玉昊昕，陈克安，代 海

（西北工业大学 航海学院，西安 710072）

通常来说，多通道有源噪声控制系统预先测量所有次级源到所有误差传感器之间的次级通路传递函数，并根据所有误差传感器的信号来调整每个次级源的输出，以达到使误差传感器处声压减小的目的，这种系统称为集中式控制系统。集中式控制策略通常有利于增大降噪量和扩大静区[1-2]。然而，随着次级源和误差传感器数量的增加，控制器的复杂度和对处理器的性能要求会迅速提高，在系统通道数十分庞大时将导致集中式控制策略难以实现，提高了在大空间（如客机舱室）中应用有源噪声控制系统的成本[3]。为了降低系统复杂度，有源控制实际工程中常用的方法是采用分布式控制策略。分布式系统有多个互相独立的单通道子系统组成[4]，并且忽略了各个子系统之间的互相影响，这样硬件设计就能够简化，也更灵活。但是，由于忽略了声耦合的影响，这样可能会引起性能损失和不稳定性[5]。

为了解决集中式的复杂度和分布式系统的稳定性之间的矛盾，可以采用一种组成介于集中式和分布式结构之间的集群式系统。集群式系统是将一个包含较多次级源和误差传感器的大规模系统划分成多个较小规模的子系统，每个子系统自身就是一个多通道的集中式系统。类似的系统在振动或振声控制中也称为分布式（distributed）控制系统。通过在振声控制中的研究发现某些代价函数下，分散式系统性能显著差于集中式系统，而当使用模块优化和局部代价函数时，分布式系统性能与集中系统一致[6]。而在平板的振动控制中，分散式控制虽然能达到与集中式控制相近的性能，但是并不能保证收敛[7]。

在自由空间的有源噪声控制中，多个小规模的多通道集中式系统的互相影响已被研究，发现系统稳定性与各个小系统之间次级源与误差传感器影响大小有关[8]。另外，对反馈分散式系统的研究也发现，当系统位置较近时有很大的稳定性风险[9]。

本文对集群系统在复单频信号下的性能和稳定性进行了理论分析，然后在直升机模型舱中进行了若干仿真实验，验证了分析的有效性。

1 集群控制系统

1.1 算法和实现

为了简化问题，考虑一个有NI个次级源和NI个误差传感器的多通道集群主动控制系统，该系统划分为I个子系统，每个独立的子系统都有N个次级源和N个误差传感器，采用复数滤波x最小均方算法（CFxLMS），系统框图如图1所示。显然，N=1时集群系统即为分布式系统，I=1时即为集中式系统。假设误差传感器处接收到的原始信号由一个同频复指数信号经过初级通路模型P得到，所有子系统均使用同一个参考信号。第n时刻的参考信号的复数形式可以写为

图1 集群式有源噪声控制系统框图

第n时刻的误差传感器收到的误差信号矢量可以写为

其中

上标T表示转置，pm表示参考信号到第m个误差传感器的传递函数在ω处的频率响应，也称为初级通路响应，sm,l是第l个次级源到第m个误差传感器的传递函数在ω处的频率响应，也称次级通路响应，wi,l(n)是第i个子系统中参考信号到第l个次级源的复增益，称为控制系数。

集群式系统中每个子系统均独立运行，每个子系统的控制目标函数为该子系统的误差传感器接收到信号的平均能量和最小，则第i个子系统的控制系数的迭代方程可以写为

其中：上标H表示共轭转置，μ为收敛系数，ei(n)=是第i个子系统的误差信号矢量，Sp,q是第p个子系统的误差传感器到第q个子系统的次级源的传递函数在频率ω处的频率响应矩阵，可以表示为

这里为了简化计算，可以假设每个子系统的收敛系数相同。由式(9)，式(5)可以表示分块矩阵形式

将I个子系统的控制系数迭代方程联立起来，由式可得到可得式

其中：是块对角矩阵

式同时反映了各个子系统独立地对自身控制系数同时进行迭代更新的行为。显然如果控制系统为集中系统时有N=1，即等价于只有一个控制单元的集群式系统，此时系统迭代方程与式(11)有相同的形式，且有S=ZS。

1.2 稳态性能分析

假设各个子系统系统在经过长时间迭代之后达到稳态，即当n→∞时有w(n+1)=w(n)=wopt，由式(2)和式(11)可以获得控制器系数的稳态值wopt，假设控制系统收敛，因此有

由式(13)解得

式中上标“+”表示求Moore-Penrose广义逆。由于假设次级源与误差传感器个数均为IN，因此和S均为方阵。如果进一步假设和S为非奇异的，那么无论控制系统系统为集中式系统或集群式系统，均有

因此集群式与集中式系统在达到稳态时，系统控制系数相等，即此时两种控制系统有相同的稳态性能。将式(15)代入式(2)，可得系统处于稳态时误差信号矢量e(n)的值为0，即此时控制系统所有误差传感器处的声压被完全抵消了。

1.3 系统稳定条件

控制系统的稳定性可以用控制系数w的行为来描述，将式(2)代入式(11)，并在等式两边同时减去式(15)得

其中：

如果随着n的增大有w(n)-wopt趋于0，则控制系统是稳定的。对进行特征值分解有

其中：F是特征向量矩阵，Λ为特征值矩阵。将式(18)代入式(16)可以得

其中：v′(n)=F-1v(n)。将式(19)改写为从n=0时刻开始的形式有

将上式转化为标量形式，则第i个分量满足

对上式两边做z变换，整理得

如果系统要保持稳定，则要求的v′i(z)极点应位于z平面的单位圆之内。由式(22)可知，v′i(z)的极点为

即当

对所有i成立时系统稳定。若假设λi=ai+ibi，ai、bi均为实数，且μ>0，则式(24)的解为

因此只要μ满足

则系统稳定，这意味着只有当HS的特征值均落在z平面右半平面时，才存在能使系统稳定的收敛系数μ。

2 实验

2.1 场景设置

为了验证第2节中的分析是否正确，在如图2（a）所示的直升机模拟舱室中开展实验研究，舱室布置示意图如图2（b）所示。系统使用了8个误差传感器，8个次级扬声器，如图2（b）所示分别对称地装在舱室顶上。初级声场通过模拟舱室外部两侧的8个大型音箱产生。

图2 实验环境

为了便于比较，集中式系统，集群式系统和分布式系统均包含8个次级源和8个误差传感器，且布局位置相同。系统配置如图3所示，其中分散式系统由8个单通道控制器组成，每个控制器都由1个误差传感器和1个次级扬声器组成，图3中每个虚线围成的矩形区域表示一个单通道控制器；集群式系统由两个4×4的控制器构成，每个实线围成的矩形区域表示一个4×4的控制器；集中式系统则由所有的8个误差传感器和8个次级扬声器组成。3种控制器均采用CFxLMS算法。

图3 实验系统设置框图

对3种系统在舱室模型中的性能进行仿真和实验之前均需要对次级通路进行建模。每个次级源和每个误差传感器之间的次级通路传递函数，均以抽头数为384的FIR滤波器来对各个次级通路进行离线建模。离线建模时控制器依次馈给次级声源随机白噪声信号，以此时误差传感器接收到的信号作为期望信号，馈给次级声源的信号作为参考信号，使用LMS算法对FIR滤波器的系数进行迭代。图4为其中一个次级通路经过建模得到的幅频响应和相频响应，该次级通路在96 Hz频点处的频率响应约为-5.8～12.0j。

图4 次级通路传递函数幅频响应

取参考信号频率从80 Hz开始，以5 Hz为间隔递增至450 Hz，每个频点下分别用集中式、集群式和分散式系统进行控制，对每个系统均尽可能地调节系统控制系数μ使其稳定，并记录误差点的平均降噪量。

2.2 稳态性能比较

实验结果显示，只要集群式或分散式系统能保持稳定，当系统收敛达到稳态后，它们的性能均与集中式系统十分接近。

以参考信号频率95 Hz为例，此时3种系统的降噪量如图5所示。

图5 95 Hz时的误差传感器平均SPL

计算集群式和分散式系统HS的特征值，发现其实部均大于0，与第2节的理论分析对照可知，此时集群式系统的和分散式均应能保持稳定，且降噪量应与集中式系统一致，实验和理论结果能保持一致，

2.3 稳定性比较

从2.3分析可知，系统的稳定性与在控制频点处的HS矩阵的特征值分布有关。因此可以认为在如图3所示的系统布局下，控制系统能保持稳定的频率区间越宽，系统的稳定性越好。

集群式和分散式系统的稳定频率区间如图6所示。图中频率上方对应空间中黑色表示此时系统稳定，白色表示此时无论如何调整μ均不能使系统稳定。

图6 系统稳定频率区间

从图中可以看到，集群式系统稳定区间明显大于分散式系统，在80 Hz～450 Hz范围内，集群式系统在92.0%的区间内能保持稳定，而分散式系统只有66.7%的区间内能保持稳定，且在140 Hz～200 Hz范围有连续的不稳定区。显然，集群式系统的稳定性高于分散式系统。

以参考信号频率125 Hz为例，此时控制结果如图7所示。在这种情况下，分布式系统变得不稳定，而另2种系统仍然正常收敛，且稳态性能相同。

图7 125 Hz时误差传感器的平均SPL

图8 复平面中的特征值位置分布

3 结语

首先对在单频复信号下，集群式系统的稳态性能和稳定条件进行了理论分析，分析结果显示：

(1)集群式系统的稳态性能和集中式系统相等；

(2)当矩阵HS的特征值均有正实部时，集群式系统稳定。

然后在直升机舱室模型中进行了控制实验。实验中对集中式、集群式和分散式系统在不同频率下的稳态性能和稳定性进行和研究，结果显示：

(1)集群式系统稳定时与集中式系统有相同的降噪性能；

(2)当系统稳定时，HS特征值实部均大于0，当系统不稳定时，HS至少有1个特征值的实部小于或等于0；

(3)集群式系统的稳定频率区间大于分散式系统。实验结果很好地验证了理论分析的正确性。

综上所示，集群式系统作为一种介于集中和分散式之间的系统形式，具有与集中式系统相同的稳态降噪性能，以及比分散式更好的稳定性。