宋晋凯，张培富

(山西大学 科学技术史研究所,山西 太原 030006)

20世纪初叶，由于教育制度的变革与域外著述的译介，民国社会对算学[注]在数学名词未审定的民国早期文献中，算学与数学并用，实同名异，本文循胡明复著述之原貌，用“算学”为多。的认识发生了较大的转变，对算学作为基础学科的重要意义有较为广泛的认识。归国留学生群体对于民国算学思想的变革发挥了重要作用。他们在国外师从学界泰斗，紧跟前沿，充分掌握世界先进科学与算学知识，许多留学佼佼者获博士学位。学成归国后，他们不仅仅是向国内学界传授先进的算学知识，更为重要的是，向国人绍介国外先进算学观念与算学文化，为民国现代算学的发展奠定坚实的文化基础。

胡明复(1891-1927)，以“中国首位数学博士”为世人熟知。审视其生平著述，他所触及的领域并不仅仅局限于数学，在教育学、军事、工商、物理、化学等诸多学科均颇有建树，而其关于算学认识的系统阐述在民国学界颇具先进之意义，也开启了国人对近代算学进行哲学反思的新篇章。

一 算学贡献

胡明复是第二批庚款留美学生，1917年在哈佛大学获哲学博士学位，博士论文为《具有边界条件的线性积分-微分方程》(Linear Integro-Differential Equations with A Boundary Condition)，内容包括引言与注释、积分-微分方程式、边值问题、积分-线性无关性、共轭积分-微分表达式、Green定理的修正形式、共轭系统、自共轭边界条件、Green函数。[1]胡明复的博士论文更可做趋限的说明，尤足表现算学上的模仿和推广。[2]这篇论文将希尔伯特(David Hilbert)推崇的“极限过程”方法的应用范围进行了扩充，取得了一系列令人满意的结果，得到了博歇(Maxtme Bcher)的充分肯定。[3]1918年，该篇论文发表于著名数学刊物《美国数学会学报》，成为中国人在国外著名数学期刊上发表的最早的现代数学论文之一，标志着我国现代数学研究活动的正式启动，其意义非比寻常。[4]

但是，令人扼腕的是，在1915年之后至其1917年回国，胡明复的研究领域多涉物理、军事、化学及一般科学，在数学领域的论著却较少；而其回国之后至其溺亡，也鲜有专门的论著发表。其中一个原因是，彼时中国的科学技术尚不发达，能理解国外最新科技前沿的学者尚在少数，社会所急需的是对域外新知的介绍与传播。胡明复深谙此种情形，因此其论著集中于较为浅显的科学知识普及，诸如《新航海通书》《磁学上最近之学说》《潮汐》《彗星》《万有引力之定律》《说虹》《教育之性质与本旨》，广涉多个学科。所著内容多是从历史脉络梳理出发，由浅入深，进而阐明要点。胡明复的这一倾向与其作为《科学》肇创人不无关系。从《科学》发刊宗旨中，我们便可管窥一二：“本杂志虽以传播世界最新科学知识为职志，然以我国科学技术方在萌芽，亦不敢过求高深致解人难索。每一题目皆源本卑近，详细解释，使读者由浅入深，渐得科学上智识，而既具高等专门以上智识者，亦得取材他山，以资参考。”[5]

另一方面，胡明复回国后，其主要精力集中于《科学》杂志的刊行及大同大学的创办。其论著也多在《科学》上发表。胡明复将大部分精力贡献于《科学》杂志的编辑校对上，且同时担任大同大学、“国立”东南大学、南洋大学等多所高校教职，没有足够的时间和精力来做数学精深的研究。诚如杨铨所言：“科学杂志办了十几年，明复至始至终担任一切文字的标点校对，忙到连自己提笔作文的时间都没有。明复回国以后，几乎没有著作，这便是他不能著作的一个最大原因。把一个富有创造天才的数学博士的时间精力牺牲在寻常杂志文字的标点校对工作上，这是中国科学社社员——尤其是我们与明复相知最久在社中负责最重的几个人的罪过。”[6]

从胡明复给裘冲曼的信函中也可得到印证：“至于文字方面之受经济上影响者，因编辑员均属义务，除一抄写外，不用一人，一切均编辑员自任，其势不能十分精细；且各人均有学校职务，余暇甚少，当然不能复有著作；……本社社员，大多从事实业教育，尚未能有相当之发展，或迫于职务，或迫于生计，少有著述；即如弟等忝居职员，职务尚未能周到，自不能再于著述上效劳，虽有其愿，而无其力，我等日日以提倡学术为号召，而自己于学术上不能有所贡献，不禁惭愧之至。”[7]

二 算学思想

何谓“界说”，清《马氏文通·正名》：“凡立言，先正所用之名以定命义之所在者曰界说。”由是以观，“界说”乃对所言事物内涵与外延的界定，是对某物进行“研究什么学问”的定义和说明。“界说”即是通过解决某物“是什么”而使此物区别于他物，因此，某物“界说”之划定，是对事物本质的探讨，是对事物所涉“元问题”的探究，更是对事物本身进行深层次的哲学审视。

1.“量”“算”“关系”之演进

算学之界说是伴随着算学之产生而出现的，古代算学体现出明显的地域差异和认知差异。埃及的尼罗河时有泛滥，两岸田地被淹没后，其形状发生变化，需要加以测量和计算，因此，地形测量学与几何学得到长足发展；加尔德(Chaldeen)人奉日为教，善于研究天空中行星运动之规律，建立了天文学；我国古代算学体现出明显的实用主义色彩，《九章算术》等算学古书多以舆地、测量等生产生活中的实际问题及其答案的形式进行编著，脱胎于实际生活的筹算学成为我国古代算学发展的特色。不同民族不同地域对于算学界说，均有其不同的认识。

算学之界说的“母体”是算学本身，因之，算学之界说也是随算学自身发展而日臻完善的。古希腊的算学主要围绕几何图形展开，算术计数并不发达，图形与测量并没有明显的区分，所以亚里士多德认为算学即为“量之科学”。欧几里得的《几何原本》问世后，几何学空前发展，绵延数世纪，数学界出现了“数学几何化”的发展倾向，数学为“量之科学”的观念得到进一步巩固与发展。公元4世纪以后，阿拉伯数字传入欧洲，促进了算术代数的发展；及至文艺复兴之后，算术计数取得了新的进展，方程根的解法、对数的发明等等使数学的计算之效能得到了充分的彰显，此时的数学，几何和算术并驾齐驱，显示出明显的“计量”之特征。18世纪以后，数学研究的两大重心是近世纯粹几何与方程函数，数值计算较少涉及，算学的界说由“计量”而变为“量关系”。

明代以前，我国的算学以《九章算术》为其总纲，以题为例，寓理于算，在高次方程解法、圆周率计算、勾股定理等方面均有领先于彼时他国的研究成果，但总体而言，算学仍是以筹算为鲜明特征的“算之科学”。明末以降，西学东传，传教士赴华传教的同时，也向中国译介了先进的西方数学知识，使已经日渐式微的中国传统算学受到了来自异质文化的挑战。据尚智丛的《传教士与西学东渐》记载，明末至民初近300年中，传教士及我国本土数学家所译重要数学书目有《几何原本》《测量法义》《测量异同》《勾股义》《同文算指》《圆容较义》《大测》《比例规解》《筹算》《测量全义》《测圆八线表》《方根表》《几何要法》《中西数学图说》《度算解》《几何体论》《泰西算要》《欧罗巴镜录》《三角算法》《比例对数表》《数学全书》《数学启蒙》《代微积拾级》《数理精蕴》等数十种之多，内容涵盖几何、代数、方程、微积分以及欧洲17世纪的最新成果——对数等。西方算学知识的传入，以及中国传统算学的衰落，使这一时期的算学具有明显的西化特征，“计”“量”“关系”并存。这一时期，算学传播的内容主要集中于算学各不同学科的知识本身，而其受众主体主要集中于官绅等上层民众。

2.算学之界说

20世纪之初，癸卯学制颁布，“经史之学”废除，从初等教育到高等教育均设置算学课程，现代数学教育制度雏形得具，中国现代数学真正开始起步。[4]:57胡明复是接受现代数学教育的先驱。1907年，胡明复入南京商业学堂，所学内容与商业有关，学习商业数学。学习期间，自习几何、三角、代数等科目备考。1910年，考取清华学堂，成为第二批庚款留美的学生，入美国康奈尔大学文理学院学习，主修数学一科。

“科学”一词于甲午前后由日本传入中国，1902年后开始广泛使用，意即分科之学，更多具有自然科学的意蕴。胡明复自幼接触自然科学知识，科学的概念在其意识中已初步建立。经过康奈尔大学与哈佛大学正规、系统的自然科学训练，他对科学的理解之阐释也颇为明晰：“科学者，研究宇宙中事物间种种关联(不限于数量之关系)之学。”[8]

胡明复将科学视为研究宇宙中事物间种种关联的学问，更加注重的是对事物间关系的考量。他在康奈尔大学主修数学，1914年赴哈佛大学攻读博士学位时，师从博歇与奥斯古德(William Fogg Osgood)，专攻积分方程论。1915年，他在《科学》第3期、第5期分两期发表《近世纯粹几何学》，介绍纯粹几何学的发展历史、研究对象、基本定理等知识。方程论与纯粹几何学均是研究数学对象间关系的学问。因此我们就不难理解他对算学的如下定义：“算学者，代表宇宙中事物间种种关联之简捷文言也。[注]参观德文自然科学期报(Annalen der Naturphilosophise)1902年份期中奥斯伐尔得(W.Ostwald)氏原稿。算学实为研究自然现象中种种数量之关联之学；而数学各分门，无非自各方面研究此同一关联而已”。[8]

胡明复对算学的这一认识，颇受其导师博歇之影响。博歇是在线性微分方程、高等代数和函数理论方面有重要贡献的数学家。他对数学之界说，也曾有过如下表述：“倘若我们有某一群的事件同著某一群的关系，而我们所要研究的问题，又单只是这些事件是否适合于这些关系，这种研究便称为数学”。[9]

博歇也认为“关系”是算学界说之关键，与胡明复的算学界说如出一辙。因此，在他们看来，研究关联之学的算学无疑属于科学之一门。

3.算学之方法

如前文述，科学是研究宇宙间事物之关联的学问。但是，这句话反过来，即研究宇宙间事物之关联的学问都是科学，则不真确。胡明复认为，并不是宇宙间所有关联之学都是科学，区别科学与非科学的关键，抑或说科学的本质，是科学方法。“夫取材相同而科学与非科学乃判然两分，物质不类而反同列为科学，是何故矣？盖科学必有所以为科学之特性，然后能不以取材分。此特性为何？即在科学之方法”。[10]

胡明复的这一思想是其同时期学人对科学认识的一个缩影，是当时先进知识分子对科学之义的普遍认识。王星拱认为“凡是经科学方法研究出来的，都可以叫作科学；因为科学之所以为科学非以其资料之不同，正以其方法之特异。”[11]杨铨认为“科学之要素在其方法，科学知识不过用此方法所得之结论耳。”[12]任鸿隽认为“要之，科学之本质，不在物质而在方法。今之物质与数千年之物质无异也，而今有科学，而数千年前无科学，则方法之有无为之耳。”“是故历史、美术、文学、哲理、神学之属非科学也，而天文、物理、生理、心理之属为科学。今世普通之所谓科学，狭义之科学也。”[13]将科学方法视为科学本质的观念已经成为中国科学社共同体之共识。

归纳与演绎是理性思维中两种主要的思维方法，也是科学研究中不可或缺的科学方法。

在胡明复看来，演绎是“自一事或一理推及他事或他理”，是从某一前提出发，推导出结论的方法；而归纳则与演绎相反，是“先观察事变，审其同异，比较而审查之，分析而类别之，求其变之常，理之通，然后综合会通而成律，反以释明事变之真理。”[10]归纳与演绎的不同在于：演绎的依据是已知的事理，或者是一种假设，推得的结论是已知事理的变异或延伸；而归纳所依据的均是已知的事实，得到的结论是事实发展变化的规律。

演绎法遵从这样的规律：如果前提为真，推理正确，那么结论也为真。但是，演绎法并不能够判断与过问前提是否为真，因而并不能确保得到的结论为真。那么，如果前提为假，即使推理过程正确，得出的结论并不能确定为真。因此演绎法在科学推理的过程中有一定的局限性。而由于通过演绎法产生的结论基本上已蕴含于前提中，其实质上并不能使我们增长新的知识。因此，科学的方法是归纳而不是演绎，纯粹的演绎不能成为科学。

归纳法对于人类认识自然，对于推动科学之进步起着至关重要的作用，没有归纳法，我们今日之科学必将是另外一番景象。以牛顿力学为代表的近代科学产生以后，一些科学家和哲学家甚至强调：作为科学理论之基本命题的一般原理和定律的知识，都必须通过归纳方法得到。[14]

尽管胡明复认识到了归纳法中无法全部验证的局限性，认为科学的方法应该是兼有归纳和演绎二者，但是他仍然将归纳法视为科学之为科学的重要因素。“然余所欲特别著重者，为其归纳之性。不有此性，科学已失其为科学，遑願其他，此所以科学之发达不在中古以前而在文化再兴以后也”。[10]

算学是研究事物间关联的学问。换言之，算学不研究事物之本性，不研究事物之内容；而仅仅研究事物之外的侧面，仅仅研究一个对象对其他对象之外的关系，已脱离经验而进入纯粹抽象之域。这一点，是数学的特殊性质。算学方法以演绎为重。算学演绎，是由已知之特例推出未知之通例，不需要凭借实验的验证即可得出新的内容。

算学所具有的抽象及演绎这两种特性，明显与当时科学本质所强调的科学方法不符。因此，在算学学科能否归于自然科学这一认识上，存在不同于胡明复的声音。其实，算学的对象，都有其起源于经验的痕迹；数学以非常实在的内容为对象，而这种实在的内容表现为极端抽象的形态；人们在对事物抽象的过程中，每每忽视了抽象事物之起源。于是，数学的抽象性，便被引导到极端的地步去了。另一方面，演绎法并不是算学唯一的方法，算学之发达在于汇集了科学中各种之方法而施之于实用。算学的发展必须是先发明了新关系、新定理、新问题，而后始可以用推论的演绎，严格的论理学，去完成它的新骨架，使它成为永久的不可磨灭的学问。因此，算学仍然是科学之一门。诚如胡明复所言：“其实算学中之定律，不得谓尽属意造，证之世界进化史，先有数目而后有数学，先有空间而后有几何学，则数学与几何学盖亦归纳之结果也。至于大多数高深之算学，虽其源起皆由于人之意造，然人之意想终不出宇宙原则支配之范围，人必不能离开宇宙而自创一种关联。且观其应用于各他科学符合之迹，不能谓其与宇宙事物绝对无关系也”。[8]

4.算学之价值

在胡明复看来，科学定律是事物变化的普遍规律，即其谓“事变之通则”。“科学观察事变，辨其同远，比较而审查之，分析而类别之，得其事之常、理之通，然后综合会通成律例；此科学律例之由来也。”[15]科学定律的发现是一种人类的认识活动，是人类感觉印象的体现。事物发生变化，被人类的五官所察觉，通过神经传入大脑，之后形成感觉，这是人类认识事物的过程。从事物发生变化，到我们产生感觉印象，中间经过了多重媒介，这些媒介的作用是将外界的变化在人脑中有相应的反应，使我们产生相应的感觉印象，所以，我们所谈到的事物变化是对它的感觉印象，并不是真正的事物变化。那么求“事变之通则”的科学定律也是人类对外界事物变化通则即自然规律的感觉印象，并不是自然规律本身的真理。“诚如此言，则科学之律例殆非真正之事理，盖吾人意象中之真正事理也。”[15]科学定律与真理的关系也是一种感觉与实在的对应关系。“科学律例与外界真理之关系，亦为内外事理之互相对应而已。”[15]

科学定律的特性是“无次不验”，但是受自身感官与认识的制约，人类既不能对定律以无限次的检验，也受限于认识水平而不能对定律以完全真确的检验。人类认识世界手段与媒介不断进步，科学规律也呈现逐步趋向完备的发展轨迹。科学定律在今日为真，在有新发现的明日，有可能就变得“残缺不全”了；人类再将“残缺不全”的定律作为假设来接受新发现事实的检验，进而再完善旧有之定律。

科学定律不能离开人而存在，“与其谓自然予人以律例，毋宁谓人与自然以律例矣”。[15]。人类通过适当的方式将反映于人脑“影象”的事变通则进行阐释，进而形成科学定律。算学是科学定律阐释的重要工具，事变之关联中，含有数、量关系的，均可用算式来表示。定律之推演即为算式之推演，由此算式求得的新算式，必代表一个新事实新定律，也即算理即事理。如胡明复所言，算式与定律是一而二，二而一的。

算学也是科学定律检验与逐步完善的有力工具。人类由观察导出事变之通则，并用算式表示该通则，即为定律。若定律为真，则算式为真，若定律为假，则算式为假。反之，则若定律为假，则算式为假，而由此算式经由算理导出的新算式必然也是不真确的，由此导出的新算式并不能够代表真正的新事实。这样一来，算学就兼具了检验科学定律的功效。从原初代表科学定律的算式推导得出新的算式，若与事实相符，则定律为真；若与事实不相符，则表示定律本身存在谬误，或者是代表定律的算式存在缺憾，而后通过对定律或算式重新检视，使定律日臻完善。

由是观之，算学对于科学定律有极为重要的价值。“统上观之，则算学之为用，不特可以算式代定理，以算理代事理，以算法求新事实；并可自算式与事实之适合与否，定定律之真确与否。夫科学之能发达，首在定律之真能代表事物之真正关联，次在自定律能得许多新事实或新定律，而后求所以利用之。然则算学之有功于科学者，岂不大哉”。[8]

三 结语

胡明复曾谦称自己为科学事业的“开路小工”，但他关于算学的哲学审视在民国学界无疑是具有开创性的。算学界说以“关系”为要，算学方法以演绎与归纳并重，算学对象与实在世界之关联，算学对科学定律检验之功效等等这些观点是20世纪初数学思想之前沿，经由《科学》杂志在民国社会广为传播，影响至深至远。胡明复的算学思想与其科学思想有明显关联，两者相互呼应，一脉相承。爬梳胡明复算学思想之源起，可以发现，除受其导师博歇影响之外，他的科学与算学思想受到当时科学界批判学派的深刻影响,许多观点来源于奥斯特瓦尔得(W.Ostwald)、庞加莱(Poincaré)以及皮尔逊(Pearson)。[16]