，民族自信，梦想自信.

四，教学反思

图形是数学最美的东西，是解开数学美的一个好工具，有了图形数学就变得生动，变得有味道.是的，你可以从图形中看到数学的美.“啊哈，我可以记住，我可以容易地记住数学”，这就是图形给你和我的惊喜.有图有数是快乐，有图无数缺点什么，有形无图好无味.

在以上案例教学中，我们从平常地正方形面积变化，到历史长河中的杨辉三角，学生可以较有味道地进行理解和解读中学阶段的一个重要公式，从这样的探索中，学生可以更加深刻地体会数形结合产生的研究成果，也感受到杨辉三角解二项式的直观.这里为什么要设计第三课时学习和认识杨辉三角，这是数学文化作为一种文化形态，在低学段开展对人发展的影响作用可能更大，义务教育阶段的积极开展数学文化的教学与研究具有重要的意义[3].

【参考文献】

[1]徐文彬，彭亮.中国数学教育哲学研究的回顾与反思（2000-2015）——兼论数学文化的教育哲学探索[J].数学教育学报，2017（2）：6.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：2-3.

[3]裴昌根，宋乃庆.我国数学文化研究的文献计量分析[J].全球教育展望，2017（2）：89-98.