赵建博， 杨树兴， 熊芬芬

(1.北京理工大学 宇航学院, 北京 100081; 2.西安现代控制技术研究所, 陕西 西安 710065)

0 引言

寻的制导系统由于可实现导弹“发射后不管”，一直是制导领域的研究热点[1]。在末制导段，寻的制导系统需要时刻依赖导引头提供导弹相对于目标的运动信息，从而由弹上计算机根据制导律得出控制回路所需的加速度指令。然而，导弹导引头往往造价昂贵，通常占整枚导弹总体造价的1/3以上，因此有必要对无导引头导弹的制导问题进行研究。

现有的无导引头导弹制导主要包括两类：其一是采用外部制导方案(驾束制导、指令制导等)，即通过地面站实时控制导弹的运动轨迹，使其命中目标[2-3]，然而这种方式由于在制导回路中需要地面站参与，无法实现导弹“发射后不管”，且存在地面站位置暴露的问题；其二，基于协同制导，无导引头导弹可在一枚有导引头导弹的带领下对目标进行协同攻击[4-5]，然而，若考虑无导引头导弹具有一定的定位误差，则基于上述协同制导律均会产生较大的脱靶量。

为了减小无导引头导弹的定位误差，可采用协同定位对其位置进行估计。导弹协同定位方法主要分为导弹集群协同与领弹-从弹协同两种方式[6]。对于第1种协同方式，文献[7-8]基于全系数加权最小二乘法对分别由数据链和惯性导航(简称惯导)系统测得的两导弹间距进行处理，即基于全局信息对所有导弹的位置估计值进行整体优化。尽管这种方法可提高导弹位置的估计精度，但由于其主要适用于全通信的导弹集群且要求集群中每枚导弹具有相同的定位精度，故限制了其在实际战场环境下的应用。此外，基于“领弹-从弹”架构，王小刚等[9]采用卡尔曼滤波对由数据链和惯性导航系统测得的领弹-从弹间距之差进行处理，从而得到从弹的惯性导航参数误差。这种协同定位方法虽然在原理上与卫星定位技术类似，但在工程上有更大的应用价值，主要原因为：1)由于导弹间距远小于卫星-导弹间距，故电离层及多路径对伪距的影响可忽略不计；2)由于在战时己方定位卫星很可能会受到对方的攻击与干扰，故此时采用卫星定位的可靠性不高。随着近些年协同制导逐渐成为研究热点[10-11]，多导弹协同定位也将得到更广泛的应用。文献[9]提出了协同定位方法，为减小无导引头导弹的定位误差提供了一种全新的思路，但具体如何利用卡尔曼滤波实现协同定位，文中未进行详细理论推导和阐述，不便于实际应用。

同时，在协同定位的基础上，本文研究了协同定位对无导引头导弹制导性能的影响。对于静止目标，比例导引由于制导性能好、易于实现，一直得到广泛研究与应用[12]。然而，通过大量仿真分析发现，若无导引头导弹在协同定位的基础上采用比例导引制导，将会产生很大的终止时刻过载指令。现有的过载指令约束方法主要分为饱和函数法与系数法两类。对于饱和函数法，可将过载约束值作为饱和函数的阈值。当过载指令大于阈值时，导弹的实际过载将保持在阈值[13-16]或采用比例导引[17]，以减小过载指令。然而，若采用饱和函数法，制导性能将受到阈值选择的影响，且无法实现终止时刻过载指令尽可能小。为了减小终止时刻的过载指令以提高战斗部的毁伤效果，Taub等[18]对最优控制制导律的罚函数系数进行了进一步设计，从而实现了全弹道过载指令的时变约束。此外，Li等[19]采用模糊逻辑方法对所提出的滑模控制制导律系数进行在线优化，减小了终止时刻过载指令。Yogaswara等[20]发现通过增大已有的剩余时间多项式制导律系数，也可减小终止时刻过载指令。上述系数法均是对特定制导律的系数进行设计，以减小终止时刻过载指令，无法直接用于解决协同定位与比例导引相结合时终止时刻过载指令过大的特定问题。

本文首先基于双领弹的领弹-从弹架构，提出一种多导弹协同定位方法。与文献[9]提出的协同定位方法相比，本文建立了基于导弹2阶运动学特性的状态空间模型，同时完整详细地推导出了采用卡尔曼滤波实现协同定位的过程，使其更便于实际应用。此外，在协同定位的基础上，对无导引头导弹的制导问题进行了研究，提出一种新型变系数比例导引律，以解决协同定位与比例导引相结合时终止时刻过载指令过大的问题。综上所述，本文的创新点主要包括以下两个方面：1)基于导弹的2阶运动学特性，提出一种多导弹协同定位方法，并完整推导出采用卡尔曼滤波实现协同定位的过程；2)分析了协同定位对无导引头导弹制导的影响，并提出一种新型变系数比例导引律，以避免终止时刻过载指令过大。

1 多导弹制导问题

考虑n枚无导引头导弹Mi(i=1,2,…,n)在两枚有导引头导弹ML1、ML2的带领下对静止目标T进行协同攻击。导弹-目标在惯性系Oxy中的相对运动关系如图1所示，其中：下标i、L1、L2分别表示从弹i、领弹1和领弹2；v、a、θ、q、η、r分别表示速度、法向过载、弹道角、视线角、前置角和剩余距离。

图1 多导弹攻击单一目标的相对运动关系Fig.1 Guidance geometry on many-to-one engagement scenario

两枚领弹可直接通过导引头测量其相对于目标的视线角速度，故可采用比例导引实现制导。无导引头从弹虽可在发射前得到静止目标的位置信息，但由于其通过低精度惯性导航系统得到的位置估计值存在较大误差，故仍无法精确得到其相对于目标的运动信息，即无法采用一般导引方法实现制导。因此，本文的研究问题为存在定位误差的无导引头从弹如何在两枚有导引头领弹的带领下实现精确制导。为了简化相应算法的设计过程，提出以下假设：1)导弹与目标均作为平面内质点；2)导弹速度大小恒定；3)与制导回路相比，自动驾驶仪的响应延迟可忽略。

2 协同定位方法

为了得到精度更高的从弹位置估计值，本节基于双领弹的领弹-从弹架构(见图2)及扩展卡尔曼滤波算法，设计了一种协同定位方法。其中，两枚有导引头的导弹作为领弹，而其余无导引头的导弹作为从弹。假设领弹的精确位置信息可通过弹上的高精度传感器测得，进而可通过数据链传递给从弹，同时从弹可由利用数据链测距的双向单程测距法[8]测得其与领弹的相对距离。

图2 导弹通信拓扑结构Fig.2 Topology structure of communication among missiles

由于导弹的法向加速度与速度大小均可通过加速度计直接测量或估计得到，故选择控制变量ui=ai、状态向量Xi=[xi,yi,θi]T，从而可得到以下状态空间用以表示从弹的运动状态：

(1)

式中：xi、yi为从弹相对于惯性坐标系的位置坐标。由于在本文中只考虑加速度计的随机噪声，故可认为从弹速度大小与法向加速度的测量误差(Δvi与Δai)均为高斯白噪声(定义为动态噪声)，且满足以下正态分布[21]：

ωi=[Δvi,Δai]T～N(0,Qi)，

(2)

式中：ωi为动态噪声向量；Qi为协方差矩阵；函数N(·)表示正态分布，其中第1个元素表示均值向量，第2个元素为协方差矩阵。

因此, 基于(1)式可知，包含动态噪声的状态方程f(Xi,ui,ωi)可表示为

(3)

由于vi+Δvi与ai+Δai分别为包含了加速度计测量误差的从弹速度与加速度估计值，均可由加速度计测量得到。此外，由于从弹可通过数据链实时获得领弹的位置信息以及其与领弹的相对距离，故可定义量测方程h(Xi,υi)为

Zi

(4)

式中：Zi为量测方程的输出量；(xL1,yL1)、(xL2,yL2)分别为两枚领弹的位置坐标；量测噪声Δhi1与Δhi2满足以下正态分布[7-8]：

υi=[Δhi1,Δhi2]T～N(0,Ri)，

(5)

υi为量测噪声向量，Ri为协方差矩阵。

在本节中将采用连续扩展卡尔曼滤波对从弹位置进行估计，即首先需要计算以下部分微分矩阵[22]：

(6)

(7)

进而，可采用以下连续扩展卡尔曼滤波公式来估计状态量：

(8)

式中：Pi为状态量的协方差矩阵；初始噪声一般被定义为ωi0=0且υi0=0. 在本文中，变量括号中的0均表示初始时刻。综上所述，基于上述协同定位方法可得到从弹位置与弹道角的估计值i.

3 基于协同定位的制导方法

基于静止目标位置及第2节得到的从弹位置估计值，可近似得到从弹相对于目标的距离与视线角估计值分别为i和i. 由于vi恒定且从弹弹道角的估计值i可由状态估计值i得到，故基于

(9)

然而，若从弹采用比例导引，则存在极大的终止时刻过载指令。这是因为通过协同定位虽然使得从弹的定位误差很小，但仍存在，故|i-i|无法收敛于0°，而由于在制导终止时刻i很小，故由(9)式可知在此时刻将会很大，即存在很大的终止时刻过载指令。由于从弹定位误差对|i-i|的影响很难仅通过制导方法消除，故为了减小终止时刻过载可在比例导引的基础上引入i，即

(10)

(11)

且为单调增函数，故在(10)式中引入此函数是为了在保证减小终止时刻过载的基础上，同时避免在制导前半段由于引入的i较大而产生较大的法向过载。定义

(12)

并将Ni作为时变的导航比，故(10)式可转化为

(13)

(13)式可认为是变系数比例导引律。

对于静止目标的比例导引，为了保证脱靶量为0 m，应选择导航比大于1，而为了使终止时刻过载为0g，应选择导航比大于2[23]. 因此，为了使本文设计的变系数比例导引律满足脱靶量与终止时刻过载分别为0 m和0g，需要求Ni>2. 然而，由(12)式可知，Ni中包括i，而i在制导终止时刻极小，故无法保证∀t>0、Ni>2. 考虑到脱靶量与终止时刻过载均是由飞行全过程决定的，故本文设计了飞行全过程的等效导航比即

(14)

(15)

式中：tf为从弹制导终止时刻。由于i与tf均需要在飞行过程中得到，故基于(15)式无法提前确定即无法提前选定ki. 因此，可分别选择i与arctant+0.5的中间值来近似估计即(15)式可转化为

(16)

通过对(16)式化简可得到(14)式。

4 仿真与分析

考虑具有定位误差的无导引头从弹在两枚有导引头领弹的带领下协同攻击位于(8 000 m,0 m)处的静止目标。为了实现对目标的精确打击，要求导弹脱靶量小于2 m，法向过载指令小于5g. 领弹采用比例导引且导航比分别为3和6，并可实现从弹在飞行全过程中的协同定位。从弹采用本文设计的协同定位方法与变系数比例导引以实现制导。为了验证从弹定位误差对制导性能的影响以证明协同定位的必要性，选择一枚对比从弹直接采用比例导引律，而所需的视线角速度可通过文献[5]中设计的方法求解。此外，另选择一枚对比从弹采用本文设计的协同定位方法与比例导引，以验证本文设计的变系数比例导引律所存在的优势。在本节中，分别仿真了领弹1、领弹2、从弹(采用本文设计的协同定位方法与变系数比例导引)、对比从弹1(采用比例导引与文献[5]中的视线角速度求解方法)与对比从弹2(采用本文设计的协同定位方法与比例导引)。领弹与从弹的初始运动状态如表1所示，而两枚对比从弹的初始运动状态均与从弹相同。仿真步长选择为0.000 5 s，仿真结果如图3所示。

表1 导弹初始运动状态Tab.1 Initial motion conditions of missiles

图3(a)展示了5枚导弹的弹道，由图可知，领弹、从弹与对比从弹2均可命中目标，而对比从弹1由于未进行协同定位而无法命中。从弹与对比从弹的弹目距离如图3(b)所示，其中从弹、对比从弹1与对比从弹2的脱靶量分别为0.5 m、43.5 m与1.3 m. 由图3(b)可知，采用了协同定位方法的从弹与对比从弹2均满足脱靶量要求，而对比从弹1由于直接采用低精度惯导导航系统输出的位置信息进行制导，存在较大的脱靶量，且不能满足对导弹脱靶量要求，由此证明了协同定位的必要性以及采用本文设计的协同定位方法与变系数比例导引律可实现无导引头导弹的精确命中。图3(c)展示了从弹在惯性坐标系x轴与y轴方向上的定位误差。由图3(c)可知，基于本文设计的协同定位方法，从弹在两个方向的定位误差均收敛于0.7 m以内。图3(d)验证了|i-i|在定位误差的影响下无法收敛于0，从而导致了图3(e)中对比从弹2的终止时刻过载指令很大。此外，基于图3(e)可知，从弹由于采用了本文设计的变系数比例导引律，相比于对比从弹2具有较小的终止时刻过载，且满足过载指令限制。

图3 协同攻击仿真结果Fig.3 Simulated results for cooperative attack

图4 ki对制导性能影响Fig.4 Influence of parameter ki on guidance performance

5 结论

本文基于双领弹的“领弹-从弹”架构与卡尔曼滤波设计了一种多导弹协同定位方法，采用此协同定位方法设计了一种新型的变系数比例导引律，并进行仿真验证。所得主要结论如下：

1)针对静止目标，基于多导弹协同实现了无导引头导弹在考虑定位误差情况下的精确制导。

2)多导弹协同定位方法可相对精确地估计无导引头从弹的位置，从而减小其定位误差。

3)采用变系数比例导引律可避免协同定位方法与比例导引相结合时产生极大终止时刻过载指令的情况。

4)通过仿真测试，验证了所提出的协同定位和制导方法的必要性与有效性。