覃淋 李秀萍

摘要：一元二次方程是初中数学的重要内容之一，关于一元二次方程的解法也是多种多样.本文考查了历史上一元二次方程的几何解法，发现早在公元前3000年，古巴比伦人就已经利用几何方法来解决一些二次方程.通过对历史上的一元二次方程的几何解法的梳理，可以看出，代数与几何的联系是密不可分的.

关键词：一元二次方程;数学史;几何解法

今天，我们已经很少注意到解一元二次方程的几何方法了.而且在整个初中的数学学习过程中，也很少介绍用其它的方法，如几何方法来解一元二次方程.因为直接用一元二次方程的求根公式就可以解决所有的一元二次方程.一些数学老师认为，没有必要再介绍其它的方法来加重学生的负担，充其量用几何图形来说明一下一元二次方程的根的意义就可以.同样的，对于那些认为数学学习就是解题的学生来说，几何方法似乎也没有多少的实用价值，只要记住求根公式就可以求解任意的一元二次方程，但在历史上很长的一段时间，几何方法的影响却要远远超过代数的方法.本文通过对历史上的一元二次方程的几何解法的梳理，可以看出代数与几何的联系非常紧密;让学生意识到不同数学分支之间是有非常紧密的联系的，以帮助学生形成整体的数学观念.同时也旨在说明[1]：数学史在数学教育中扮演着重要的角色，数学史是一座宝藏;数学史的重要教育价值还有待于进一步开发，数学教育工作者可从中汲取有益的养料.也希望这些内容可以激发学生的学习兴趣、增强学生的信心，促进学生欣赏和理解数学.

1 巴比伦泥版中的解法

美索不达米亚文明是世界上最古老的文明之一，古希腊人所谓“美索不达米亚”就是指“两河流域”.在两河流域的历史上，以古巴比伦文明的发达程度为最.19世紀以来，考古学家对古巴比伦进行了系统的发掘，发现了大量的泥版.这些泥版上刻有许多的数学问题及其解，或是某些数学表，二次方程是其中涉及较多的内容之一.某些二次方程可以化为如下的标准形式：x±y =b，x·y=c.

相当于解一元二次方程x²一bx+c=0.这很可能

这种方法，我们今天称之为“和差术”，直到今天这种方法还被广泛使用.古希腊代数学家丢番图在其名著《算术》中，也是利用和差术来解决一些二次方程.如《算术》卷I第27 -30题的二次方程都是用“和差术”解决的.更让人惊讶的是，在18世纪出版的法国数学家洛必达的著作《圆锥曲线分析》中，洛必达也采用了“和差术”来推导椭圆和双曲线的方程，这种方法显然比今天教材中采用的“两次平方法”更简洁和更容易理解.

此外，《几何原本》第2卷的命题11相当于给出了求解一元二次方程x²+ax=a²的几何方法;第6卷的命题28、29分别相当于解决了x²- ax+ b²=0、x²-ax -b²=0这两类二次方程的几何解法.

3 伊斯兰数学家的方法

公元9世纪的伊斯兰数学家花拉子米（ Al - Kh-warizmi，780 -850）的著作《代数学》中，也采用了“几何代数”的方法来解一元二次方程.《代数学》第4章有这样一个问题：已知一个数的平方与它自身的10倍的和为39，求这个数.相当于解x²+10x= 39.他给出的方法是：将根的倍数（即一次项系数）取半，得到5，然后自乘，积为25，把它加上39，和为64;然后开方取其根得8，再从它中减去根的倍数的一半，余3，这就是要找的数.如图5，先作一个边长为x的正方形，然后再添上两个宽都为5的矩形，那么正方形面积和这两个矩形面积之和为x²+ lOx= 39.再补上一个面积为25的小正方形，得到一个大正方形，其面积为64，很容易得到x=3.

此外，花拉子米还讨论过x²+c=bx这类方程的几何解法.与花拉子米同时代的伊斯兰数学家伊本·图科电用几何方法讨论过x²+c=bx这样一类方程的解法，同时他还用几何方法说明了X2 +30= lOx无解.在花拉子米之后，塔比·伊本·库拉（Thabit ibnQurra，830 - 890）在其著作《以几何方法证明代数问题》中也讨论了二次方程的几何解法[4]，如解方程x²+bx=c，如图6，AB代表x，正方形ABCD代表x²，BE代表b.那么DE =AB×EA表示c，如果W是BE的中点，由于EA×AB+ BW²=AW²，而EA×AB =c、BW²=（b/2）2，可以求出AW²，那么x=AB：AW - BW.进一步可以用类似的方法去处理x²= bx+c.

4 斐波拉契的方法

中世纪欧洲著名的数学家斐波纳契（Leonardo Fi-bonacci，1170 - 1240）认为，算术和几何是相互联系的.在其著作《算盘书》的前言里写着：“如果不利用几何学，或没有看到数的算术运算与几何相近，那么数的全部知识就不能得到呈现.”和许多伊斯兰数学家一样，斐波纳契也常常利用几何图形来证明他的结果.《算盘书》中讨论了一些类型的一元二次方程的几何解法，还给出了大量的例题.如他用几何方法解决了一元二次方程x²+36 4/7x=182 6/7.

如图7，构造一个边长为未知数x的正方形KLMN，延长LM至Q，延长K至P，并使得MQ= NP=36 4/7，那么矩形KLQP的面积就是182 6/7.再取MQ

但是笛卡尔没有给出方程x²+ax+b²=0的根的作图法，因为该方程的两个根均为负数.

6 卡萊尔的方法

不要以为只有数学家才对这类问题感兴趣，19世纪英国著名文学家卡莱尔（Thomas Carlyle，1795 -1881）在爱丁堡大学读书期间，在平面解析几何的基础上给出了任意一元二次方程实根的一个十分简洁的几何求法，这一方法后来被苏格兰数学家莱斯列（J.Leslie，1766 -1832）收入《几何基础》（1817）中.

设一元二次方程为x²+bx+c =0，如图9，作一个以（0，1）和（-b，c）直径端点的圆，如果方程x²+bx+c=0有两个实数根，那么这个圆就与x轴有两个交点，这两个交点的横坐标就是方程的根.如果方程只有一个实数根，那么这个圆就与x轴相切，切点的横坐标就是方程的解;如果方程无解，那么圆与x轴无交点.

通过对一元二次方程的几何解法的梳理，可以看到，历史留给了我们丰富而宝贵的遗产，许多的数学思想方法几乎都可以从古代数学著作中找到源头.数学的历史表明：数学的发展常常是出于解决实际问题的需要，首先都是以直观的和实验的形式展现的，经过很长时间的发展，再变为教科书中完美而系统的形式.数学知识内部发生发展的过程，对于学生理解和学习数学知识有着不可估量的价值，这也需要教育工作者和数学史研究者进一步挖掘数学史料的教育价值，以便更好的为数学课堂教学服务，另外，通过几何法解一元二次方程，在直观上可以加强学生对该数学知识的理解，同时还可以让学生体会到代数与几何之间具有非常密切的联系.

参考文献：

[1]覃淋.台湾初中数学教材中的数学史[J].中学数学杂志，2017，（08）：33 -37.

[2]覃淋.古巴比伦泥版中的二次方程及其求解[J].中学生数学，2018，（18）：22 - 24.

[3]欧几里得.几何原本[M].南京：译林出版社，2014.

[4]卡茨.数学史通论[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5]覃淋.负数的历史以及“负负得正”的缘由[J].数学教学，2018（ 07）：6- 10.

[6]J. Homsby. Geometrical and graplucal solutions of quad-ratic equations[J]. College Mathematics Joumal，1990，21（5）：362 - 369.