■湖北省巴东县第三高级中学 廖庆伟

抛物线是高中数学中的重要内容,也是高考考查的重点,主要考查定义、标准方程、几何性质等基础知识,考查基本技能与基本方法的运用。

一、知识扫描

平面内与一个定点F和一条直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线。这个定点F叫作抛物线的焦点,这条定直线l叫作抛物线的准线。其数学表达式为|MF|=d(其中d为点M到准线的距离)。

抛物线的标准方程与几何性质如表1所示。

表1

焦半径:抛物线y2=2p x(p＞0)上一点P(x0,y0)到焦点的距离|P F|。

常用结论:设抛物线方程为y2=2p x(p＞0),F为焦点。

通径:过焦点且与对称轴垂直的弦A B,|A B|=2p;p越大,抛物线的开口越大。

焦点弦:设过焦点F的直线l与抛物线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则有:

④点P(x0,y0)在抛物线y2=2p x(p＞0)的内部

点P(x0,y0)在抛物线y2=2p x(p＞0)的外部

⑤以A B为直径的圆与准线相切。

⑥以A F或B F为直径的圆与y轴相切。

二、常见题型

考点一:抛物线的定义及运用

例1若抛物线y2=2x上一点M到它的焦点F的距离为,O为坐标原点,则△MF O的面积为( )。

解析:由题意知,抛物线的准线方程为x

所以a=1,代入抛物线方程y2=2x,解得所以

故选B。

点评:利用抛物线的定义解决此类问题时,应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化。“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径。

考点二:抛物线的标准方程

例2如图1,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F,过抛物线上一点A(3,y)作准线l的垂线,垂足为B,若△A B F为等边三角形,则抛物线的标准方程是( )。

图1

将A(3,y)代入抛物线方程得y2=6p,

由于△A B F为等边三角形,故kAF=

所以抛物线的标准方程是y2=4x,故选D。

点评:求抛物线方程主要有两种方法。

①定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,从而确定p的值,得到抛物线的标准方程。

②待定系数法:根据条件设出标准方程,再确定参数p的值,这里要注意抛物线标准方程有四种形式。从简单化角度出发,焦点在x轴的,设为y2=a x(a≠0),焦点在y轴的,设为x2=b y(b≠0)。

考点三:抛物线的几何性质

例3如图2,设抛物线2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则=( )。

图2

解析:如图3所示,抛物线的准线D E的方程为x=-1。

过A作A E⊥D E于E,交y轴于N;过B作B D⊥D E于D,交y轴于M。

由抛物线的定义知|B F|=|B D|,|A F|=|A E|。

图3

点评:本题需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比,抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解,在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质,是高考中小题的热点。

考点四:抛物线中的最值

例4抛物线y2=2p x(p＞0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠A F B=120°。过弦A B的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为( )。

解析:设|A F|=a,|B F|=b。

点评:解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法求解。本题是利用抛物线性质及余弦定理、基本不等式等知识求最值的。注意由于抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等,所以抛物线的顶点到焦点的距离最小。

考点五:抛物线中的定值问题

例5已知抛物线C的顶点在坐标原点O,其图像关于y轴对称且经过点M(2,1)。

(1)求抛物线C的方程;

(2)过点M作抛物线C的两条弦MA、MB,设MA、MB所在直线的斜率分别为k1,k2,当k1+k2=-2时,试证明直线A B的斜率为定值,并求出该定值。

解析:(1)设抛物线C的方程为x2=2p y(p＞0)。

由点M(2,1)在抛物线C上,得4=2p,则p=2。

所以抛物线C的方程为x2=4y。

所以直线A B的斜率为定值-3。

点评:求解此类问题的方法一般有两种:①从特殊入手,求出定点、定值、定线,再证明定点、定值、定线与变量无关;②直接计算、推理,并在计算、推理的过程中消去变量,从而得到定点、定值、定线。应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点,设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算。

考点六:抛物线中的定点问题

例6已知抛物线y2=2p x(p＞0)上点T(3,t)到焦点F的距离为4。

(1)求t,p的值。

(2)如图4,设A、B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且(其中O为坐标原点)。求证:直线A B必过定点,并求出该定点P的坐标。

图4

解析:(1)由抛物线定义可得解得p=2。

所以所求抛物线方程为y2=4x,把T(3,t)代入可解得

故-4t=-20,所以t=5。

所以直线A B过定点P(5,0)。

点评:在解决此类问题的过程中,常利用数形结合的方法,充分挖掘题目中所涉及的抛物线方程、直线方程等相关方面的隐性知识点,比如巧设直线A B的方程为x=m y+t,利用韦达定理求出抛物线方程中t的值等。对于直线过定点问题,若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必经过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=k x+m,则直线必经过定点(0,m)。

考点七:抛物线中的探求性问题

例7已知抛物线C:x2=2p y(p＞0)的焦点为F,直线x=4与x轴的交点为P,与C的交点为Q,且

(1)求C的方程。

(2)点A(-a,a)(a＞0)在抛物线C上,是否存在直线l:y=k x+4与C交于点M,N,使得△MAN是以MN为斜边的直角三角形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由。

解析:(1)设Q(4,y0),代入x2=2p y,得由题设得,解得p=-2(舍去)或p=2。

所以C的方程为x2=4y。

(2)由x2=4y知点A(-4,4),假设存在满足条件的直线l。

设M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程组

因为Δ=16(k2+4)＞0恒成立,所以直线与抛物线必有交点。

由韦达定理知x1+x2=4k,x1x2=-16。

所以-16(1+k2)+1 6k+=0,解得k=0(舍)或k=1。

所以存在直线l,方程为y=x+4。

点评:需要注意的是探索结论型问题是指那些题目结论不明确或者答案不唯一,给同学们留有较大探索余地的试题。近年来这类题已成为高考试题的一个新亮点。