王鹏 徐家川 孙凯 李迪 李波

（山东理工大学，淄博 255000）

主题词：车身 A级曲面 拼接 光顺

1 前言

在汽车车身A级曲面逆向设计中，由于曲面形状非常复杂，难以用单一的曲面对其进行光顺，大多先采用分块光顺的方法[1]，然后再利用桥接、匹配、圆角过渡等方式拼接分块光顺好的曲面，但直接采用上述方式得到的拼接曲面的光顺精度达不到工程要求，因此需对拼接曲面的光顺方法进行研究。

目前，对于拼接曲面的光顺问题已有学者进行了相关研究，但有些研究局限于曲面拼接理论的探讨[2-4]，或利用连续条件进行拼接[5]，或采用如小波基多尺度分解方法[6-8]拼接曲面，但都未从光顺精度的角度研究拼接曲面的光顺方法。

本文以车身A级曲面光顺中常用的Bézier曲面为研究对象，在保证拼接曲面光顺精度的前提下，提出不同曲率半径拼接曲面的光顺方法，利用该光顺方法可以快速光顺出高品质拼接曲面。

2 汽车车身A级曲面光顺精度要求

工程实践中要求车身A级曲面除符合造型特征之外，拼接曲面之间还需满足曲率或挠率连续，即基础大面控制顶点数目在6排(5次)以内，过渡曲面在拼接方向上控制顶点数目为6排(5次)，但最高不超过8排(7次)，这样能够保证过渡曲面与两侧曲面拼接时控制顶点不发生畸变；拼接后的曲面光顺精度为：曲面贴近点云的精度不超过0.5 mm(油泥模型或样车比较精确)，同时在其拼接公共边界处的位置连续误差δG0≤0.002 mm、相切连续误差δG1≤0.02°、曲率连续误差δG2≤0.2 mm-1。

3 Bézier曲面几何连续条件

由于Bézier曲面是在Bézier曲线的基础上演变的，因此在讨论Bézier曲面几何连续条件时，首先应从Bézi⁃er曲线的几何连续条件开始。

3.1 Bézier曲线几何连续条件

设两条m次Bézier曲线Bernstein基函数表达式分别为[9]：

式中，p(s)和q(t)分别为两条曲线上的点矢量；ai(i=0,1,…m)和bj(j=0,1,…m)分别为两条曲线的控制顶点矢量；Bi,m(s)和Bj,m(t)分别为两条曲线的Bernstein基函数；s和t分别为两条曲线Bernstein基函数的参数。

上述两条m次Bézier曲线要达到G2连续，在公共连接点处两控制顶点必须重合且两条曲线在拼接处的切线方向一致，同时第1条曲线末端与第2条曲线的始端曲率相同，即：

式中，κ1(1),κ2(0)分别为两条曲线端点的曲率；Δam-2、Δam-1、Δb1、Δb0分别为控制顶点的差分矢量;am、b0分别为第1条曲线末端与第2条曲线首端重合的控制顶点矢量；am-1、am-2分别为第1条曲线末端的第1个与第2个控制顶点矢量；b1、b2分别为第2条曲线首端的1个与第2个控制顶点矢量。

3.2 Bézier曲面几何连续条件

设两个m×n次Bézier曲面的Bernstein表达式分别为：

式中，P(u,v)与q(u,v)分别为两个曲面上的点矢量；u、v分别为曲面两个方向的参数；m，n分别为曲面在u,v方向的阶次；ai,j和bi,j分别为两个曲面的控制顶点矢量；Bi,m(u)为曲面u方向Bernstein基函数；Bj,n(v)为曲面v方向Bernstein基函数。

在光顺实践中，要实现两拼接曲面曲率连续，首先要使其有公共的边界(即位置连续)，同时满足相切连续，即两曲面沿其公共连接边任意点有公共切平面，且两曲面沿公共边界任意点有公共切平面，并有公共的主曲率，或在两主曲率不相等时有公共的主方向，则两拼接曲面满足曲率连续。

考虑到车身A级曲面光顺时的效率，因此通常采用最直观、最简单的一种方法，即两曲面在拼接方向上控制顶点分别对齐，每排控制顶点都满足曲率或挠率的连续条件。

4 不同曲率半径拼接曲面的光顺方法

在车身拼接曲面的光顺中，曲率半径大小对拼接曲面光顺精度有较大影响。因此，应根据曲面曲率的大小采取不同的光顺方法，以提高光顺效率和质量。

4.1 大曲率半径拼接曲面的光顺方法

在光顺车身大曲率半径拼接曲面时，一方面要满足曲面贴近点云的精度，同时还要满足拼接曲面在公共边界处的连续性精度要求。图1为某车身点云截面线与相应F1、F2曲面网格线，深色线是点云的截面线，浅色线则是曲面上的网格线。

图1 某车身点云截面线与相应F1、F2曲面网格线

分析车身曲面与点云之间贴合精度时，通常用两组相同的平面分别截切点云和曲面，得到点云截面线与曲面网格线，点云截面线与曲面网格线之间的距离即为曲面与点云之间的贴合精度。调整控制顶点时，曲面上的网格线随着控制顶点的变化逐渐贴近对应的点云截面线，如果曲面网格线与点云截面线之间的最大距离小于0.5 mm，则认为曲面贴近点云，否则需要对曲面进行调整。

在构造图1所示的车身曲面时，考虑到该曲面前后的变化及与周围曲面的关系，故采用分块的方法分别构造曲面F1与曲面F2，其曲面贴近点云的精度在0.5 mm之内，两曲面之间的连续性精度为：δG0=0.392 05 mm，δG1=0.331 77°，δG2=0.115 98 mm-1，显然位置连续误差与相切连续误差不满足要求，需要对其进行拼接。

利用UG软件将曲面F2拼接到曲面F1上，拼接后的曲面及其控制顶点排列曲线如图2所示。其曲面光顺精度为：曲面贴近点云精度为0.9 mm，拼接边界处连续性精度δG0=0.000 1 mm 、δG1=0.002 19°、δG2=0.000 0 mm-1，可见，拼接边界处的连续性精度满足要求，但曲面贴近点云精度大于0.5 mm，因此需进一步对拼接曲面进行光顺处理。

图2 拼接曲面及其控制顶点排列曲线

由于拼接后，曲面F2的位置发生了变动，如图2所示，其v方向第1、2排控制顶点所控制的曲面没有很好贴近点云，因此为保证曲面贴近点云精度，需对其控制顶点进行调整。这里以第2排控制顶点为例进行分析，将控制顶点从拼接曲面v方向重新给出，如图3所示。图3中，a24=b20为其公共边界点。

图3 第2排控制顶点非比例缩放图

调整曲面F2的控制顶点方法为：根据Bézier曲面曲率连续条件，即公共控制顶点a24(b20)和它两侧控制顶点a23、b21需在一条直线上的原理，抬高控制顶点a23，使控制顶点b21的位置逐渐降低，同时距离控制顶点b21最近的曲面也降低，以满足曲面贴近点云精度的要求。该方法虽然复杂，但可以保证曲面在重新匹配后的连续性精度。

当然，在升高控制顶点a23时，左侧的曲面贴近点云的精度会发生变化，这就需要根据情况调整该控制顶点周边的各控制顶点，直到满足拼接曲面贴近点云精度要求。

需要特别指出的是，为保证拼接后曲面光顺精度，拼接边界处附近的曲面与点云贴近精度应尽可能小，一般控制在0.2 mm内。光顺后的拼接曲面如图4所示，曲面贴近点云精度最大值为0.32 mm，连续性精度δG0=0.000 1 mm 、δG1=0.007 21°、δG2=0.005 6 mm-1，满足拼接曲面光顺精度要求。斑马线评价如图5所示，由图5可看出，其斑马线粗细均匀且间距也分布均匀，没有产生尖锐拐角，同时也没有错位，拼接曲面品质符合A级曲面要求。

图4 光顺后的拼接曲面

图5 光顺后的拼接曲面斑马线评价

4.2 小曲率半径拼接曲面的光顺方法

在光顺小曲率半径拼接曲面时，根据过渡曲面构造的难易程度，将其分为简单过渡曲面(后备箱圆角过渡曲面)和复杂过渡曲面(车身腰线R角处过渡曲面、轮包小特征处过渡曲面)。在光顺上述曲面时，需要在构造基础曲面的基础上检查交线，根据交线判断造型趋势与曲面质量，只有基础曲面符合光顺精度要求后才能再进行小曲率半径拼接曲面的光顺。

4.2.1 简单过渡曲面的光顺方法

图6为某轿车后备箱点云截面线与部分基础曲面网格线，其中深色线是点云截面线，浅色线为曲面网格线。基础曲面与点云贴近精度小于0.2 mm。

图6 某轿车后备箱点云截面线与部分基础大面网格线

为获得高品质的过渡圆角曲面，应控制好基础曲面在过渡圆角处曲面贴近点云精度(使其小于0.2 mm)；然后在此基础上构造出贴近点云、符合造型要求的过渡圆角曲面，其局部放大图如图7所示。

图7 过渡圆角曲面局部放大示意

过渡圆角曲面构造完成后，需检查其连续性精度。如图8所示，过渡圆角曲面与后备箱盖上部曲面的拼接边界处有较大的位置连续误差δG0=0.01 mm，不满足拼接曲面连续性精度要求。查看其边界线的曲率梳，发现边界线右侧曲率梳有较大波动，这是由于过渡圆角曲面的边界曲线不够光顺。因此提取圆角曲面的边界曲线并光顺，利用光顺好的曲线重新裁剪基本曲面并重新构造过渡圆角曲面，再一次检查后其边界线连续性精度为：δG0=0.002 mm ，δG1=0.015 4°，δG2=0.017 6 mm-1，满足光顺精度要求，光顺后的曲面如图9所示。

图8 边界线有较大位置连续误差

图9 基本曲面与过渡曲面

4.2.2 复杂过渡曲面的光顺方法

图10为某车轮包点云及基本曲面。在构造该轮包曲面时，由于该曲面形状复杂，难以用单一曲面表达，因此按照特征将其分解成10个弯曲矩形曲面(S1～S10)，其中S1～S5为第1组曲面，S5～S10为第2组曲面。

为保证过渡曲面的光顺质量，两组曲面的两端需分别对齐，同时保证两组曲面相交且达到位置连续，其交线符合轮包造型特征要求，并具有良好的光顺性，曲面的边界与交线切线方向夹角约为90°。

在上述基础上分别光顺两组曲面，首先在保证光顺精度的前提下拼接第1组曲面S1～S5，拼接后的曲面贴近点云的精度最大值为0.431 67 mm，曲面之间的连续性精度为δG0=0.000 0 mm ，δG1=0.012 64°，δG2=0.007 3 mm-1，满足光顺精度要求（小于0.2 mm）；然后用该方法拼接第2组曲面S6～S10，拼接后的曲面光顺精度同样达到要求。

图10 某车轮包点云及构建的基本曲面

在光顺好的两组曲面间构造过渡曲面，调节过渡曲面的圆角半径和弦高，使构造出的过渡曲面能够很好地贴近点云。利用曲率梳对过渡曲面的边界线进行检查，结果如图11所示。由图11可看出，其曲率变化连续，无突变，说明该边界具有良好的光顺性，过渡曲面与基本曲面达到曲率连续，连续性精度为δG0=0.000 7 mm ，δG1=0.005 03°，δG2=0.003 7 mm-1。最后裁剪掉多余的基本曲面并利用斑马线评价该曲面，结果如图12所示，由图12可看出，其斑马线粗细变化均匀，曲面品质较高。

图11 车轮包过渡圆角曲面边界的曲率梳检查

图12 车轮包曲面斑马线评价

通常情况下，如果两组曲面两端分别对齐且相交并达到位置连续，同时曲面贴近点云精度小于0.5 mm，那么在此基础上得到的过渡曲面一定具有良好的品质。但在工程实践中，由于时间节点等问题，也可以采用其它方法构造过渡曲面，但必须检查其连续性精度，当构造的过渡曲面不满足连续性精度要求时，可以通过提取该边界曲线并对其进行光顺，利用光顺好的曲线对曲面进行裁剪，重新构造曲面即可。

当然，由于结构和造型的需要，两组曲面之间会存在不能对齐的情况，如图13a所示。图13a的情况是因为上部曲面组要照顾到前翼子板、A柱、车门、后翼子板等部位，因此相关部位小曲面较多，而下部曲面组主要为车门曲面，因此比较整齐。要在两组不能相互对齐的曲面之间构造过渡曲面，首先应保证上部曲面组和下部曲面组满足光顺精度的要求，然后利用样式圆角法在曲面组之间构造过渡曲面，最后用曲率梳检查过渡曲面边界线。由图13b可看出，曲率梳变化有突变，这是由于边界线的控制顶点排列不规律所导致的。

为使该过渡曲面能够满足光顺精度的要求，通过提取过渡曲面边界线对其进行光顺处理，光顺后的曲率梳变化均匀连续，边界曲线有很高的品质，如图13c所示。

用光顺好的边界曲线裁剪基本曲面，如图14a所示，然后重新构造过渡曲面。为提高过渡曲面与基本曲面的连续性精度，分别从f1曲面A点、f2曲面B点、f4曲面C点、f5曲面D点向f6、f7、f8曲面边界做垂线，提取相应曲面的边界线(图中深色边界线)，并在E、F、G、H处将曲线分割，分片构造过渡曲面，最后通过斑马线评价该曲面。由图14b可看出，过渡曲面处的斑马线间隔均匀，变化连续，因此该曲面具有很高的品质。

图13 某轿车腰线处基本曲面、过渡圆角曲面边界与曲率梳

图14 裁剪后的基本曲面及斑马线分析

5 结束语

为提高车身A级曲面的光顺精度和效率，提出了不同曲率半径拼接曲面的光顺方法。在光顺大曲率半径的拼接曲面时，根据Bézier曲面连续条件对其控制顶点进行排列与调整，可以快速得到高质量曲面；在光顺小曲率半径拼接曲面时，首先保证基础曲面具有较高的质量，并在此基础上构造过渡曲面并检查其连续性精度，如不满足要求可提取边界曲线并光顺，然后利用光顺好的边界线裁剪基础曲面，最后重构过渡曲面。实际应用表明，该方法不仅可使拼接曲面具有较高的品质，而且能够提高拼接曲面的光顺效率。