李生好, 雷国平

(1.重庆工程职业技术学院, 重庆 402260; 2.重庆大学现代物理中心, 重庆 400060; 3.重庆三峡学院电子与信息工程学院, 重庆 404000)

1 引 言

近年来, 量子信息理论为量子多体系统的量子相变的研究掀开了崭新的一页. 通过量子多体系统的基态波函数得到的局域序参量或非局域序参量来研究量子相变, 这主要由于两方面的进展, 一是不断发展的基于张量网络表示的准严格数值算法, 为量子多体系统的基态波函数研究提供了更加有效的工具; 二是量子多体系统不管是否存在朗道对称性破缺序还是存在其他非局域序, 为了更好地理解所涉及的内禀序, 系统基态波函数均可以用来刻画重整化群流和相应的量子相变[1-4].

在凝聚态物理研究中, 自旋梯子系统已经成为一个课题, 并取得了很大的进展[4-8]. 人们通过对自旋1/2的海森堡多腿自旋梯子类物质的研究, 如对应的两腿自旋梯子模型的SrCu2O3[9]和对应的三腿自旋梯子模型的Sr2Cu3O5[10], 发现自旋梯子系统存在着缓慢衰减的反铁磁关联, 会随着自旋梯子的自旋链条(支腿)的数目的增加, 渐渐转变到二维系统所具有的长程关联, 形成复杂得令人惊讶的维度过渡行为. 在这个维度过渡过程中, 自旋梯子系统自旋链条(支腿)的数目的奇偶性与其性质有着密切的关系, 也就是偶数自旋链条(支腿)系统和奇数自旋链条(支腿)系统的性质有着本质的不同[11]. 当系统自旋链(支腿)的数目越多时, 其准一维结构空间将越趋向于二维结构空间, 因而对于自旋梯子层状类物质的探讨可以为二维自旋结构物质的理解提供丰富的信息. 当对具有自旋梯子层状类物质掺入空穴类杂质时, 系统为了能量体系最稳定, 空穴将占据自旋梯子链间(横档)两端的格点形成空穴对, 从而可能导致超导态的出现[12, 13].

自旋梯子系统存在着很强的量子涨落, 因而绝大多数自旋梯子模型几乎是不能严格求解的. 为了得到自旋梯子系统的基态, 人们相继提出了多种数值方法来研究自旋梯子系统, 主要使用的数值方法包括有变分量子蒙特卡洛方法(VQMC)、平均场理论[14]、精确对角化方法(ED)[15]、密度矩阵重整化群方法(DMRG)[16]、张量网络算法(TN)[6, 7]等. 如含有次近邻相互作用(即自旋梯子系统的对角相互作用)的两腿自旋1/2阻挫梯子系统, 人们通过多种数值方法来研究发现其具有复杂的相图. 在梯子系统链间(横档)存在铁磁耦合竞争的情况下, 王孝群等人[17]与Hikihara等人[18]运用DMRG进行了研究, 在Rung-Singlet (RS)相与Haldane相之间是否存在一个狭窄区域, 即Columnar dimer (CD)相, 分别给出了不同的结果. 在梯子系统链间(横档)存在反铁磁耦合竞争的情况下, 也存在着这类情况[6]. 而对于基于矩阵乘积态(MPS)的自旋梯子系统的张量网络算法来说, 可以通过弦序参量来研究自旋梯子系统的量子相变和量子临界现象, 解决此类问题, 其所模拟的系统结果将有着有着相当高的精度和相当快的效率.

本文基于张量网络算法的自旋梯子系统的弦序参量, 来研究刻画系统的量子相变, 从而得到相应的量子系统相图. 对于自旋梯子系统来说, 张量网络算法能够模拟生成基态波函数, 从而可以计算系统可能存在的非局域序参量, 来探测自旋梯子系统的量子相变点, 以及自旋梯子系统的量子相图[6,19-21], 这为我们提供了一个研究自旋梯子系统的量子多体物理性质强有力的工具. 为了说明这个方法, 本文研究了两腿与三腿Staggering dimerization (SD)海森堡自旋梯子模型, 通过张量网络算法得到的基态波函数, 来研究系统存在的非局域序参量, 即弦序参量, 从而来说明自旋梯子系统的张量网络算法是有效的, 运用非局域的弦序参量来探测自旋梯子系统的量子相变和量子临界性是成功的.

2 弦序参量

如果系统没有破坏任何对称性, 或系统缺乏相关的局域序参量, 或者系统不存在朗道对称性破缺序, 为了更好地理解系统所涉及量子态的内禀序, den Nijs和Rommelse引入了所谓的拓扑弦序参量[22-24]的概念, 来完整地研究一些缺乏局域序的拓扑量子相变的量子系统. 系统没有破坏任何对称性的一些非局域的拓扑弦序参量, 会通过对偶变换, 成为类似于系统的局域序参量的形式, 这也给传统意义上的朗道对称性破缺序的相变理论带来一些丰富和发展.

对于缺乏传统意义上的局域序参量的自旋梯子系统的某些相, 如Rung-Singlet相中, 系统链间上格点自旋反向形成成对自旋单态, 其乘积可以直接看成基态波函数的表示. 系统的激发态有能隙, 其关联函数呈指数性衰减, 故Rung-Singlet相的基态没有破坏任何对称性, 所以缺乏局域序参量, 而是存在非局域的弦序序参量. 对于自旋梯子系统的Haldane相, 链间上格点自旋同向, 由两个自旋1/2形成一个自旋1的自旋三态, 其局域自旋三态的乘积可以直接看成基态波函数的表示. 因此, Haldane相与Rung-Singlet相都可以通过非局域序参量(弦序参量)来进行刻画, 其在本质上完全相同. 这里, 定义自旋梯子系统的弦序参量为

(1)

对于自旋梯子系统来说, 其传统意义上的局域序参量能够由基态波函数得到的约化密度矩阵读出, 如果系统不存在传统意义上的朗道对称性破缺序, 而存在非局域的弦序参量, 那么其能够从式(1)得到.

3 理论模型与数值模拟

3.1 两腿Staggering dimerization(SD)自旋梯子模型

无限长自旋1/2两腿SD自旋梯子模型的哈密顿量为

(2)

其中,Si,α为作用在第α条自旋链条(支腿)的第i个格点上的Pauli算符.J表示在链间(横档)上的耦合系数.Ji,α表示在第α条自旋链条(支腿)的第i个格点与第i+1个格点之间的耦合系数, 按照i+α奇偶性进行交错取值,Ji,α=1+(-1)i+αδ, 如图1.

图1 两腿SD自旋1/2海森堡自旋梯子示意图. 系统具有沿腿方向平移两个格点不变性. 其中Ji,α为沿腿方向最近邻耦合常数, J为横档上耦合常数.Fig. 1 Generalized infinite two-leg SD spin ladders with exchange interaction constants Ji,α and J along the leg and rung directions, respectively.

本文研究的无限长两腿SD自旋梯子模型, 耦合系数为Ji,α=1+(-1)i+αδ,Ji,α随δ改变而改变,即i+α为奇数与i+α为偶数时,Ji,α取值会有差异. 在图1中, 当i+α为奇数时,Ji,α=J1,2; 当i+α为偶数时,Ji,α=J1,1. 考虑dimerization发生沿自旋梯子的两条链条(支腿)方向上, 给定一个δ值, 选择系统链间(横档)上的耦合系数J作为控制参量. 对于这样的(δ,J)取值, 很容易得出无限长两腿SD海森堡自旋梯子的性质[16]: (i)δ=1时, 此自旋梯子系统是交错二聚物梯子系统; (ii)δ=0,J>0时, 此自旋梯子系统是两条相同自旋链条耦合的有能隙的海森堡系统; (iii)δ=0,J=0时, 此自旋梯子系统退化成两条没有耦合的无能隙的海森堡自旋链.

通过基于矩阵乘积态(MPS)的自旋梯子系统的张量网络算法, 给定一个δ值, 选取自旋梯子模型链间(横档)上的耦合系数J, 作为控制参量来进行计算机模拟, 得到自旋梯子系统的基态波函数, 根据系统的约化密度矩阵, 发现系统不存在朗道对称性破缺序, 也就是说自旋梯子系统没有局域序参量, 我们通过应用非局域的奇偶弦序参量来探测量子相变点, 得到系统相图. 对于两腿SD自旋1/2梯子系统, 奇弦序参量Oodd与偶弦序参量Oeven可以由式(1)计算得到. 一般地说, 通过计算奇弦序参量Oodd与偶弦序参量Oeven, 可以确定这个相为Rung-Singlet相还是Haldane相.

图2 两腿梯子系统奇弦序参量的计算示意图. 红色实线方框表示或作用, 黑色虚线方框表示作用. (i)abcd单位元胞的AB结构; (ii)abcd单位元胞的AA结构; (iii)badc单位元胞的BA结构; (iv)badc单位元胞的BB结构. 其中和是转移矩阵E1的最大左、右本征矢量,和是转移矩阵E2的最大左、右本征矢量.Fig. 2 Sketch of calculation of odd string order parameters in the two-leg spin ladder system.

图3 两腿梯子系统偶弦序参量的计算示意图. 红色实线方框表示或作用, 黑色虚线方框表示作用. (i)abcd单位元胞的AB结构; (ii)abcd单位元胞的AA结构; (iii)badc单位元胞的BA结构; (iv)badc单位元胞的BB结构. 其中和是转移矩阵E1的最大左、右本征矢量,和是转移矩阵E2的最大左、右本征矢量.Fig. 3 Sketch of calculation of even string order parameters in the two-leg spin ladder system.

选择系统数值模拟截断维数为D=6, 经过计算,AA结构的弦序参量Oodd、Oeven与BB结构的弦序参量Oodd、Oeven数值均为0;AB结构的弦序参量Oodd、Oeven与BA结构的弦序参量Oodd、Oeven数值分别相同, 如图4所示. 原因在于, 具有平移两个格点不变性的两腿梯子模型, 存在着特定对称性, 即在交换两自旋链的同时, 加上沿自旋链方向平移一个格点的一并操作下, 模型具有不变性, 所以不管选择哪一种单位元胞来计算奇弦序参量Oodd与偶弦序参量Oeven, 都能得到完全相同的值.

在图4中, 对于两腿SD海森堡自旋1/2梯子系统, 画出了δ=0.4,J作为控制参数时的奇弦序参量Oodd和偶弦序参量Oeven. 我们选择系统格点j-i为奇数, 这时Oodd和Oeven为系统的弦序参量. 当J<1.03时, 自旋梯子系统只有Oodd≠0和Oeven=0, 显示这是Haldane相; 而当J>1.03时, 自旋梯子系统只有Oodd=0和Oeven≠0, 显示这是Rung-Singlet相; 当然当J=1.03时, 系统有Oodd=0和Oeven=0. 此时弦序参量为连续的, 说明系统相变是连续相变, 当增大截断维数D时, 连续相变点Jc=1.03保持不变.

图4 两腿自旋梯子系统的弦序参量Oodd与Oeven. 这里, 截断维数为6.δ=0.4时, Jc =1.03为连续相变点.Fig. 4 The string order parameters Oodd and Oeven for the two-leg spin ladder as a function of J at δ=0.4. The phase transition takes place at Jc =1.03. Here, the truncation dimension is 6.

图5 两腿SD自旋梯子系统的(δ,J)相图. 分别对应着RS相与Haldane相.Fig. 5 The phase diagram of the two-leg spin ladder with staggering dimerization in the (δ,J) plane. These are the RS and Haldane phases.

3 .2 三腿SD海森堡自旋梯子模型

研究的无限长三腿SD海森堡自旋梯子模型的哈密顿量为

(3)

其中,Si,α为作用在第α条自旋链条(支腿)的第i个格点上的Pauli算符;J为在相邻链间(横档)上的耦合系数;Ji,α为在第α条自旋链条(支腿)上的第i个格点与第i+1个格点之间的耦合系数,Ji,α=1+(-1)i+αδ, 如图6所示.

图6 三腿SD海森堡自旋梯子示意图. 系统具有沿腿方向平移两个格点不变性, 其中Ji,α为沿腿方向最近邻耦合常数, J为横档上耦合常数.Fig. 6 Generalized infinite three-leg SD spin ladders with exchange interaction constants Ji,α and J along the leg and rung directions, respectively.

本文研究的无限长三腿SD海森堡自旋梯子模型的耦合系数Ji,α=1+(-1)i+αδ, 随δ改变而改变.无限长三腿SD海森堡自旋梯子模型和上文中研究的两腿SD自旋梯子模型的性质有着一些不同[25]: (i)δ=0时, 此系统变为三条相同的自旋链条且没有dimerization的无能隙的海森堡梯子; (ii)δ=1时, 此系统变成三条相同的相互交错二聚物的自旋链; (iii)δ≠0,J≠0时, 此系统中的交错二聚物相, 除了在临界点处没有能隙之外, 其它情况都是有能隙的. 近来人们用DMRG对δ≠0,J≠0这样的参数取值条件, 进行了研究[25,26].

通过基于矩阵乘积态(MPS)的自旋梯子系统的张量网络算法, 给定一个δ值, 以相邻链间(横档)上的耦合系数J为控制参量, 来进行计算机模拟而得到系统的基态波函数. 根据系统的约化密度矩阵, 发现系统同样不存在朗道对称性破缺序, 我们同样可以通过应用非局域的奇偶弦序参量来探测量子相变点, 区分不同的相, 得到系统相图.

选择系统数值模拟截断维数为D=6, 经过计算, 如图9所示,AB结构的弦序参量Oodd、Oeven(上图)与BA结构的弦序参量Oodd、Oeven(下图)数值分别不一致. 而AA结构的弦序参量Oodd、Oeven与BB结构的弦序参量Oodd、Oeven数值均为0. 这一点与上文中研究两腿SD海森堡梯子系统的结果不一样. 这是因为对于此自旋梯子系统, 交换第一条与第三条这两条自旋链, 中间的那条自旋链保持不变, 与此同时在沿自旋链方向平移一个格点一起进行操作, 这时自旋梯子系统不会再保持不变性, 因而此自旋梯子系统弦序参量Oodd与Oeven数值会有两个结果.

图7 三腿梯子系统奇弦序参量的计算示意图. 红色实线方框表示或作用, 黑色虚线方框表示作用. (i)abcdef单位元胞的AB结构; (ii)abcdef单位元胞的AA结构; (iii)badcfe单位元胞的BA结构; (iv)badcfe单位元胞的BB结构. 其中和是转移矩阵E1的最大左、右本征矢量,和是转移矩阵E2的最大左、右本征矢量.Fig. 7 Sketch of calculation of odd string order parameters in three-leg spin ladder system.

图8 三腿梯子系统偶弦序参量的计算示意图. 红色实线方框表示或作用, 黑色虚线方框表示作用. (i)abcdef单位元胞的AB结构; (ii)abcdef单位元胞的AA结构; (iii)badcfe单位元胞的BA结构; (iv)badcfe单位元胞的BB结构.Fig. 8 Sketch of calculation of even string order parameters in three-leg spin ladder system.

在图9中, 对于三腿SD海森堡梯子系统, 画出了δ=0.4,J作为控制参数时的弦序参量Oodd和Oeven. 我们选择系统格点j-i为奇数, 这时Oodd和Oeven为系统的弦序参量. 对于选择“abcdef”元胞即AB结构, 图9(上图)所示, 当横档耦合系数J<0.80时, 弦序参量Oodd≠0和Oeven=0, 类似于Haldane相; 当横档耦合系数J>0.80时, 弦序参量Oodd=0和Oeven≠0, 类似于RS相. 对于另一种选择“badcfe”元胞即BA结构, 图9(下图)所示, 当横档耦合系数J<0.80时, 弦序参量Oodd=0和Oeven≠0, 类似于RS相; 当横档耦合系数J>0.80时, 弦序参量Oodd≠0和Oeven=0, 类似于Haldane相. 但不管怎么选择AB结构或BA结构, 都能发现当横档耦合系数J=0.80时, 弦序参量Oodd=0和Oeven=0, 这说明三腿SD海森堡梯子系统在δ=0.4时, 其相变点在Jc=0.80, 为连续相变. 当增大截断维数D时, 系统量子相变点Jc与弦序参量几乎没有漂移. 在图9中, 我们注意到当选择元胞abcdef时, 获得的奇弦序参量Oodd与文献[25,26]中由DMRG方法计算出来的奇弦序参量值几乎一致.

图9 三腿SD自旋梯子系统的弦序参量Oodd与Oeven. 这里, 两种不同的元胞选择(上图与下图)都显示在截断维数为6时,Jc=0.80为连续相变点.

Fig. 9 The string order parametersOoddandOevenfor the three-leg spin ladder with staggering dimerization as a function ofJatδ=0.4. Here, the top and the bottom panels correspond to two different choices of the unit cell for the ladder system, respectively. For both choices, the phase transition point is located atJc=0.80. The truncation dimension is 6.

图10 三腿SD自旋梯子系统的(δ,J)相图.Fig. 10 The phase diagram of the three-leg spin ladder with staggering dimerization in the (δ,J) plane.

本算法应用于三腿梯子系统与两腿梯子系统, 同样是收敛的, 同样可以得到基态. 对于本文中的三腿梯子系统具有平移两个格点不变性, 所以弦序参量是有两种选择方式, 而这两种选择方式所计算出来的奇偶弦序的值恰恰是不同的.

4 结 论

近几年, 张量网络算法成为在数值计算领域中的研究强关联电子量子格点系统最为重要的算法, 是基于张量网络表示的高效的数值模拟算法. 人们一直在发展和优化, 以尽可能的利用有限的计算资源, 直接对热力学极限下的量子强关联系统进行最大程度的数值模拟. 本文通过基于矩阵乘积态(MPS)的自旋梯子系统的张量网络算法, 摸索研究自旋梯子量子多体系统的弦序参量,探测系统的量子相变点, 刻画系统的量子临界现象, 获取系统的量子相图, 这为我们提供了一个研究自旋梯子系统的量子多体物理性质强有力的工具和方法: 在不知道系统是否缺乏朗道对称性破缺序或者系统是否存在相关的拓扑弦序的情况下, 可以先得到系统的基态波函数, 如果基态缺乏朗道对称性破缺序, 或者通过另外方式找出系统存在若干非局域的弦序参量, 来完整地描述一些拓扑量子相变点, 获得系统的量子相图, 从而丰富和发展了传统的朗道对称性破缺的相变理论.