唐恩林，华小全

（1.淮南师范学院金融与数学学院，安徽淮南，232038；2.淮南师范学院经济与管理学院，安徽淮南，232038）

一、引言

随着我国老龄化程度的加深，社会的养老负担越来越重，当前的养老理念和养老方式已满足不了社会的养老需求。最近十年，中国房地产市场发生巨大变化，房价呈现逐渐上升趋势，房价支出占个人总支出的绝大部分，这也导致老年人用于生活消费的流动资金大大减少，而财富的绝大部分被死死套在了房产这样的固定资产上。因此如何充分挖掘老年人的财富潜力，盘活不动产，这极大地影响了我国的养老事业，也是养老模式创新的发展方向［1］。因此已经在欧美得到成熟发展的住房反向抵押贷款可以作为我国养老模式的借鉴。住房反向抵押贷款就是在老年人保留房屋居住权的同时，将房屋的价值提前兑现，以达到盘活资产、实现以房养老的目的。住房反向抵押贷款涉及较多的不确定性，进而导致其定价的不确定性，即申请人获得贷款额度的不确定性，这也是住房反向抵押贷款在我国未能顺利开展的根本原因［2］。早在20世纪90年代，国内学者就开始关注欧美实行多年的住房反向抵押贷款业务，并期望将其引入国内。从业界来说，此项业务理论上也确实能够解决政府的养老难题，因此政府鼓励金融机构及其网点开展此项业务。但是由于这种金融服务创新业务存在很多不确定性和风险，尤其是其产品无法准确定价，金融机构接受不了太高的贷款定价，申请人接受不了太低的贷款定价，导致此项业务一直进展的不顺利。因此建立适合我国国情的科学有效的定价模型对此项业务的顺利开展起到决定性作用，同时对于深入研究社会养老保障、房地产金融和资产定价等也具有较大的理论价值［3］。

二、研究综述

起步于欧美国家的住房反向抵押贷款，其定价方法和理论在美国是最为成熟的，总体上来说有三种方法。第一种叫支付因子定价法，这种方法主要是通过罗列影响反向抵押贷款的所有可能因素，通过构筑模型建立各种因素与定价之间的函数关系。Szymanoski通过构建HECM模型，即住宅财产转换贷款示范价格模型，对影响价格的几种重要因素进行了实证。这几种因素包括财产价值、借款人寿命和利率，他的研究成果是建立在Peter等人设计的模型基础上。而国内的学者如刘春杰、谭竞等人重新认识了支付因子定价法，并指出其属于定期定价，进一步给出了反抵押贷款合同超期的定价结果。第二种是期权定价法，这种方法主要针对具有可赎回权的住房反向抵押贷款产品的定价，借款人基于利率的变动和未来房价的变动可以提前赎回抵押的房产。Boehm等构建了基于利率和时间的住房反向抵押贷款函数，进而给出了反向抵押贷款价值的偏微分方程算式；对于借款人选择提前赎回的住房反向抵押贷款，Tobias等对模型中的部分变量进行蒙特卡罗模拟，在此基础上给出了贷款的最终定价。而国内学者奚俊芳采用的是二叉树思想对住房反向抵押贷款进行了期权定价的阐述，但没有进一步的给出实证。第三种是保险精算法，保险精算的思想主要是当生命结束时房屋价值的贴现值与当前借款人能够借到的公允金额相等，Mitchell等基于利率、房价变动率和死亡率等变量构建了反向抵押贷款的定价模型，这便是最初的保险精算定价模型，后期的国内学者基本都是在此基础上进一步修正研究。章凌云对定价模型进行了模拟分析；张晶对保险精算模型的房屋价值进行了修正，引入了房屋的折旧因素；奚俊芳对贷款的给付进行了延伸研究，提出了递增形式的年金给付；肖隽子在保险精算定价模型中引入了平均余命的概念。

从这三种方法在中国的适应性角度来看，支付因子定价法需要依据大量的历史数据，显然不适合直接在中国应用。相对来说，保险精算模型不需要大量的历史数据且准确性较高，更适合引入我国使用，只需要在模型中使用符合我国实际情况的因素。然而目前的相关文献基本都是采用固定利率和确定的房价增长率，并不适合我国的实际情况，因此本文的研究将对这两个缺陷进行修正。

三、住房反向抵押贷款业务的分解

（一）住房反向抵押贷款的内涵

作为一种创新型的金融服务产品，住房反向抵押贷款能够帮助老年人实现以房养老的目的，它的实现过程是申请人以自己的房屋产权作为抵押向银行等金融机构获得一次性或者年金形式的贷款额度，同时在申请人生命结束之前保留房屋的居住权，在其生命结束之后以房产偿还生前的贷款。从本质上来说就是申请人将房产抵押给金融机构，金融机构给出房产的评估价值，然后将评估价值分摊到余寿的每一年中，直至申请人永久搬离房屋或者死亡，这时房屋的所有权才真正过户给金融机构。由于这种贷款的资金流向与普通的住房抵押贷款是相反的，所以又称反向抵押贷款（Reverse Mortgage）。看似金融机构以分期付款的形式从申请人手中买房，在申请人去世后交接房屋所有权，又可以称作“逆抵押贷款”、“倒按揭贷款”。

住房反向抵押贷款分为很多种（见图1），根据其到期申请人是否能够赎回，可以分为可赎回的反向抵押贷款和不可赎回的反向抵押贷款。根据贷款资金的支付形式分为一次性支付，定期支付和贷款额度。对于不可赎回的反向抵押贷款，当贷款到期、申请人离世后，金融机构便可收回房屋产权。对于这类贷款，当其数量达到一定程度之后，便符合大数定律，这时可以构建保险精算模型以终生年金的形式对其进行定价。而对可赎回的反向抵押贷款，由于申请人可以按照合约持有到期让金融机构拍卖房产，也可以根据标的变量的变化，如利率、房屋价值等择期赎回抵押贷款，因此可以看成是一种期权，这时可以采用期权定价的方法对其进行定价。

图1 住房反向抵押贷款的分类

（二）住房反向抵押贷款的意义

在欧美已经盛行几十年的住房反向抵押贷款业务如果能够顺利引入中国，便能够有效解决中国人口基数大、老龄化严重造成的养老负担重的问题。我国自20世纪80年代实行计划生育以来，目前出现的“四二一”家庭结构十分普遍，“80后”一代要承担四位老人的养老，因此作为金融服务创新的住房反向抵押贷款，同时也是养老方式的创新，具有较大的意义。具体表现为：

其一，对于申请人家庭经济生活来说，老人通过住房反向抵押贷款盘活房产价值，增加了平时的生活消费自由度，同时也没有影响老人的居住问题，使得老人在晚年能够依靠房产价值有尊严的安度晚年生活。此外对于“80后”青年一代来说，减轻了他们的养老经济负担。

其二，对于社会养老保障体系来说，给国家的养老事业提供了新的思路和方法，在我国步入老龄化时代的背景下，减轻了社会的养老负担。同时随着我国老龄人口的增加，通过住房反向抵押贷款业务的推进，也有效地通过提高老年人的消费能力而拉动国家的内需，促进经济增长。

其三，对于金融机构来说，通过金融产品创新、金融业务扩展来提升自己的竞争力。在目前的经济形势下，土地和房产的价值只增不减，金融机构通过开展住房反向抵押贷款业务来提高资产质量，实现产品多元化，开辟一片新的金融业务领域。

（三）我国住房反向抵押贷款业务分解

住房反向抵押贷款的牵头机构是图2中的“特设机构”。特设机构负责整个业务流程相关部门的组织和相关资源的整合，通过建立与银行、保险公司、政府以及二手房市场的联系，最终实现抵押资产的证券化，盘活固定资产，增加资产的流动性。该机构通过对市场上大量的同类资产进行整理、分类、汇总、打包和精算分析，使业务流程更加规范，产品风险降到最低，资金提供方更容易接受。也就是说，特设机构在整个业务流程中起到了提高各机构运营效率及协调配合程度的作用，通过业务的规模化开展，来降低机构的业务操作成本。

图2 住房反向抵押贷款业务分解

从图2中资金流向来看，特设机构把从申请人处获得的房屋产权抵押给商业银行，以此获得抵押贷款来支付申请人的定期或一次性的养老费用，同时特设机构也委托商业银行向保险公司支付投保费用，当申请人离世后，特设机构将房屋在二手房市场上拍卖，获得最终的房款来偿还从银行的贷款，也就是说资金的最终来源是在二手房市场上拥有闲置资金的购房者。从交易关系来看，贷款申请人将房屋的所有权转移给特设机构，自己保留在离世之前的居住权，为这一业务提供担保的是保险公司，特设机构以房屋所有权作为抵押获得贷款，当申请人离世后，特设机构将房屋出售，房屋产权从特设机构转移给二手房市场上的购买者。

四、定价思路和模型构建

（一）定价思路

最初的住房反向抵押贷款的定价是依据资产定价模型的原理来展开的，也就是对一项资产未来现金流进行贴现得到的最终价值。然而这种定价方法首先要对未来现金流进行确定，还要对贴现率根据风险状况进行调整，这种调整是主观的，也会造成最终的定价结果具有主观性。因此在这里采用风险中性定价原理，认为贷款申请人是风险中性的，即只要求获得无风险收益率的回报，在此前提下，只需要对未来现金流的期望值进行无风险利率的折算即可得到最后的定价结果。前面已经提到住房反向抵押贷款根据贷款人在合同到期前能否提前赎回房屋产权，可以分为有赎回权和无赎回权的住房反向抵押贷款。这里选择无赎回权的住房反向抵押贷款进行研究，那么贷款的期限就完全取决于贷款人的寿命长短［4］。虽然每位贷款申请人的寿命长短是不确定的因素，但是当贷款人的数量足够大时，就可以根据大数法则确定寿命的期望值，也可以通过查阅寿险公司的生命表得到平均寿命。因此为了使研究的结果更加精准，这里采用保险精算模型来进行定价，基于贷款人的生命期限对房屋价值进行折现，得到的均值就是贷款的最终定价［5］。由于我国现在的住房抵押贷款是采用浮动利率计息，因此这里给住房反向抵押贷款定价时，也采用浮动利率。且做出表1中的假设：

表1 反向抵押贷款定价的假设条件

从前面的分析中，可知决定贷款定价的主要因素包括利率的变动、房屋的未来价值、申请人的寿命等，这里选择纯跳模型描述浮动利率的变动，用布朗运动描述房屋未来价值的变动，申请人的寿命可以从寿险公司最新的生命表中获得，按照前述的定价思路就可以对单生命和双生命状态的贷款进行定价。

（二）定价模型的构建

在定价模型的构建上，考虑到准确性和实用性。基于风险中性定价原理，选择使用保险精算模型，同时对前面学者研究的两个缺陷，即固定利率和固定房价增长率进行修正，用蒙特卡罗模拟方法来模拟浮动利率变动路径和房价波动的布朗运动过程，同时结合我国实际的经济金融状况来选择和测度模型参数。单生命和双生命状态下的定价模型如下：

1.单生命状态下的定价模型

该定价模型依据的思路是申请人最终获得的贷款总额等于抵押房产期限结束时价值的折现值与各项业务费用之和［6］。分别算出不同寿命下的贷款产品价值p(L)，对其加权得到最终的产品定价用Σ表示，用*p(L)表示期限为L的概率。那么，上述等式左边和右边分别表示为：∏∏

左边：

右边：

对等式进行整理得到：

表2 单生命定价模型中参数符号及意义

式（3）中的参数及其意义如表2。

2.双生命状态下的定价模型

由于本文考虑的是贷款额度的一次性支付，所以对于夫妻两人的双生命状态，定价思路和模型是相同的。不同的是合同期限要截止到最后一个人离世，因此要算出夫妻二人的联合死亡概率［7］。基于此最终整理得到的公式如下：

表3 双生命定价模型参数符号及意义

从上面的模型中可以看出，决定住房反向抵押贷款定价的因素主要有利率m、房价增长率g、贷款申请人的死亡概率

五、住房反向抵押贷款产品定价实证分析

为了让实证分析更符合实际情况，这里选择上海市为例，其原因主要有以下几点：首先，上海市是国际性的大都市，这里的居民更能够接受新的金融产品和服务；其次，上海市的人均住房占有量较高，在全国都靠前；再次，上海市的老年人口较多，社会养老负担较重。

（一）参数设定和测算

1.贷款利率m

在贷款利率变动路径模型的选择上，结合我国实际情况，贷款利率还没有完全市场化，主要参照人民银行存贷款基准利率进行浮动，所以这里采用单纯跳跃模型来描述利率变动，即：

式（5）的dpt(c)是泊松过程，c是跳跃强度；代表随机跳跃的幅度，满足正态分布，均值为μ，方差为σp2。选择1990年4月至2018年12月之间的五年以上贷款利率数据，以月为基本单位，共有345个贷款利率数据，对其进行差分处理得到344个数据，其中共产生48次跳跃，即跳跃强度c为。在此基础上对为μ和σp2进行软件分析与估计得到：

因此住房反向抵押贷款的利率变动过程可以用式（8）描述：

住房反向抵押贷款从2018年10月开始，初始利率m0加上贷款保险费率得到最终的贷款利率为4.9%+0.06%=5.5%。

2.房价增长率g

早期的学者对房价的预测基本都是建立回归预测模型，即找出影响房价的各种因素，建立各种影响因素与房价之间的函数关系。这种方法要求找出所有变量因素的数据，难度较大，可操作性不强，其结果偏差也较大。因此采用简单有效的时间序列模型来预测房价，房价的一阶差分这里假设满足布朗运动

式（9）中μH和σH表示房价增长率和波动率，dZH是维纳过程，且t增值率服从N(μHt，σH2t)，H0表示初始t=0时刻的房屋价值，此后t>0的房屋价值Ht为：

式（10）中的Bt～N(0，σH2t)为标准正态分布。

由于住房反向抵押贷款需要对房屋产权进行抵押，因此贷款定价主要基于二手房市场。选择上海市2007年12月～2018年12月二手房月度数据进行ADF检验，其检验结果如表4：

表4 上海市二手房指数ADF检验结果

从表4中可知p=0.6074且比所有参照值都高，不是平稳的时间序列也说明房价的变动是随机的，进一步对房价波动率数据进行参数估计，得到：

也就是说，数据满足下述特征的随机游走，其函数表达式为式（11）

式（11）中的Bt～N(0.0003798t)

3.死亡概率q

住房反向抵押贷款的贷款额度大小随着申请人剩余寿命的变化而变化，越靠近死亡时间，获得的贷款额度越大。因此需要通过获得申请人的死亡概率来推算合同到期时间。由于我国的住房反向抵押贷款没有大量的历史数据可供参考，因此在计算死亡概率时，这里借助保监会发布的启用于2017年1月的第三套生命表，运用保险精算理论，算出死亡概率和预期余寿（在表6和表7中体现计算结果），其中运用的死亡率计算模型如下：

假设存活率用px表示、死亡率用qx表示为申请人x岁且在t年后继续存活的概率、0tqx为申请人x岁且在t年内死亡的概率，为申请人x岁且正好在第t年内死亡的概率。

将式（15）带入式（14），就能得到单生命状态下的死亡率的计算公式

同样的方法，双生命状态下的联合死亡率计算公式为：

即

4.无风险利率rf

无风险利率即最低的资金使用成本，在我国金融市场的发展还不够完善，所以国债利率不能用来准确地反映无风险利率。所以这里选择银行定期存款利率来表达无风险利率，由于住房反向抵押贷款具有长期性的特征，所以这里用最新的五年期银行定期存款利率来表示无风险利率，取值2.75%。

5.费率α

由于国外已经实行住房反向抵押贷款多年，所以这里的各项费率采用国外的经验数据如表5。

表5 反向抵押贷款费率表

6.房屋折旧率β

虽然我国规定的住宅用地使用年限70年，但是房屋建筑材料的使用时限，质检总局规定为50年，所以按照对最低时限50年的折旧率计算，采用直线折旧方法，每年的折旧率为2%，另外考虑到土地的稀有性，土地的价格会越来越高，综上各种因素，这里的房屋折旧率β定为1.8%。

（二）实证模拟定价结果

选择男性申请人，房屋初始价值H0为100万，运用蒙特卡罗模拟方法，在假定其他条件不变时，通过对变量利率和房价进行上万次仿真模拟，对每一条模拟路径运用前述的单生命和双生命状态下住房反向抵押贷款定价模型进行实证模拟，最后算出N条路径的加权值就是最终的贷款定价。实证模拟定价结果如表6、表7所示。

表6 单生命状态下不同年龄段男性借款人的贷款额度

表7 双生命状态下不同年龄段男性借款人的贷款额度

从表6和表7实证结果可知，在当前房屋价值固定为100万元的时候，申请人所获得的贷款额度随着贷款人年龄的增加而逐步增加，因为贷款人的年龄越大，其预期剩余寿命越短，预期未来房屋价值的折现价值越高，这个实证结论和预期的假设是一致的。此外，从该项业务开展带来的经济效益来看，我国的退休老人在申请这项业务之后，以60周岁男性为例，其可支配的养老金额在原来的社保水平基础上，提高约40万元的一次性可支配收入，大大提高了退休老人的生活幸福指数。

不过值得注意的是，我国的金融市场目前还没有达到发达国家程度，利率市场化进程有待推进，房地产市场整顿的呼声较高，加上住房反向抵押贷款业务是一种周期较长的业务，其面临的不确定因素和风险太多，包括申请人的信用状况和身体状况等。因此我国的住房反向抵押贷款业务需要根据实际情况谨慎且循序渐进的开展。