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解析几何中数形结合思想运用的三个途径

2019-04-03文/张红红

高中生·天天向上 2019年2期
关键词:代数椭圆线段

文/张红红

解析几何的实质是通过建立坐标系,用代数方法研究几何问题.数形结合正是解决解析几何问题的一种重要的数学思想方法,主要分为两条思维可逆的主線:第一,将代数问题几何化,即以形助数,运用图形的几何性质来解决问题:第二,将几何问题代数化,运用代数特征进行运算来解决问题,即以数助形.当然,数与形并不是孤立的,常常在一道题中既有数向形转化,也有形向数转化,两者相得益彰.

一、形向数转化——重在代数运算

以数助形,突出问题的代数特征,通过合理简捷的运算来解决问题,思维量不大,但是对代数运算能力要求较高.这类题型体现了用代数方法研究解析几何问题,是最基本的题型.

小结 线段的长度和三角形的高是“形”,由两点间的距离公式和点到直线的距离公式得到的代数式是“数”,设出动点Q的坐标后,就可以将形转化为数,利用基本不等式得到定值,

二、形与形互化——重组几何量

突出问题的几何特征,通过几何量的重新组合,思维量较大,常常需要融入等量代换等化归思想.这类题型的理解层次较高.

例2已知A(1,1)为椭圆 内的一点,F,为椭网的左焦点,P为椭圆上的一动点,求PF1+PA的最大值和最小值.

分析 解这道题常有三种思路.思路1:设点P的坐标为(x0,y0),由F1(-2,0),A(1,1),将几何量PF1+PA表示成接下来求该式的最值时考生往往会陷入困境.思路2:由PF1+PA≥AF1,即三角形的两边之和大于第三边,当点P落在线段AF1上时等号成立,此时PF1+PA取得最小值.可是P为椭圆上的一动点,无法落在线段AF1上,所以常规思路受挫.思路3:PF1为焦半径,不妨通过椭圆的定义将其转化成2a-PF7,即6-PF2,则原式转化为PFi+PA =6+PA-PF2,再通过三角形的两边之差小于第三边来求解.

解 由题设可得a=3,6=5,c=2,左焦点F1的坐标为(-2,0),右焦点F2的坐标为(2,0).

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