王 琳，毕 艳



判别线面相交及面面相交可见性的假想墙法

王 琳，毕 艳

(文华学院机械与电气工程学部，湖北 武汉 430074)

针对判别直线与平面相交及平面与平面相交的可见性提出了一种假想墙的方法。在直线与平面相交问题中探讨了3种典型的情况：一般位置直线与特殊位置平面相交、一般位置直线与一般位置平面相交、特殊位置直线与一般位置平面相交；在平面与平面相交的问题中探讨了3种典型的情况：特殊位置平面与特殊位置平面相交、一般位置平面与特殊位置平面相交、一般位置平面与一般位置平面相交。通过假想墙方法，可快速准确地判断直线与平面相交及平面与平面相交的可见性，为机械制图课程相关内容的学习及教学提供一些参考。

直线；平面；相交；可见性

在工程制图与画法几何中，直线与平面相交求交点并判别直线可见性、平面与平面相交求交线并判别平面的可见性这两个问题一直是难点问题，尤其是可见性的判别。常用的方法是通过重影点或者换面法进行判别[1-2]，理解起来有一定难度。有学者提出了一些新方法如区分平面的正、背面、重影线等[3-6]，这些方法均只能解决某一类问题，如直线和平面相交或平面与平面相交或者是相交问题中的某一特殊情况。本文提出了一种假想墙的方法，既可解决线面相交的问题又可解决面面相交的问题，且应用起来较直观简单。

1 直线与平面相交的判别

直线与平面相交，首先要求交点，再判别直线的可见性。根据直线和平面的位置关系，可分为一般位置直线与特殊位置平面相交、一般位置直线与一般位置平面相交、特殊位置直线与一般位置平面相交3类[7-8]。下面将分别分析3种情况下假想墙方法的应用。

1.1 一般位置直线与特殊位置平面相交

如图1(a)所示，为一般位置直线，△为铅垂面，求直线与△的交点并判别可见性。

找交点：如图1(b)所示，设直线与平面的交点为，点既在直线上又在平面内，因此点在水平面内的投影即直线与平面水平投影的交点，根据点的水平投影可以很容易找到点的正面投影ʹ。

图1 假想墙法判别一般位置直线与特殊位置平面相交的可见性

假想墙判别可见性：如图1(c)所示，要判别直线正面投影的可见性，需在水平面从前往后看。将直线的水平投影拉伸为一个铅垂面墙，从前往后看，发现△靠近的部分可见，靠近的部分被墙挡住不可见。根据直线与平面一个可见则另一个不可见的规律，在正面投影中△靠近的部分可见，则直线靠近这部分即端不可见，△靠近的部分不可见，则直线靠近的部分即端可见。

结果：如图1(d)所示，的正面投影以交点ʹ为界，靠近ʹ的一端可见为实线，靠近ʹ的一端不可见为虚线。

1.2 一般位置直线与一般位置平面相交

如图2(a)所示，为一般位置直线，△为一般位置平面，求直线与△的交点并判别可见性。

找交点：如图2(b)所示，设一经过直线的铅垂面与△相交于直线，则直线与△的交点必在直线上。的水平投影，正面投影ʹʹ，则ʹʹ与ʹʹ的交点即为ʹ，再根据投影关系找到的水平投影。

图2 假想墙法判别一般位置直线与一般位置平面相交的可见性

假想墙判别可见性：如图2(c)所示，要判别直线正面投影的可见性，需在水平面从前往后看。将直线的水平投影拉伸为一个铅垂面墙，从前往后看，发现△靠近的部分可见，靠近的部分被墙挡住不可见。根据直线与平面一个可见则另一个不可见的规律，在正面投影中△靠近的部分可见，则直线靠近这部分即端不可见，△靠近的部分不可见，则直线靠近的部分即端可见。

同理，判别直线水平面投影的可见性，需由正面从上往下看。如图2(d)所示，将直线的正面投影ʹʹ拉伸为一个正垂面墙，从上往下看，发现△靠近的部分可见，靠近的一端被墙挡住不可见。根据直线与平面一个可见则另一个不可见的规律，在水平投影中△靠近的部分可见，则直线靠近这部分即端不可见，△靠近的部分不可见，则直线靠近的部分即端可见。

结果：如图2(e)所示，的正面投影以交点ʹ为界，靠近ʹ的一端可见为实线，靠近ʹ的一端不可见为虚线。的水平投影以交点为界，靠近的一端可见为实线，靠近的一端不可见为虚线。

1.3 特殊位置直线与一般位置平面相交

如图3(a)所示，为铅垂线，△为一般位置平面，求直线与△的交点并判别可见性。

找交点：如图3(b)所示，设直线与平面的交点为，在铅垂线上。在水平投影面内连接并延长交于，则点既在直线上又在直线上。ʹʹ与ʹʹ的交点'即直线与平面△的交点的正面投影。

图3 假想墙法判别特殊位置直线与一般位置平面相交的可见性

假想墙判别可见性：如图3(c)所示，要判别直线正面投影的可见性，应在水平面内由前往后看。将直线的水平投影拉伸为一个铅垂面墙，从前往后看，发现△靠近的部分可见，靠近的一端不可见，则正面投影直线靠近这部分即端不可见，靠近的部分即端可见。

结果：如图3(d)所示，的正面投影以交点ʹ为界，靠近ʹ的一端不可见为虚线，靠近ʹ的一端可见为实线。

2 平面与平面相交的判别

平面与平面相交，首先要求出交线，再判别平面的可见性。根据平面和平面的位置关系，可分为特殊位置平面与特殊位置平面相交、一般位置平面与特殊位置平面相交、一般位置平面与一般位置平面相交3类[7-8]，本文分别分析应用3种假想墙的方法。

2.1 特殊位置平面与特殊位置平面相交

如图4(a)所示，△和△均为铅垂面，求△与△的交线并判别可见性。

找交线：如图4(b)所示，设两平面的交线为，则既在△上又在△上，的水平投影集聚为一点，为铅垂线。作出该铅垂线的正面投影，与两平面的边有4个交点，因既在△上又在△上，取靠近里面的两个交点即为的正面投影ʹʹ。

图4 假想墙法判别特殊位置平面与特殊位置平面相交的可见性

假想墙判别可见性：如图4(c)所示，要判别正面投影的可见性，应在水平面内由前往后看。将△的水平投影拉伸为一个铅垂面墙，从前往后看，发现△靠近的部分可见，靠近的部分被墙挡住不可见，根据两平面一个可见则另一个不可见的规律，则正面投影中△靠近这部分即端不可见，靠近的部分即端可见。也可将△的水平投影拉伸为一个铅垂面墙，得到的结果相同。

结果：如图4(d)所示，正面投影中以交线ʹʹ为界，△靠近的部分可见为实线，靠近的部分不可见为虚线；△靠近的部分不可见用虚线，靠近的部分可见用实线。

2.2 一般位置平面与特殊位置平面相交

如图5(a)所示，△为一般位置平面，△为铅垂面，求△与△的交线并判别可见性。

找交线：如图5(b)所示，设两平面的交线为，则既在△上又在△上，的水平投影即为图中的交线，根据水平投影很容易找到的正面投影ʹʹ。

图5 假想墙法判别一般位置平面与特殊位置平面相交的可见性

假想墙判别可见性：如图5(c)所示，要判别正面投影的可见性，应在水平面内由前往后看。将△的水平投影拉伸为一个铅垂面墙，从前往后看，发现△靠近的部分可见，靠近的部分被墙挡住不可见，根据两平面一个可见则另一个不可见的规律，则正面投影中△靠近这部分即端不可见，靠近的部分即端可见。

结果：如图5(d)所示，正面投影中以交线ʹʹ为界，△靠近的部分可见为实线，靠近的部分不可见为虚线；△靠近的部分不可见为虚线，靠近的部分可见为实线。

2.3 一般位置平面与一般位置平面相交

如图6(a)所示，△与△均为一般位置平面，求△与△的交线并判别可见性。

找交线：如图6(b)所示，设有一经过△的边的铅垂面与△相交于直线，则直线与直线的交点既在△上又在△上；设有一经过△的边的铅垂面与△相交于直线，则直线与直线的交点既在△上又在△上，只需找到这两个交点，交点的连线即两平面的交线。

直线和直线的水平投影为12和34，正面投影为1ʹ2ʹ和3ʹ4ʹ；1ʹ2ʹ与ʹʹ的交点为ʹ，3ʹ4ʹ与ʹʹ的交点为ʹ，则ʹʹ既在△ABC上又在△上，直线即为两平面的交线。根据的正面投影可找到其水平投影。

图6 假想墙法判别一般位置平面与一般位置平面相交的可见性

假想墙判别可见性：如图6(c)所示，要判别正面投影的可见性，应在水平面内由前往后看。将交线的水平投影拉伸为一个铅垂面墙，从前往后看，发现△靠近的部分可见，靠近的部分被墙挡住不可见，根据两平面一个可见则另一个不可见的规律，则正面投影中△靠近这部分即端不可见，靠近的部分即端可见。也可先判别△的可见性再根据两平面一个可见则另一个不可见的规律判别△的可见性，得到的结果是一样的。

同理，判别水平面投影的可见性。如图6(d)所示，要判别水平投影的可见性，应在正面内从上往下看。将交线的正面投影ʹʹ拉伸为一个正垂面墙，从上往下，发现△靠近的部分可见，靠近的部分被墙挡住不可见，根据两平面一个可见则另一个不可见的规律，则水平投影中△靠近这部分即端不可见，靠近的部分即端可见。

结果：如图6(e)所示，正面投影中以交线ʹʹ为界，△靠近的部分可见为实线，靠近的部分不可见为虚线；△靠近的部分不可见为虚线，靠近的部分可见为实线。水平投影中以交线为界，△靠近的部分可见为实线，靠近的部分不可见为虚线；△靠近的部分不可见为虚线，靠近的部分可见为实线。

3 结 论

假想墙法判别线面相交直线的可见性：

(1) 判别直线正面投影的可见性，在水平投影面内将直线的投影(若直线投影集聚为一点则将该点所在的直线)拉伸为一个铅垂面墙，从前往后看，在墙前面的平面可见，则正面投影中靠近平面该部分的直线端不可见，另一端可见。

(2) 判别直线水平投影的可见性，在正投影面将直线的投影(若直线投影集聚为一点则将该点所在的直线)拉伸为一个正垂面墙，从上往下看，在墙上方的平面可见，则水平投影中靠近平面该部分的直线端不可见，另一端可见。

假想墙法判别面面相交平面的可见性：

(1) 判别平面正面投影的可见性，在水平面内将交线所在直线的投影拉伸为一个铅垂面墙，从前往后看，在墙前面的平面端可见，在墙后面的平面端不可见。

(2) 判别平面水平投影的可见性，在正投影面内将交线所在直线的投影拉伸为一个正垂面墙，从上往下看，在墙上面的平面端可见，在墙下面的平面端不可见。

通过假想墙的方法，可较快速准确地判别各种情况下的线面相交及面面相交的可见性。

[1] 杜海霞. 用重影线法图解线面相交问题[J]. 高等函授学报: 自然科学版, 2010, 23(1): 39-40.

[2] 罗宏博. 一般位置直线与一般位置平面相交可见性判断方法的研究[J]. 陇东学院学报, 2014, 25(1): 25-26.

[3] 牛彦. 两平面相交可见性判断的新方法[J]. 辽宁工程技术大学学报, 2005, 24(1): 124-126.

[4] 马丽敏, 刘仁杰. 直线与平面相交可见性判别的新方法[J]. 工程图学学报, 2008, 29(3): 121-125.

[5] 于晓丹. 平面与平面相交可见性判别的新方法[J]. 辽宁工业大学学报: 自然科学版, 2014, 34(6): 411-412.

[6] 沈丽萍, 王刚. 空间几何元素一般相交问题的求解[J]. 沈阳大学学报: 自然科学版, 2014, 26(3): 255-258.

[7] 胥北澜, 邓宇. 机械制图[M]. 武汉: 华中科技大学出版社, 2017: 52-56.

[8] 张慧云, 范竞芳. 机械制图[M]. 北京: 机械工业出版社, 2012: 52-53.

Imaginary Wall Method to Determine the Visibility of Line and Plane Intersection or Plane-Plane Intersection

WANG Lin, BI Yan

(Department of Mechanical and Electrical Engineering, WenHua College, Wuhan Hubei 430074, China)

An imaginary wall method is proposed to determine the visibility of line and plane intersection or plane and plane intersection. Three typical cases are discussed concerning the former topic: a line in the general position intersects with a plane in the special position, a line in the general position intersects with a plane in the general position, and a line in the special position intersects with a plane in the general position. Three typical cases are also discussed on the latter topic: the intersection of two planes both in the special position, a plane in the general position intersects with a plane in the special position, and the intersection of two planes both in the general position. The imaginary wall method can determine the visibility of line and plane intersection or plane and plane intersection quickly and accurately. This method can also provide some references for the learning and teaching in mechanical drawing courses.

line; plane; intersection; visibility

TP 126.2

10.11996/JG.j.2095-302X.2019010207

A

2095-302X(2019)01-0207-05

2018-04-25；

2018-05-23

王 琳(1988-)，女，湖北武汉人，讲师，硕士。主要研究方向为机械制图、三维数字化设计教学与研究。E-mail：525498463@qq.com。

毕 艳(1983-)，女，湖北武汉人，讲师，硕士。主要研究方向为机械制图、三维数字化设计教学与研究。E-mail：13554328770@qq.com。