□焦 华

数学本质上是一种解读世界的哲学，既是一种世界观，也是一种方法论[1]。从2,500多年前毕达哥拉斯学派的“万物皆数”到现在大数据时代的“数化万物”，证明了古老的数学思想、哲学思想依然在指引现代掌握计算机、通讯技术等高科技的人们[2]。微积分出现在330多年前，是近代数学最辉煌的成就，是人类思维最伟大的成果之一，是研究自然现象、社会现象强大的工具。正确地认识客观世界和人类自身是现代人极其重要的素质，恩格斯赞誉微积分是人类精神的最高胜利，因此作为人们文化熏陶的极好素材，微积分能够培养人们正确的世界观和科学的方法论[3]。在此仅探讨冰山一角——微积分的基本概念对生命的启示，期望能部分诠释正确的“三观”(世界观、价值观、人生观)。

一、函数概念的启示

常量与变量的定义：事物特定运动过程中始终保持不变的量称为常量；会发生改变的量称为变量。

函数的定义：设变量x的变化范围为D，D是一个非空数集。变量y的变化依赖于变量x，即对于每个x∈D，y变量将按一定的法则总有确定数值与它对应，则称变量y是变量x的函数。记作y=f(x),x∈D.其中x称为自变量而y称为因变量，D数集称为此函数的定义域，f(D)={y|y=f(x),x∈D}称为此函数的值域，因变量y与自变量x的依赖关系称为函数关系[3]。从定义可看出，函数的定义域与对应法则是函数的两个基本要素。

函数是微积分的主要研究对象，是现代数学的一个基本概念，同时也是深刻影响其他学科的一个重要概念……计算机高级语言中的函数就是程序代码中的子程序，甚至C语言中的主程序都是函数(主函数main( ))，高级语言是否强大的一个重要指标就是看它是否拥有丰富的内部函数。

启示：函数是自然界的法则，是描述变量之间相互影响、相互依赖的一种数学模型。万事万物运动变化之间的联系就是函数关系。阳光下人和影子的关系就是典型的函数关系，“形影不离”反应了这种依赖性。在此定义生命价值函数p=f(t);时间t是个自变量，定义域为区间[0,T]，T代表个体的寿命，个体的价值p随时间t改变而改变。这里的价值是个人的成就、取得的社会地位、对社会的贡献大小等等。每一个生命都是时间的函数，它的定义域范围和值域范围就是“生命的长度和宽度”，这里的宽度是指价值。法国文学家托马斯·布朗有段富有哲理的名言：“你不能延伸生命的长度，但可以把握它的宽度；不能预知生命的外延，但可以丰富它的内涵；不能把握生命的量，但可以提升它的质。”

大学生职业生涯规划的核心是怎样设计未来的价值函数曲线图。分段函数曲线应当更能较好地表达生命的轨迹，因为每个人都有学生时代、工作时期、退休生活等，应当用不同的函数曲线描述。

二、函数极限概念的启示

上面函数极限的定义也称为极限的ε-δ语言描述，是德国数学家魏尔斯特拉斯对微积分的重大贡献之一。在此之前函数极限定性描述是这样的：自变量的变化趋势决定了因变量的变化趋势，当自变量x趋近于某一确定的值x0时，其函数值f(x)(因变量)趋近于某一确定的值A。要使f(x)与A足够的近(要有多近有多近)，就必须保证x与x0足够的近。ε-δ语言是定量的描述，是微积分历史上重大的里程碑。极限的概念和方法是微积分的理论基础和基本分析方法。

启示：某19岁的应届毕业生在当年的高考中脱颖而出，成了家喻户晓的理科状元，但以后就沉寂下来，不再有大的作为。其生命价值函数在t=19处的极限可表示为：

理论分析与实践证明，巷道的开挖仅对巷道周边一定的范围有明显影响，当模型边界到巷道周边的距离为巷道尺寸的3～5倍时［6］，由计算区域的大小而引起的计算误差便可以控制在工程允许的范围之内。因此，根据葛泉矿11912工作面实际地质情况，切眼模拟埋深190m，采用摩尔-库伦模型，模拟范围定为长×宽×高=60m×10m×27m。整个模型共生成42000个网格区域和47916个节点。模型顶部为自由边界，上部岩层平均容重取2.4t/m3，荷载大小由上覆岩层的重量确定。左右边界施加固定水平位移的约束，巷道底部施加固定垂直位移的约束。力学模型如图1所示，物理力学参数见表1。

无穷小量是极限为0的变量或函数；无穷大量是极限为∞的变量或函数。在漫漫的历史长河中，在广阔无垠的天地间，个人就是一无穷小量，而世界是无穷大量。“∞”充满想象力，它是“诗与远方”，是“古老的夜晚和远方的音乐”。

三、函数连续与间断概念的启示

启示：定义模样函数m=f(t)；人的长相是连续变化的，可能21岁的模样和3岁差别较大，但应当和19岁差别不大，这是因为模样函数的连续性。但也有例外，比如某大学三年级的一个班开学了，教室第一排有一位美丽女生，长相酷似明星张馨予，但同学们都不认识她，心里充满疑惑：这美女是本校其他专业转过来的？或是其他大学的转学生？……答案最后揭晓，原来是大家熟悉的本班女同学某某某，暑假期间到韩国做了整容手术……这位女同学的形象没有“连续”变化，而是发生了“跳跃”。

在生命价值函数中，由于每个人的价值观是有差异的，所以对“成功”的理解是不同的。但共通的是函数的连续点一定是相对平静的生活，而跳跃点(间断点)则是生命中的精彩或奇迹。“岁月静好，现世安稳”是美好的祝福，但“南瓜马车”是很多女孩心中的梦想。

四、导数概念的启示

启示：模样函数m=f(t)伴随每个人的一生，儿童、少年、青年、中年、老年的系列相片记录了各个阶段的变化。举例说明问题：“岁月催人老，人世存悲欢”，某大学同班同学毕业30年后又聚集在一起，于是有了甲、乙下面的对话：“你怎么头发全白了？”“别说我，你看你牙齿都掉了几颗。”“你看A君，读书时也就90多斤，现在至少160斤。”“还是B君行，除了稍胖些，和读书时比，变化不大啊。”这里自变量增量Δt=30年，模样函数改变量Δm因人而异，甲、乙及A君与30年前相比变化很大，而B君的变化微乎其微。这里需要注意的是：四位同学对应于四个不同的模样函数mi=fi(t),(i=1,2,3,4)，因为他们长相不同。应当说每个人有模样变化最大的时间点和模样变化最小的时间点，这两个时间点就是模样函数m=f(t)的导函数的最大值点和最小值点。“一夜白发”与“永葆青春”这两个成语可用来形容变化的快速剧烈程度和变化的缓慢停滞程度。

再定义一个函数——影响力函数y=g(t)，一个人在不同时期的影响力是有区别的，和他的地位、成就有关。当他只是单位的普通职工时“人微言轻”，影响力小，后来通过长期努力成为单位最高领导时“一言九鼎”，影响力大。退休后影响力逐步减小。需注意的是：影响力y的最大值点不是y=g(t)导函数的最大值点，y=g(t)导函数的最大值点是他奋斗过程中升迁变化最快的时间点。

五、定积分概念的启示

定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界,在闭区间[a,b]中任意插入若干个分点。

a=x0

归纳一下：定积分是一个和式的极限，有四个步骤(分割、取值、作和、取极限)三个要点(分法任意、取法任意、小区间最大长度趋于0)。注意：λ→0将导致n→∞。

当函数y=f(x)连续且f(x)≥0时，定积分的几何意义是由此函数曲线、直线x=a、直线x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积。

“生若夏花之灿烂，死若秋叶之静美”，泰戈尔的诗优美而深刻，这两句诗含蓄表达了作者的人生观和价值观，夏花象征旺盛的生命，活着就要灿烂且奔放，要活得有价值、有意义；秋叶，凄美而感伤，惆怅而安静，面对死亡——生命返归自然，要静穆、恬然地接受，无须轰轰烈烈，无须悲哀和畏惧，像秋叶般悄然离去……

六、结语

人类是自然界的产物，这决定了自然科学、社会科学及思维科学具备相通性，也决定了微积分基本概念对生命有启示的逻辑存在。微积分的学习会潜移默化地影响人的世界观，但微积分的抽象性、复杂性、严密性会让部分大学生感到枯燥、畏难、厌倦，尤其对于基础差的高职高专学生来说，微积分就象“天书”。因此从教育教学的角度上讲，前面给出了一些较有趣的教学素材，能够增强课堂的吸引力，促进理解并引发思考[6]。