齿轮齿条的边界仿真与定位

2019-02-27王嘉琦李东平康贺磊师艳丽

长春师范大学学报 2019年2期

王嘉琦，李东平，康贺磊，李萌，师艳丽

(长春师范大学数学学院，吉林长春 130032)

1 研究背景

在现代电子、电气技术高度发达的今天，齿轮传动生产在飞机、轮船、汽车和机床等机械工业领域占有相当大的比重，但相关设计加工一直是制造业的难点。

在齿轮齿条的机械加工过程中，首先要定位，即在机床上获得一个正确位置。工件的加工就是从定位后的原件表面切割下一部分金属，如果工件不能正确定位，则切割就会偏离正确位置，导致工件无法按原计划加工或打磨。因此，在进行工件加工过程中，合理地选择定位基准对工件加工的尺寸精度和相互位置精度具有重要的影响。本文基于齿轮齿条加工过程中碰到的实际问题，在使用伺服电机驱动加工齿轮工件的过程中对工件的边界和拐点进行准确模拟定位。建立仿真模拟算法，通过自动检测实现工件的定位和刀具的加工方向来完成切削、打磨、抛光具有重要的意义，也是未来数控技术的发展趋势[1]。

2 边界定位识别算法——试探法

齿轮工件通常是在标准圆形工件的基础上加工而成，而圆型工件的横截面的位移轨迹通常呈三角函数形状[2]，可设其方程为：

(1)

该方程也称为齿面基本方程。其中，f(x)表示第x结点处的位移，n为工件旋转一周位移传感器所采集的结点总数，A、B、C为待定常数。一旦获得圆型工件的位移传感数据，利用最小二乘方法[3]即可直接得到A、B、C的值。

齿轮齿条的边界由圆形截面和切削面构成，所测量的位移数据也因此由圆面位移数据和切削面的位移数据构成，并呈交错状态，其中关键结点为交错结点，如图1所示(某真实齿轮齿条的位移数据图像)。

文献[2]利用二次曲线拟合来获得切削面的函数方程，然后通过求解非线性方程组来确定关键结点。但在工件的再加工过程中，切削面并不完全规则或光滑，所测得的位移数据偏差较大，进而导致获得的关键结点产生偏差。为了克服这一困难，本文建立确定关键结点的另一类算法——试探法。

图1 齿轮齿条的位移图像

图2 拟合函数和实测位移图像

试探法的基本思想是先确定一个关键结点的分界点m(通常取位移数据值的最小值坐标)，其中m将整个位移区间分成两部分，分别为[1,m]和[m,n]。从左区间[1,m]的右端点出发，按某个预定的步长h一步一步地向左跨，每跨一步，进行一次关键结点的探索，即检查在结点m-k·h上的函数值f(m-k·h)与测量位移xm-k·h的误差。一旦发现误差大于预定的值ε，则需要在缩短步长(通常取原步长的一半)的基础上再次判断，以此往复，直至步长为1，左关键结点即为当前结点。右关键结点的选取方式类似上述过程，仅仅是移动方向不同，这里不再赘述。下面仅列出计算左关键结点试探法的计算步骤。

步骤1 输入位移数据X=[x1,x2,…,xn]，步长h，精度ε，整数m1和m2。

步骤2 计算[M,m]=min(X)。

步骤3 利用位移数据X(m-m1:m-m2)拟合三角函数(1)的表达式。

步骤4 计算k=[(m-m1)/h]，i=m-m1-h，%[.]表示取整。

步骤5 判断，若abs(f(i)-X(i))<=ε，则i=i-h，循环往复。

若i<1，则无左关键结点；否则若abs(f(i)-X(i))>ε，则左关键结点位于区间[i,i+h]，那时作如下判断：

(Ⅰ)取a=i,b=i+h,c=[(a+b)/2]，若abs(f(c)-X(c))<=ε，取b=c，则左关键结点位于区间[a,b]内；若abs(f(c)-X(c))>ε，取a=c，则左关键结点位于区间[a,b]内。

反复执行过程(Ⅰ)，直至[a,b]长度缩小到允许误差范围之内。此时c=[(a+b)/2]，可作为左关键结点的坐标。

类似地，可写出右关键结点的计算步骤，其中算法中的前三步与上述过程相同，其余步骤列举如下：

步骤4’ 计算k=[(n-m-m2)/h]，i=m+m2+h，%[.]表示取整。

步骤5’ 判断，若abs(f(i)-X(i))<=ε，则i=i+h循环往复。

若i>n，则无右关键结点；否则若abs(f(i)-X(i))>ε，则右关键结点位于区间[i-h,i]，那时作如下判断：