张天宇 武汉市第六中学

引言

单摆是物理学中的理想模型之一，其场景设定在重力场中，摆球设定为等效质点，白线长度不变。它在科学发展与教育教学中体现了多维度的价值，典型的可以用来测定重力加速度，研究固定点地磁变化，在气象、导航、测量、地理、遥感、测绘等学科有着广泛的应用。从单摆的定义来看，满足其场景的物理条件非常苛刻，实际的轻绳会由于受力而形变，摆球的大小不能忽略，以至无法完全等效为质点，更复杂的情况是，摆球可能在周期运动中海包含震动和颤动等运动，因此实际的模型和单摆有许多不同，因此又称实际的摆动为复摆。首先，单摆相对于复摆而言，是物理学中最简单的模型之一，也是集“线性”与“非线性”模型，可以从线性通向非线性的研究起点。单摆设计之初的主要目的是为了计时，其不同的摆长运动周期不同，通过实验方法，即不同摆长的多次计时可以研究摆长和周期的关系，同理，可以针对不同的摆球多次计时获得非等效质点的影响。但是，由于受科学技术的影响，当时尚无条件产生电场并研究单摆在电场中的运动情况。本文在广泛查阅国内外文献的基础上，从单摆周期及重力加速度入手，研究单摆在静电场的运动，从而为生活中钟摆及与单摆原理相同的仪器在电场环境下的稳定运转提供参考。

1 单摆在重力场中的运动情况

单摆中最重要的是对周期的研究，其中伽利略通过实验方法最早发现摆的振动等时性，并用实验的方法得出单摆的周期正比于摆长除以重力加速度的平方根，迈出了实验向理论的坚实一步。而惠更斯最早制成了摆钟。但是，前人没有研究出单摆在静电场中的运动规律，所以研究单摆在静电场中的运动很有意义。

1.1 单摆周期与重力加速度及绳长的关系

首先让我们来利用高中数学和物理所学的知识推导重力场中的单摆周期公式：

证明：设绳子和竖直方向的夹角为α，绳长为L，位移为x.

这样我们就得到了单摆周期与重力加速度及绳长的关系。

2 单摆在静电场中的运动情况

在高中二年级的上学期，我们曾经学过静止的点电荷在电场中会受到电场力。在匀强电场中，正电荷受力方向与电场线相同负电荷受力方向与电场线方向相反，对于处于电场中的带电物体也是如此。那么，对于处于静电场中的单摆，也同样满足这个规律吗？

2.1 单摆周期和电性以及所受电场力大小的关系

我们不妨设电场方向水平向左，摆球带正电，绳子与竖直方向的夹角为θ。

回顾单摆周期运动的原理，是由于其在水平方向的受力，与摆球的振幅大小成反比，因此在摆球运行最远处，受到的重力的水平分量最大，因此由最大的回复力，这种受力特征就是简谐震动的受力特征，因此对水平方向受力的分析，可以给出单摆运动的周期。典型的单摆在水平方向的回复力为：

其中k为常数；

在运动过程中，斥力大小不变，方向不变，在单摆0位置的右侧，与轻绳的回复力相叠加而增加，在在单摆0位置的左侧，与轻绳的回复力相叠加而减小。因此在右侧的运动时间将变长，左侧则变短。

令电场方向与上一问相同，再设摆球带负电。

同样根据单摆周期运动的原理，是由于其在水平方向的受力情况不变，与摆球的振幅大小成反比，因此在摆球运行最远处其受力情况不变，受到的重力的水平分量最大，因此由最大的回复力，是简谐震动的受力特征，因此对水平方向受力的分析，可以给出单摆运动的周期。典型的单摆在水平方向的回复力为受引力；大小不变，方向不变，在单摆0位置的右侧，与轻绳的回复力相叠加而减小，在在单摆0位置的左侧，与轻绳的回复力相叠加而加强。因此在右侧的运动时间将变短，左侧则变长。

2.2 单摆周期与所带电荷量的关系

设摆球所带电荷量为Q。

当受到的电荷量大小变化时，其在水平方向的受力受到电荷量大小变化的影响，方向不变，在单摆0位置的右侧，与轻绳的回复力相叠加而减小，在在单摆0位置的左侧，与轻绳的回复力相叠加而加强。因此在右侧的运动时间将变更短，左侧则变更长。

考虑当电场竖直向下加入的情形，其受到的电场力由两种情况，一种是和重力同向叠加，等效于摆球的重力增加，此时根据单摆的周期于重力加速度的关系，可以得到单摆的摆动周期将减小；另一方面，和重力异向相消时，等效于摆球的重力减小，此时根据单摆的周期与重力加速度的关系，可以得到单摆的摆动周期将延长。

此外，当摆球的质量不均时，摆球的等效质点中心位置会发生偏移，此时的运动不考虑摆球的颤动，近似等效为单摆运动，其摆线的等效长度发生了变化，因此其运动周期也将发生同样方向的变化。

2.3 静电场中单摆受力对运动情况的影响

3 单摆实际应用

3.1 摆钟

由于小角度单摆具有等时性的特征，即单摆运动周期与运动角度无关，仅与摆钟自身有关，惠更斯发明了摆钟。摆钟根据要求可以制成挂钟，天文钟，座钟等形式。

钟摆摆动是靠重力势能和动能相互转化来进行运动的,当你把钟摆拉高,由于重力影响它会往下摆动,由于到达最低位置时速度最大不为零,不会直接停在那里,这样它就会继续运动以致冲过最低位置,而当摆至最高位置时由于失去了全部的动能,在重力作用下,继续向回摆,这与弹簧的运动一模一样,只不过位移变成了角位移.单摆如此往复运动,就不停息的运动着。

摆钟的计时是依靠周期性振动的单摆,其公式为时间等于振动次数乘以振动周期。由摆的公式,可见要提高精确度,必须要减小摆长。在高温时,由于热胀冷缩,摆长变长,周期变长,摆动变慢.因此,精密摆钟对环境要求苛刻,同时也要有其它材料参与,以补偿温度影响。另外,由于不同地理位置,重力加速度不同,钟摆的周期便会不同.由于空气阻力的影响,也会引起钟摆周期的变化。钟摆作为一种机械摆,具有各种各样的缺点,在计时上已经被石英电子钟取代了,不过作为一种有情调的装饰品,仍然很受大家的喜爱。

3.2 测重力加速度

单摆另一个重要的应用便是测量重力加速度。根据三角函数中小角度近似计算方法，由小角度摆动周期公式,显然只要知道了周期与摆长,重力加速度便可以求出了.周期由实验得出,摆长可以直接测量出来。通常,为了较高的精确度,要求摆幅θ不超过5度，更大的速度容易造成复摆，其运动学状态方程的描述十分复杂.由于摆线存在质量,小球不可能为一质点,存在空气阻力的影响,这时要求对摆长进行修正然而。若要求结果精确度一定时,可以忽略以上影响。

4 结论

本文针对研究结果所揭示的关于静电场中单摆运动的原理，提出了当θ很小时单摆在静电场中近似做简谐运动的结论.利用单摆的原理，不仅可以在复杂条件下精确测量重力加速度，还可以提高钟表的准确度，甚至是手机内陀螺仪的精度.单摆作为一个非线性的动力学系统, 其演化过程存在着多样性和复杂性,简单的单摆并不简单,本文讨论的单摆限于小角度内运动，当角度较大，如果振动的角度大于10°或以上时，其振动的周期不能进行以上近似，将随振幅的增加而变大，就不成为理想的单摆了。如摆球的尺寸相当大，绳的质量不能忽略，就成为复摆，周期就和摆球的尺寸有关了，摆动的过程中运动情况更为复杂。尤其是其混沌行为,在这里只能进行一些简单的描述.对其深入讨论,作为下一步的工作，还得在前沿学科 — —混沌理论中进行。