陈升富， 常思江， 吴放

(南京理工大学 能源与动力工程学院， 江苏 南京 210094)

0 引言

为了提高导弹在现代防御系统下的生存能力和杀伤力，设计可实现导弹飞行时间控制的攻击时间控制制导律正越来越受到研究人员的重视。通过对导弹攻击时间的控制，一方面能够使不同发射条件下的导弹同时攻击目标，提高导弹在近防武器系统[1-3]下的生存能力；另一方面可实现无需各导弹数据交流下的协同制导，通过对目标进行饱和打击，以提高对大型目标的首次毁伤能力。

自攻击时间控制制导问题提出以来，研究人员基于不同的控制理论和方法，设计出各种不同的攻击时间控制制导律，如基于比例导引法[1-10]、基于最优控制理论[11-12]、基于Lyapunov稳定性理论[13-14]以及基于成型理论[15-19]等的制导律。根据制导律设计所需信息的不同，现有的攻击时间控制制导律可简单分为两类：需要剩余飞行时间估算[1-6,8-9,14,20-25]和不需要剩余飞行时间估算[7,10-13,15-19,26-28]。前者通过剩余飞行时间估算计算出攻击时间误差，从而进行攻击时间控制制导律的设计。需要指出的是，这种剩余飞行时间估算方法大多基于比例导引法，因此所实现攻击时间控制的弹道轨迹将随着攻击时间误差趋向于0而逐渐演变为比例导引法下的弹道轨迹。对于不需要剩余飞行时间估算信息的攻击时间控制制导律，通常通过控制参数的设计实现所需的攻击时间。文献[13]基于Lyapunov准则，推导获得带有不完全beta函数项的攻击时间解析解，通过选取合适的控制参数实现所需的攻击时间。文献[15-19]分别应用关于前置角和弹目连线距离的多项式成型技术，通过选取合适的多项式系数实现攻击时间控制。这种控制参数的设计往往需要数值迭代求解微分方程，较为繁琐，且对初始条件的变化较为灵敏(如初始前置角、所需攻击时间等)，不利于实际工程的应用。

近年来，滑模控制因其对不确定干扰的固有鲁棒性而广泛应用于带约束的制导律设计[29-31]，在基于滑模控制的攻击时间控制制导律设计方面取得了不少研究成果[20-24，26-28]。文献[26]针对非线性模型，基于视线角成型技术和2阶滑模控制技术，通过对视线角成型参数的选取实现所需末端约束。文献[20]针对静止目标，应用文献[2]提出的剩余飞行时间估算方法计算攻击时间误差，通过攻击时间误差和视线角速率组成的滑模面，推导出可应用于大前置角下的攻击时间控制制导律。文献[21]利用仅由攻击时间误差所组成的滑模面，推导出没有控制奇点的攻击时间控制制导律。文献[22]应用时变滑模控制技术，推导了攻击时间和落角约束下的制导律，通过两个未知滑模系数的选取分别实现攻击时间和落角约束。

由于实际工程应用中导引头视场角的有界性，所设计的攻击时间控制制导律应满足视场角约束，而目前考虑视场角约束下的攻击时间控制制导问题研究相对较少[5-8,10,12-13,24-25, 28]。现有的研究文献可以分为两类：

1)使前置角单调减小的攻击时间控制制导律[10,13]。文献[10]通过计算关于弹目连线距离和前置角的时变比例系数函数，实现前置角的单调减小，从而保证视场角约束下的攻击时间控制。这类方法易受初始前置角的影响，初始前置角的大小将影响攻击时间的可控范围。

2)允许使用不超过视场角边界值的前置角[5-8, 12,24-25, 28]。文献[25]提出常前置角制导律与攻击时间控制制导律的逻辑转换实现视场角受限下的攻击时间控制；文献[5-8]采用偏置比例导引法的方式实现攻击时间控制，通过偏置项中的余弦权重函数实现视场角约束；文献[28]针对非线性模型，应用末端滑模技术，通过逻辑转换关于前置角的滑模面实现视场角约束下的攻击时间控制。这类方法虽然无需剩余飞行时间估算信息，但滑模面需要通过数值求解的方法实时计算。

上述大多数文献设计的带有视场角约束攻击时间控制制导律，当前置角为0°时都存在控制奇点，无法实现攻击时间控制。

为消除这一控制奇点并深入探索滑模控制技术在带有视场角约束的攻击时间控制制导律设计中的应用，本文将开展相关研究：1)建立视场角约束下的导弹目标相对运动模型；2)推导基于滑模控制的攻击时间控制制导律，并进行稳定性分析；3)进行数值仿真验证。

1 弹目拦截数学物理模型

如图1所示，考虑在导引头视场角约束下拦截静止目标的几何运动。图1中：M表示导弹，T表示目标；R为导弹与目标之间的距离；v为导弹速度，假设v为常值，且忽略自动驾驶仪的延时；a为导弹的加速度；γ和θ分别为导弹弹道角和弹目视线角；φ、φ0和φmax分别为导弹速度矢量前置角(简称前置角)、导弹初始前置角和视场角边界值；坐标系Oxy用来描述导弹的弹道轨迹。

图1 视场角约束下的导弹与静止目标间相对运动关系Fig.1 Relative motion relationship between missile and stationary target under the constraint of field-of-view angle

由图1可知，导弹满足：

(1)

(2)

(3)

φ=γ-θ，

(4)

(5)

定义攻击时间误差为

s=tgo-tgd，

(6)

式中：tgo为导弹当前时刻的实际剩余飞行时间，通常由估算获取；tgd=td-t为所需的剩余飞行时间，td为所需的攻击时间，t为导弹发射后经过的时间。需要指出的是，所需的攻击时间td必须大于导弹飞行的最短时间R0/v，R0为初始弹目连线距离。由文献[25]可知，对于视场角受限下的攻击时间控制问题，所能实现的攻击时间td存在一定的范围，即攻击时间可控范围I{td∈R:tdmin≤td≤tdmax}，其中，tdmin和tdmax为正常数，分别表示可实现的最小和最大攻击时间。

当弹体轴向与导弹速度方向的夹角(即导弹的侧滑角)足够小时，导引头的视场角受限可近似为导弹前置角受限[5,10,25]。此时，导引头的视场角受限问题可描述为在整个飞行过程中满足|φ(t)|≤φmax，φmax是由导引头视场角边界所确定的正常数。

为便于描述视场角约束下的攻击时间控制制导律，进行如下假设：

1)导弹的初始前置角满足|φ0|≤φmax；

2)所需的攻击时间td选取合适，使得td∈I，则视场角约束下的攻击时间控制问题可描述为在加速度指令a的制导下，导弹满足如下约束方程：

(7)

因此，本文所要研究的问题可简述为设计一个满足(7)式的制导律，从而实现视场角约束下的攻击时间控制。

2 带视场角约束的制导律设计与分析

2.1 带视场角约束的制导律设计

由(6)式可知，剩余飞行时间tgo通常由估算获取，其估算精度将影响攻击时间制导律的性能。因此，本文选择的剩余飞行时间估算公式[2]为

(8)

式中：N为比例系数，N>1.

为设计满足(7)式的制导律，对攻击时间误差s求关于时间的导数，有

(9)

将(2)式和(3)式代入(9)式，有

(10)

由(10)式可知，应用Lyapunov非线性控制理论，可以设计满足视场角约束下的滑模攻击时间控制制导律为

(11)

式中：k为设计参数，k>0；

(12)

(13)

显然，在制导律(11)式的作用下，R、φ以及s随时间的变化关系可以重新表示为

(14)

(15)

(16)

下一节将利用(14)式～(16)式证明，所设计制导律(11)式在满足假设条件下能够实现视场角约束下的攻击时间控制。

2.2 制导律的稳定性证明与分析

定理在满足假设1和假设2的条件下，考虑制导系统(14)式～(16)式，对于给定的所需攻击时间td，当参数N和k选取合适时，制导律(11)式能够实现视场角约束下的攻击时间控制，即满足(7)式。

为证明该定理，需分两步，首先证明所设计制导律满足视场角约束要求，其次证明所设计制导律满足攻击时间误差收敛性要求。

2.2.1 关于满足视场角约束的证明

为证明所提出制导律在整个制导过程满足视场角约束，即在满足假设条件下，集合Ω∈{φ:|φ(t)|≤φmax}不变，取如下形式的Lyapunov候选函数：

(17)

对(17)式关于时间求导，并代入(15)式，有

(18)

当前置角到达视场角边界值，即|φ|=φmax时，(18)式变换为

(19)

(20)

显然，对于χ∈(0 rad, π rad)，f(χ)>0恒成立。

下面进行相应的证明：

(21)

(22)

应用以上结论，当|φ|=φmax时以下不等式恒成立：

(23)

2.2.2 攻击时间误差收敛性证明

首先分析一个奇点问题，制导指令(11)式和前置角变化速率(15)式由于各自第1项的存在，在前置角趋向于0°时将可能包含奇点问题。但由洛必达法则可知，当φ趋向于0°时，制导指令(11)式和前置角变化速率(15)式的第1项可表示为

(24)

式中：ξ分别取1和2时，即为(11)式和(15)式的第1项。由(24)式可知，当φ趋近于0°时，(11)式和(15)式不存在奇点问题。

为证明攻击时间误差收敛，取如下形式的Lyapunov候选函数：

(25)

对(25)式求关于时间的导数，并代入(16)式，有

(26)

(27)

(28)

式中：下标0表示初始条件，且φ0≠0°. 需要再次指出的是k应大于0. 当s=0 s时，结合(6)式和(8)式，可以有

(29)

随着时间t的增加，(29)式的右端项tgd减小，弹目相对距离R也将逐渐减小，最终，当tgd趋向于0 s时，弹目相对距离R也趋向于0 m，从而在所需的时间td内拦截目标。

综上所述，在满足假设的条件下，本文所提出的制导律(11)式能够实现视场角约束下的攻击时间控制(即满足(7)式)，且没有奇点问题。

2.3 攻击时间控制能力分析

2.4 与纯比例导引法之间的关系

本文设计制导律时所用剩余飞行时间估算公式(即(8)式)是文献[2]基于纯比例导引法，在小角度近似假设下推导得到的。因此，为了说明本文所提制导律使用(8)式作为剩余飞行时间估算公式的合理性，有必要研究所提出制导律与纯比例导引法之间的关系。对前置角应用小角度近似假设，并忽略3阶高次项ο(φ3)，有

(30)

当攻击时间误差s=0 s实现时，由(30)式可知，所提出带视场角约束的攻击时间控制制导律(11)式将转换为

(31)

3 数值仿真分析

为验证本文所提出制导律的性能，本节将对所提出的攻击时间控制制导律进行数值仿真分析。需要指出的是，在应用本文所提出制导律时，采用如文献[21,30-31]所给出的sigmoid连续函数近似替代不连续函数sgn (·)，从而在确保制导系统稳定性的前提下，避免因符号函数sgn (·)的不连续所造成的制导指令抖动问题，其函数表达式为

(32)

式中：b为设计参数，本文取b=20. 导弹的最大加速度为|a|max=5g，导弹的视场角为[-45°,45°]，比例系数N=3，参数k=280.

3.1 不同条件下制导律性能

为验证所提出制导律的性能，对不同条件下的制导律性能进行数值仿真分析。仿真参数如表1所示。仿真结果如图2和图3所示。

表1 不同条件下的仿真参数Tab.1 Simulation parameters at different conditions

图2给出了td=40.00 s时，初始前置角分别为-45°、-20°、15°以及30°的仿真结果。根据文献[25]所计算出的可实现攻击时间控制范围分别为[33.87 s, 44.52 s]、[33.38 s, 43.75 s]、[33.35 s, 43.48 s]以及[33.49 s, 44.17 s]，因此所选取的控制时间满足假设要求。图2(a)～图2(d)分别表示制导指令、前置角、攻击时间误差和弹道轨迹在不同初始条件下的变化情况。导弹的初始加速度达到饱和，使得攻击时间误差迅速减小、前置角增加。当前置角达到视场角边界值时，导弹过载迅速减小，以保证前置角不超出视场角边界值。当攻击时间误差减小为0 s时，前置角逐渐减小，制导律逐渐演变为纯比例导引法。因此，在弹道末端的需用过载逐渐减小并最终为0g，导弹的抗干扰能力也将随之增强。

图2 不同初始前置角下的仿真结果Fig.2 Simulated results at different initial leading angles

图3 不同所需攻击时间的仿真结果Fig.3 Simulated results at different desired impact times

图3是初始前置角为40°(其攻击时间控制范围为[33.38 s, 43.75 s])时，不同所需攻击时间的仿真结果。由图3(a)～图3(d)可知，所提出的制导律既可实现攻击时间误差大于0 s的控制，也可以实现攻击时间误差小于0 s的控制。当攻击时间误差大于0 s时，制导指令通过加快前置角减小的速度来实现攻击时间的控制；当攻击时间小于0 s时，制导指令通过在满足视场角约束下增大前置角，实现所需控制的攻击时间。值得注意的是，由于文献[25]所计算的最大攻击时间是假设制导末端以最大加速度进行圆形制导获得的，在实际工程应用时，为确保攻击时间的控制精度及终端制导指令为0g，所选取的攻击时间应满足td

以上仿真算例其最终的攻击时间误差均满足|s|≤2.00×10-4s，这表明当满足假设条件时，本文所提出的攻击时间控制制导律能在不同条件下很好地实现所需控制的攻击时间，并满足视场角约束。

3.2 与其他制导律的比较

为进一步验证所提制导律的性能，本节将与文献[5]所提制导律进行对比仿真，仿真条件为：初始前置角10°，所需攻击时间td分别为40.00 s和42.00 s，此时对应的攻击时间可控范围是[33.34 s, 43.21 s]。此外还对比了初始前置角为0°、所需攻击时间为40.00 s时的特殊情况。所得的对比结果如表2以及图4和图5所示。

文献[5]所提出的制导律为

(33)

式中：Kb=0.5v2/R；w(s)定义为

(34)

δ1和δ2分别为小的正常数。根据文献[5]，δ1和δ2分别取0.005和0.1.

表2 不同制导律下的仿真性能Tab.2 Simulation performances of different guidance laws

由表2可看出，当所需攻击时间较小时，两种制导律的控制性能相当，当所需的控制时间较大时，本文方法所需的控制能量及过载达到饱和所占总制导时间的比例明显小于文献[5]所提出的方法。

由图4(a)～图4(d)可知，两种制导律都能在满足视场角约束的条件下，按所需的攻击时间击中目标。图4(c)表明所提出制导律的攻击时间误差收敛速度快于文献[5]的制导律。这与图4(a)中本文方法下的初始过载饱和时间稍大于文献[5]相符合。具体对比图4中不同td下的曲线可以发现：当所需攻击时间较小(td=40.00 s)时，本文所提出制导律的控制效果与文献[5]相似，具有可比性；当所需攻击时间较大(td=42.00 s)时，文献[5]的制导律在制导末段的过载有明显的突变且达到饱和，这种情况在实际工程应用中是不利的，而本文所提制导律在制导末段的过载变化较为平缓，且没有达到饱和。结合攻击时间的可控范围以及表2进行分析可知，当所需的攻击时间靠近攻击时间可控范围I的上边界(tdmax)时，本文的所提制导律控制性能要优于文献[5]的制导律。

图5是初始前置角为0°，即导弹沿着弹目连线飞行的特殊情形。由图5可看出文献[5]的制导律无法实现攻击时间控制。这是因为其制导指令在初始前置角为0°时是无穷的，无法进行攻击时间的控制。故其导弹的过载和前置角保持不变(见图5)，导弹沿弹目连线飞行直到击中目标，无法实现攻击时间控制。而本文所提出的制导律在初始前置角为0°时，能够很好地实现视场角约束下的攻击时间控制。

以上仿真结果表明，本文所提制导律在所需攻击时间较大时的控制效果要优于对比文献，而当所需攻击时间不大时，两种方法的控制性能相当。此外，本文所提制导律没有控制奇点，表明所提制导律具有一定的优越性。

图4 本文制导律与现有制导律的对比Fig.4 Comparison of the proposed and existing guidance laws

图5 初始前置角为0°的仿真结果Fig.5 Simulated results at zero initial leading angle

3.3 应用于协同攻击

假设3枚具有不同速度和不同初始条件的导弹参与协同制导，所需的攻击时间相同。各枚导弹的仿真参数如表3所示，其他条件与3.1节相同。

表3 协同攻击的仿真参数Tab.3 Simulation parameters for cooperative attack

图6为不同导弹协同攻击的仿真结果。图6(d)中vi和tfi分别为各枚导弹的速度以及在纯比例导引法下的飞行时间，i=1,2,3. 3枚导弹在纯比例导引法下的飞行时间tfi分别为34.27 s、33.97 s以及36.93 s. 由文献[25]所计算出的各枚导弹攻击时间可控范围分别为I1、I2和I3(具体范围见表3)。因此，为满足假设条件且实现各枚导弹同时击中目标，所选择的攻击时间td应满足td∈IR，其中IR=I1∩I2∩I3. 本算例所选择的攻击时间为40.00 s，满足要求。由图6可知，本文所提制导律能够很好地应用于协同攻击，实现不同导弹同时击中目标，且在整个制导过程中满足导引头视场角约束。

4 结论

本文针对静止目标，对带有视场角约束的攻击时间控制问题开展深入研究，通过理论分析和数值仿真验证，得到以下结论：

1)本文所提滑模攻击时间控制制导律，能够很好地实现视场角约束下的攻击时间增大或减小的控制。解决了文献[5]所存在的初始前置角为0°时无法进行攻击时间控制的问题，并在某些条件下具有更优的制导性能。仿真结果表明，所设计的制导律应用于导弹协同攻击制导问题具有较好的效果。

2)通过理论分析证明了本文所提制导律能够满足视场角约束和攻击时间控制的Lyapunov稳定性条件。

3)通过理论分析表明，当攻击时间控制实现时，本文所提制导律将演变为比例导引法。

图6 协同攻击的仿真结果Fig.6 Simulated results for cooperative attack

4)本文所提带有视场角约束的滑模攻击时间控制制导律，可作为对考虑视场角约束的攻击时间控制制导方法的补充。