司凤山，戴道明，孙玉涛

(安徽财经大学管理科学与工程学院，安徽蚌埠 233030)

1 研究背景

为了更好地发展绿色经济和满足消费者的低碳偏好，企业不断加大低碳生产技术的研发力度。但是由于经济实力所限，各企业低碳技术研发水平相差甚远。没有技术研发能力的企业便争取技术转让，以此实现低碳产品的生产。

对于低碳技术方面的问题，慕艳芬等[1]分析了碳税对制造商选择低碳技术的影响，但是市场大小会制约低碳技术选择的效果。魏守道等[2]研究了碳税制约下的供应链企业竞争或合作研发低碳技术的博弈模型，分析了低碳技术研发的策略选择问题。刘名武等[3]在分析低碳技术特征的基础上，在考虑碳交易和消费者低碳偏好的背景下，构建了低碳技术减排投入与合作的微分博弈模型，给出了促进零售商低碳合作的市场条件和实现双赢的低碳技术特征条件。蔡小哩等[4]通过构建博弈模型研究供应链中的低碳技术与定价问题，对比分析了不同博弈模式下的制造商、零售商和供应链整体利润的差异，实现了供应链节点企业收益的帕累托改进。这些研究成果为企业在政府征收碳税的背景下促进低碳技术研发或低碳技术转让提供了有价值的参考。

关于双寡头博弈问题，张雅慧等[5]研究了具有溢出效应的双寡头产量博弈模型，给出了最优产量解析式，分析了产量调整速率对模型稳定性的影响。李金溪等[6]通过建立委托—代理的双寡头博弈模型，分析了节能激励合同对竞争策略和企业利润的影响。王琦玮等[7]构建了四维的Bertrand离散价格博弈模型，在考虑技术吸收效益的基础上讨论了价格、利润和成本之间的关系，分析了决策参数对系统稳定性的影响，并对失稳系统进行了稳定性控制。Luca Gori等[8]基于产品差异构建了非线性双寡头价格博弈模型，研究了二维离散系统的局部和全局的系统特性。Yue Xiao等[9]构建了非线性双寡头Stackelberg博弈模型，分析了异构企业应对产量差异的策略问题，探究了博弈模型复杂的动力学行为。学者普遍对离散的双寡头博弈模型的复杂动力学演化行为进行了分析，探究了决策参数对博弈系统稳定性和复杂性的影响。这为本文研究连续的时滞微分博弈模型的动力学特性奠定了坚实的基础。

通过文献梳理可以发现，在双寡头企业之间考虑低碳技术转让的研究还比较少见。文献[10]考虑了双寡头之间的技术转让问题，但只采用了运筹的方法对比分析了有无技术转让机制下的最优策略，研究方法略显单一。另外，文献[10]中始终假定两个寡头企业单位产品的生产成本相同，这种假设略显不妥：一是假定掌握低碳技术企业的生产成本低于无技术企业的情形才更合理；二是企业在获得低碳技术转让后，单位产品的生产成本应该随着技术转让程度有所下降，这样考虑才更符合实际。

本文针对文献[10]存在的以上不足，在考虑低碳技术转让、延迟决策和生产成本动态变化的基础上，构建带时滞的动态价格博弈模型，采用非线性动力学理论和系统复杂性理论分析双寡头企业价格博弈系统的动力学行为，探究时滞参数、价格调整速度和技术转让程度对价格博弈系统和寡头企业利润的影响，力争为企业决策提供帮助。

2 构建博弈模型

市场中存在两个生产同质低碳产品的寡头企业，记为企业1和企业2，二者展开价格竞争。这两个企业都积极追求产品低碳化，努力提高产品的绿色水平,以满足消费者需求。其中，企业1研发出了产品低碳化生产技术，技术水平为L；研发投入成本为CL=γL2/2，γ为成本系数；单位产品的生产成本为c1，零售价为p1，市场需求量为q1。企业2由于没有研发出低碳生产技术，单位产品的生产成本c2较高(c2>c1)，零售价为p2，市场需求量为q2。企业1和企业2的产品需求函数为：

q1=a-α1p1+β1p2.

(1)

q2=a-α2p2+β2p1.

(2)

其中，a为产品的潜在最大需求量,a>0；α为价格敏感系数,αi>0，β为交叉价格敏感系数,βi>0，且αi>βi>0，i=1,2。为了便于计算和分析，令α1=α2=α，β1=β2=β，且α>β>0。

因为企业2没有掌握低碳生产技术，企业1可以向企业2有偿转让相关技术。企业2会根据技术转让程度和产品销量向企业1支付转让费，费用为q2φθL。其中，θ为技术转让的程度，θ=0表示不转让技术，θ=1表示全部转让；φ表示企业2销售单位产品应该向企业1缴纳的费用系数。此外，由于企业2获得了转让技术，单位产品的生产成本会降低，成本降低幅度依赖于获得的技术转让程度θ。此时，企业2单位产品的成本为C2=c2-ηθ，其中η表示转让单位程度的技术时，企业2的成本下降幅度系数。

企业1和企业2的利润函数为：

π1(p1,p2)=q1(p1-c1)-CL+q2φθL.

(3)

π2(p1,p2)=q2(p2-C2-φθL).

(4)

其中，π1为企业1的利润；π2为企业2的利润。另外，企业往往依据自身的边际利润进行价格决策。当边际利润为正时,企业提高价格；当边际利润为负时,企业降低价格。企业1和企业2的边际利润分别为：

(5)

企业1和企业2的动态价格调整过程分别为：

(6)

其中，k1和k2分别表示企业1和企业2的价格调整速度。因为当前价格难以准确及时掌握，所以企业通常会参照历史价格进行产品定价，也就是把某一历史时期的价格作为当前价格的近似值。假设企业1和企业2都参照相同历史时期的价格进行决策，历史价格分别为p1(t-τ)和p2(t-τ)。其中，τ≥0表示时间段，t-τ意味着距离当前τ之前的历史时刻。本文将τ称作时滞参数。

至此，基于式(6)带双时滞的动态价格博弈模型为：

(7)

3 Hopf分岔的存在性及局部渐近稳定性

(8)

模型(8)的特征方程为：

λ2+Ae-λτλ+Be-2λτ=0.

(9)

(I)当τ=0时，式(9)可简化为：

λ2+Aλ+B=0.

(10)

(II)当τ>0时，式(9)两边同时乘以eλτ为：

λ2eλτ+Aλ+Be-λτ=0.

(11)

令λ=iω(ω>0)为式(11)的一个根，可得：

(12)

当满足条件(H2)：B-ω2≠0时，可求得：

(13)

则有：

ω4+(2B-A2)ω2+B2=0,

(14)

令s=ω2，式(14)可为：

s2+(2B-A2)s+B2=0.

(15)

①若满足条件2B-A2>0且B2>0时，式(15)没有正根；②由于B2>0，所以式(15)不存在只有一个正根的情况；③若满足条件2B-A2<0，B2>0且(2B-A2)2-4B2>0时，式(15)有两个正根。

(16)

令

(17)

对式(11)两边求λ关于τ的导数，可得：

(18)

(19)

如果条件(H3)：PRQR+PIQI≠0成立，则满足产生Hopf分岔的横截性条件。根据文献[11]可得如下结论。

4 数值仿真

通过数值仿真验证理论分析的正确性，并探究时滞参数τ、价格调整速度k1和技术转让程度θ对价格博弈系统稳定性的影响，分析利润受影响时的变化趋势。

为了更好地展现系统的动力学演化行为，参数取值如下：a=1.2，α=0.8，β=0.5，L=1，φ=0.01，γ=0.2，η=0.2，c1=0.2，c2=0.4，θ=0.5，k1=0.5，k2=0.5。此时，模型(7)为：

(20)

经计算，系统(20)的均衡点为E(1.256,1.295)。

(Ⅰ)当τ=0时，计算可得A=2.041>0，B=0.939>0，AB=1.917>0，所以满足条件(H1)，系统(20)在均衡点处是局部渐近稳定的。

(Ⅱ)当τ>0时，计算可得B-ω2=-0.886≠0，即满足条件(H2)。另外，2B-A2=-2.286<0，B2=0.882>0且(2B-A2)2-4B2=1.698>0，根据理论分析可知系统(20)有两个正根。根据式(16)和式(17)可以得到τ0=1.163，ω0=1.351。此外，PRQR+PIQI=7.618≠0，即满足条件(H3)。综上可知定理1成立。

4.1 时滞参数τ对系统稳定性的影响

根据定理1可以明确，τ取值范围的不同将引起系统状态的变化。τ对系统(20)稳定性的影响如图1所示。

图1 系统(20)关于τ的分岔图

从图1可以看出，随着τ的增大,系统从稳定状态经过分岔进入不稳定状态，直至进入混沌状态。系统的分岔临界点为τ0=1.163，其两侧的系统状态截然不同。当τ=1<τ0时的吸引子如图2(a)所示；当τ=1.3>τ0时的吸引子如图2(b)所示。

图2 系统(20)的吸引子

当τ=1时系统是稳定的，企业的价格经过长期博弈后会趋于均衡点E(1.256,1.295)。当τ=1.3时系统是不稳定的，企业价格始终处于不稳定的混乱状态，这不利于价格决策和企业获利。因此，企业参照的历史价格不是越久远越好，而必须在距离学前时刻一个合理的范围内，否则系统会失去稳定。

4.2 价格调整速度k1对系统稳定性的影响

企业为了追求利润最大化，有时会加快价格的调整速度,但是过快的价格调整速度会对系统带来不利的影响。价格调整速度k1对系统稳定性的影响如图3所示。

以下分析都是以系统稳定为前提的，所以取τ=0.5<τ0。图3与图1类似，当k1超越临界值k10=1.48时，系统失去稳定,进入混沌状态。当k1∈[0,0.05)时系统是不稳定的，所以价格调整速度的合理范围为k1∈[0.05,k10)。

图3 当τ=0.5时，系统(20)关于k1的分岔图

图4 当τ=0.5时，θ对企业利润的影响

4.3 低碳技术转让程度θ对企业利润的影响

低碳技术的转让必然导致两企业利润的变化，利润变化趋势如图4所示。

从图4可以看出，π1与θ负相关，π2与θ正相关。虽然企业1获得了转让技术收益，但是企业2由于获得了低碳技术，利润明显增加，而企业1则恰恰相反。这也是企业不轻易转让技术的原因所在。

4.4 价格调整速度k1和技术转让程度θ对利润的影响

参数k1和θ对利润的影响如图5所示。

图5 当τ=0.5时，k1和θ对企业利润的影响

从图5可以直观地看到，θ从0增加到0.05时，企业1和企业2的利润都直线增大，并在θ=0.05时出现转折，此后企业1的利润开始逐渐下降，而企业2的利润逐步上升。这说明技术转让程度较低时无法影响市场份额，企业1因获得技术转让费而使利润明显增加；企业2由于获得低碳技术降低了生产成本，利润也显著增加。但是技术转让程度较高时会导致两企业利润的变化趋势截然相反。此外，价格调整速度k1对利润几乎没有影响。

5 结语

针对生产同质产品的双寡头企业，本文在考虑低碳技术转让的背景下，建立了带时滞的动态价格博弈模型，从时滞参数等于零和大于零两个方面，给出了Hopf分岔存在的条件，分析了系统在均衡点处的局部渐近稳定性。通过数值仿真探究了时滞参数和价格调整速度对价格博弈系统稳定性的影响，分析了低碳技术转让程度对双寡头企业利润的影响。研究表明，无论是时滞参数还是价格调整速度都必须在合理的范围内，否则会导致系统失稳。低碳技术的转让会导致寡头企业存在不同的利润变化趋势，技术接受者获益明显。此外，还可以通过设计合理的协调机制，在技术转让的同时实现双赢，这是未来研究的方向。