首都师范大学数学科学学院 (100048)

覃 淋

四川省成都市简阳中学 (641400)

李秀萍

1 问题提出

近年来，“核心素养(Key Competences)”已成为世界各国教育改革的核心议题．各国的课程标准中都出现强调“关注学生终身发展，培养学生核心能力”的总体趋势,传统的知识(knowledge)、技能(skill) 、能力(ability)等概念已不再适用．人们对这些概念的内涵进行扩展，提出了同时涵括“知识”“能力”“情感”“态度”和“价值观”的“素养”这一概念,强调“核心素养”才是培养能自我实现和促进社会和谐发展的世界公民的基础．

1997年12月，联合国经合组织(OECD)启动了“素养的界定与遴选：理论和概念基础”项目，对学生的核心素养体系的构建作了初步系统的研究．在该模型下，学生应该形成的核心素养被整合为三大方向：使用工具、自主行动和在社会异质团体中互动．OECD将这三个方面概括为人与工具、人与自己和人与社会，OECD的这一项目对后来世界各国建立核心素养模型具有深远的影响．此后，各个国家或地区都试图建立一个“核心素养”模型，以此来指导本地区的教育实践．

美国、芬兰、英国、日本等国都有开展与学生核心素养相关的研究．在美国，核心素养主要指所有学生或工作者都必须具备的能力，其发展目的在于培养具有21世纪工作技能及核心竞争能力的人，确保学生从学校所学的技能能够充分满足后续大学深造或社会就业的需求．同时将核心素养划分为——信息素养、媒体素养、信息技术素养、创造力与创新能力、批判思维与问题解决、主动性与自我导向、沟通交流与合作能力、灵活性与适应性等方面．芬兰则将核心素养划分为7大主题：信息素养与交际、技术与个人、成长为人、安全与交通、文化认同与国际化、对环境、健康和可持续发展的未来的责任感、参与和行使公民的权利．

在国内，“义务教育阶段学生学业质量保证体系研究”课题组提出了基于学生核心素养的课程体系的设想，认为核心素养要素的选择要注重素养可教可学、对个体和社会都有积极意义、面向未来且注重本国文化这三个原则[1]，提出了以“全面发展的人”为核心的“中国学生发展核心素养”的具体模型，将核心素养分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面，综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养，具体细化为十八个基本要点[2]．

《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》于2014 年3 月正式印发，在“着力推进关键领域和主要环节改革”部分指出，研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标准；根据学生的成长规律和社会对人才的需求，把对学生德智体美全面发展总体要求和社会主义核心价值观的有关内容具体化、细化．党的十九大也明确提出：“要全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，发展素质教育，推进教育公平，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人．”

教育部组织了相关专家对“高中课程标准”进行修订，要求围绕学科核心素养制定各个学科的教学内容、评价标准和实施建议．就数学学科而言，高中数学课程标准修订组的专家提出了六大数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析．但很多学者对此都有不同看法，相继开展了数学核心素养的一些研究，如关于核心素养的体系建构，基于学生核心素养的课程体系建构，数学核心素养成分析取的实证研究．本文从数学科学本质、学习者和数学教育目的三个维度出发，构建了一个数学核心素养框架．

2 对数学核心素养的理解

有学者通过大样本问卷方法得到了数学核心素养的两种结构[3]：(1)数学抽象、运算能力、推理能力、数学建模、数据处理、空间能力、问题解决能力、数学文化品格；(2) 数学抽象、运算能力、推理能力、建模与数据处理、空间能力、问题解决能力、数学文化品格．可以看到这两种数学核心素养模型几乎没有差别，和高中数学课程标准修订组的专家提出的模型也基本上吻合．实际上，这两种模型除了数学文化品格这一要素外，无一不是属于数学能力的范畴．如果把数学能力理解为或等同于数学核心素养，显然将数学核心素养过于狭隘化了．数学能力当然是数学核心素养的一部分，但它并不能等同于数学核心素养．数学教育的目的也不是简单地培养学生的运算能力、推理能力、问题解决等数学能力；除此之外，还应让学生具有一定的现代数学文化修养，如了解数学在其它学科中的重要性、知道数学文明的文化价值、能够欣赏数学的真善美等．对于学生的终身发展而言，这些“隐性”的东西显然比具体的数学知识和数学能力更为重要．正如日本数学教育家米山国藏所言[4]：“无论是对于科学工作者、技术人员，还是数学教育工作者，最重要的就是数学的精神、思想和方法，而数学知识只是第二位的.”

在讨论数学核心素养时，首先必须要弄清楚什么是数学素养．联合国经合组织(OECD)在国际学生评价项目(PISA)中将数学素养定义为[5]：一个人在各种情况下形成、使用和诠释数学的能力，包括数学推理，使用数学的概念、过程、事实和工具来描述、解释和预测现象；它可以帮助作为一个积极的和善于反思的公民认识数学在世界中所扮演的角色，并做出有根据的判断和决策．

从定义中可以看出其涉及的范围是相当广泛的，并不仅仅局限于数学知识和数学能力.从事数学活动也不是狭义的从事物理和社会活动，还包括数学交流、评价和欣赏数学等．除了体现数学的功能性用途，还体现了数学的文化和美学价值．由此，我们可以把数学素养看作是一个有机融合了数学知识、数学能力、数学思想和数学情感等多个层面的综合体．也有学者将数学素养看作是数学知识、数学能力和数学情感态度价值观的综合体现，三者缺一不可[6]．但这三个要素并不好具体区分和落实，在实施过程中很有可能导致能力技巧化．同时，由于目前高考命题改革的滞后，教师为了让学生能在考试中取得好的分数，通过大量的机械重复训练，以使学生形成熟练的解题能力．这样导致的直接后果就是，学生进入大学后，对数学深恶痛绝，这完全背离了数学教育的目标．其次，数学素养并非是知识、技能、能力和情感态度价值的简单累加．最后，结合核心素养研究课题组对“核心素养”和经合组织(OECD)在国际学生评价项目(PISA)中对数学素养的定义，我们可以把“数学核心素养”定义为：数学核心素养是学生应具备的适应个人终身发展和社会发展需要的必备数学关键能力和数学品格．因此，数学核心素养应该是数学知识、技能、思想方法、经验、情感、态度和价值观等的综合体现．

3 数学核心素养的一个模型

基于以上分析，我们认为在析取数学核心素养要素时，至少应该考虑以下三个因素：数学科学本身的特点、受教育者本身以及数学教育的目的．由此出发，得到一个数学核心素养模型：数学能力、数学思想方法、数学意识、数学情感．其中数学能力包括：数学化、数学推理和数学运算．下面对每一个要素分别进行具体的分析．

3.1 数学能力

数学核心素养的第一个要素是数学能力，包括数学化、数学推理和数学运算．

数学化(Mathematicization)最早是由著名数学教育家弗赖登塔尔(H. Freudenthal，1905-1990)提出的．所谓数学化就是运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以组织整理，以发现其规律的过程[7]．简单地说，数学化就是用数学思想方法去解决实际问题的过程．

《普通高中数学课程标准(2017)》中提出的六大数学核心素养中的两大要素——数学抽象、数学建模，实际上可以归结为数学化的一部分内容．数学化就是用数学方法去整理现实世界的过程，它包括公理化、形式化、图式化和建模[7]．因此，建立模型是数学化的一个方面，是一种不可缺少的中介，用它把复杂的现实或理论来理想化或简单化，从而易于进行形式化的数学处理．实际上，所谓对“现实情境”进行数学化，就是为现实情境建立一个数学模型．

根据对数学抽象和数学建模的定义，还可以发现，这二者之间是有交叉之处的，内容上有所重复．

《普通高中数学课程标准(2017)》中对逻辑推理的界定如下：

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎[8]．

实际上，逻辑推理实际上就是演绎推理的另一种说法，这里把逻辑推理说成包括“从特殊到一般的推理”和“从一般到特殊的推理”这两种推理，这种说法是欠妥的．实际上，我们知道在数学创造发明中，直觉比严密的逻辑过程起着更为重要的作用．正如数学家所言：“数学首先是一种探讨研究的方法．这个方法包括对所讨论的概念认真地下定义以及明确给出一些用于推理的基础假设，从这些定义和假设出发再运用最严格的逻辑推导出结论．然而数学家还需要有高度的直觉和想象力．正因为这种想象力，他们才能打破旧时代的僵化传统并建立新的、革命性的概念．”在数学教学中一味的强调逻辑推理，反而会适得其反．形式化淹没了数学创造过程中火热的思考，仅仅留下了冰冷的结果；对大部分学生来说，他们无法感受这种数学冰冷的美丽．用弗赖登塔尔的话来说，就是所谓的“教学法的颠倒”．

同时，在数学中过分的强调逻辑推理，还会导致学生对数学产生错误的认识，认为数学就等同于逻辑．逻辑只是数学的一部分，而且是很小的一部分，是数学家为了保持数学健康而实行的“卫生”规则．数学史也表明，许多数学上的结论都是先由归纳得出，然后才得以证明的．数学家更多地是以直观的方法进行思考的，逻辑方法只是一个辅助性的工具．严格表述的数学是一门系统的演绎科学，但在形成过程中的数学则是一门实验性的归纳科学[9]．因此，在数学教学中应当适度的非形式化，不能过度强调数学的演绎推理，更要注重数学的本质，“淡化形式，注重实质”．上世纪70年代的新数学运动就是一个很好的教训．

数学运算则是指根据运算规则对数或代数式进行运算的过程．包括数值运算、符号运算．

3.2 数学思想方法

数学核心素养的第二个要素是数学思想方法，它是数学思想和数学方法的统一，应该包含观念层面和操作层面．主要有：函数思想、方程思想、数形结合思想、概率统计思想、化归思想等．对于数学思想方法的重要性前面已有论述，古语“授之以鱼，不如授之以渔.”也道出了数学思想方法的重要性．数学思想方法是中国数学教育的特色之一，和数学“双基”(这里的双基并不局限于基础知识和基本技能，还包括数学基本活动经验和数学基本思想方法)一样都是中国数学教育中的精华部分．

中学数学内容丰富多样，各数学分支之间都存在千丝万缕的联系,如希尔伯特所言，“数学是一个不可分割的有机整体……尽管数学知识千差万别，在作为整体的数学中，使用着相同的逻辑工具，存在的概念间的亲缘关系.” 但是怎样将这些看似不相关的数学内容联系在一起呢？这时数学思想方法就显得尤为重要了．有这样一个形象的比喻，如果把数学问题比作一颗颗珍珠，那么数学思想方法就是把这些珍珠串起来的线．一旦用线将这些珍珠串起来，这些珍珠就变成了一件美轮美奂的艺术品．

因此，我们认为数学思想方法应该作为数学核心素养的一个要素．

3.3 数学意识

数学核心素养第三个要素是数学意识，主要包括数感、符号意识、空间观念、数据分析意识、应用意识和创新意识等．

数感主要是指关于数与数量、数量关系和运算结果估计等方面的感悟，还包括对数、数量关系的直觉．符号意识主要是指能够理解并且运用数学符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性．空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化．

数据分析意识：能够收集数据，用数据说话，并通过数据做出判断；体会数据中隐藏的信息；会利用简单的统计软件处理数据；能够体会样本数据的随机性；能够明智的回应那些根据统计所提出的主张．

应用意识：一方面学生要有意识利用数学原理和方法描述解释现实世界中的各种现象；另一方面，能够认识到现实世界蕴涵着大量与数学有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决.

创新意识的培养是现代数学教育的基本任务．培养学生发现和提出问题的能力，让学生养成独立思考和与他人交流的良好习惯；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法．

3.4 数学情感

数学核心素养第四个要素是数学情感，主要包括数学美、数学文化、数学观和数学精神．

数学美：一般而言，包括对称美、和谐美、简洁美和奇异美．张奠宙教授[10]认为数学教育中的数学美有“美观、美好、美妙、完美”四个层次,这是对数学美的一个较为容易理解的阐述，在具体的数学课堂中也有较强的可操作性．数学教育的目的之一，就是要让学生能够欣赏数学美．如果一个人能感受到数学的美，那么他一定会喜欢数学的．法国著名数学家阿达玛关于数学美感有很精彩的论述：“很奇怪的是，在数学上，激情会要求我们对一个问题做出严格的证明，而这初看起来似乎只是理智感兴趣的事．况且这样做也似乎会使我们忘记数学的美，忘记数字的与形式的和谐，忘记几何的雅致．但实际上，这是一种真正的美感——每一个优秀的数学家都懂得，这种美感是从属于激情的.”[11]大数学家彭加莱甚至认为，没有美感就没有数学创造．因此，教会学生欣赏数学美应该是我们数学教育的重要目的之一．

数学文化是人类文化的一种，这一点在今天人们已经达成共识．数学文化概括了与数学有关的人类活动的各个方面，涉及数学、哲学、艺术、历史、文化等．随着社会的发展，再把数学看成仅仅是思维训练的工具显然是不合理的，数学作为一种文化，赋予了数学更加广阔的内涵．数学文化研究立足于数学自身的客观性和人类文化建构的能动性和创造性，把自然、社会与人的和谐统一视为整个数学文化价值的评判标准[12]．

因此，数学不仅仅只是求真的科学，而应该是真、善、美三者的统一体．同时，关注数学的人文性，可以让学生认识到数学绝不是一堆干巴巴概念、公式、定理、符号．数学文化可以很好的揭示数学人性化的一面．

数学观，实际上就是一个人对数学的看法．一般的人对数学的看法是：封闭的、呆板的、冰冷无情的、一切都是已经发现好了的．国外有学者就学生对数学的看法做过调查，学生对数学的普遍看法是：

数学就是解题；

数学问题有且只有一个答案；

只有一种正确的方法去证明数学问题；

一般的学生不可能理解数学，他们需要做的只是简单的记忆和机械的应用；

那些能够理解所学数学的学生通常能够在5分钟左右解决交给他的任何问题；

学校中学习的数学在现实生活中几乎没有用处．

实际上，上面这些观念都是不正确的．比如，费马大定理从提出到被证明经历了三百多年的时间；再如直到19世纪，一些著名数学家仍未理解负数和虚数；欧拉认为，“因为所有可能想象的数要么大于0，要么小于0，要么等于0，所以负数的平方根显然是不能包含在这些可能的数中……本质上他们是不可能的，通常被称为想象的数，因为它们只存在与想象之中.”显然这些有趣的内容我们的学生都不知道，所以他们才会产生上面那些错误的数学观念．

数学作为人类的一种文化活动，是人人都可以做的，而那些数学家也并非都是天才一样的人物．弗赖登塔尔认为，存在两种数学，一种是已完成的数学，另一种是活动的数学．完成的数学是掩盖了数学家创造数学的过程，以形式演绎的面目出现；活动的数学则把数学家发现和创造的过程体现出来了．因此，在我们的数学教学中，也应该让学生了解数学家创造发明数学的过程．

数学精神就是相信真理、追求真理的一种理性精神，培养学生的理性精神是数学教育的另一大基本目标．王元院士曾说：“几何的学习不是说学完了这些知识有什么用，而是针对它的逻辑推理能力和严密的证明．而这一点对一个人成为科学家，甚至成为社会上素质很好的公民都是非常重要的，而这个能力若在中学里得到训练，会终身受益无穷．”数学则可以使学生养成实事求是的态度、锲而不舍追求真理的精神．

4 数学核心素养的特征

按照上面对数学核心素养的讨论，数学核心素养具有发展性、阶段性、连续性三个特征．

发展性是指数学核心素养应该着眼于学生的未来和终身发展，而不是仅仅局限于在学校数学课堂里数学知识的学习．

连续性是指学生发展的整个过程是连续的，是从低水平到高水平的发展，这一发展过程思循序渐进的．要在特定的水平或层次顺利发展，必须掌握前一个水平的各个概念和策略．也就是说，学生要达到第n水平时，必须先通过第n-1水平，而不能跳过其中的某个水平．

最后，需要指出的是，对学生的数学核心素养的培养应该贯穿于数学教育整个过程的始终，而数学教师正确、全面地理解数学核心素养则有助于教师在数学教学过程中培养学生的数学核心素养．要使数学核心素养的培养在数学科学中得到落实，其具体的策略与方法也需要教师在教学过程中不断探索和实践．