史 珂，马社祥，孟 鑫

（天津理工大学 a.电气电子工程学院；b.海运学院，天津 300384）

2013年，为了解决AIS数据链路拥堵问题［1］，国际海上助航与灯塔联合会（IALA）首次提出了VDES（VHF data exchange system，VDES）的概念。VDES是由船舶自动识别系统（automatic identification system，AIS）、应用特定消息（application specific messages，ASM）以及甚高频数据交换（VHF data exchange，VDE）所组成的集成系统，其中VDE分为VDE地面（船和船，船和岸台）和VDE卫星上下行链路。VDES可以提供相比AIS更高速和更大容量的数据交换，并且可以在全球范围内通用。在VDES系统中，一般采用的低轨道卫星高度在600～1 000 km，运行速度为7.5 km／s，VDES信号的最大多普勒频偏约为±4 kHz。频偏值的存在将直接影响接收机解码的正确性，为了减小信号频移造成的影响，提出对接收信号进行频偏估计与校正，从而确保信息的准确传输［2］。2015年10月，国际电信联盟无线电通信第5研究组建议VDES采用ITU-RM.2092-0［3］：在VDE-SAT下行链路中，可采用QPSK调制，其传输速率为9.6 kbit／s。

Rife算法是Rife等利用DFT最大和次大两根谱线幅度，插值计算后得到频偏估计值［4］。Rife算法公式简单易于实现，但存在较大缺点：算法为有偏估计，且在噪声影响下，当信号频偏接近DFT量化频点时，频偏相对偏差较小，可能会出现插值方向相反的情况，从而造成估计性能急剧恶化。Quinn算法中，Quinn同样利用最大和次大幅度的两根DFT谱线，但其插值公式利用的是两根谱线的相位信息，算法在相对偏差较小时也不会出现插值方向错误问题，可避免频偏估计性能在某些点急剧恶化，但此方法计算量略大［5］。邓振淼等［6］提出改进后的Rife算法，可解决Rife算法估计性能急剧恶化的问题，但代价是算法的运算量和时延剧增，且需要较长的数据长度。刘渝［7］提出一种综合利用DFT相位和插值估计信号频偏的算法，该算法估计精度较高且复杂度低，但存在相位模糊问题。为解决该问题，齐国清等提出了利用DFT最大谱线相位差的频偏估计算法，该方法通过计算两段DFT谱线峰值处的相位差完成频率估计，消除了相位模糊，与插值算法相比，该算法仅对其一半长度的信号做DFT运算。但在噪声影响下，该算法有两个缺点：一是当输入信号频偏发生变化时，用来估计频偏的DFT谱线可能会逐渐偏离实际信号频偏点，导致最大谱线位置发生误判使得频偏估计性能变差；二是该算法在低信噪比下对频偏相对偏差非常敏感，而DFT最大谱线对应的频偏值与实际频偏的偏差是不可控因素，导致算法的频偏估计性能不稳定［8］。叶展等针对第1个缺点做出了改进，通过对分段后的信号引入一定频偏，避免两段信号同时出现DFT最大谱线的误判［9］。

本文针对DFT相位差算法的第2个缺点进行改进，在计算相位差之前，首先对频偏相对偏差进行预估计，预估计时使Rife算法和Quinn算法相结合，综合两种插值算法的优点后得到偏差估计值，然后补偿进信号中消除频偏相对偏差的影响，最后可获得稳定且精确的频偏估计值。理论分析和计算机仿真结果表明，本文算法对相对偏差不敏感，频偏估计性能稳定，且算法信噪比阈值较低，估计精度接近克拉美罗界。

1 信号模型

VDE-SAT下行链路中信号的调制方式为QPSK调制，链路中存在大范围的时延和频偏。本文重点讨论频偏估计问题，故假设在接收端进行载波同步处理前，接收信号已经完成了定时同步［10-12］，并且经过系统均衡［13-14］，均衡后的信号近似符合加性高斯白噪声条件，码间干扰可忽略。为精确分析噪声对信号的影响，下文将信号在有噪声和无噪声环境的表达式分别表示出来。假设信号不受噪声影响，接收信号可以表示为

对于接收信号x（t），采用数据辅助下的频偏估计方法：利用特征码元（接收端已知）构建再调制信号，将再调制信号取共轭后与接收信号相乘，可得：

式中：z（t）为无噪声条件下去调制后的信号；*表示取共轭运算。

信道引入加性高斯白噪声后，接收信号可以表示为

u（t）为独立同分布的零均值复噪声信号，方差为σ2。

在高信噪比时，信号可近似为［15］

去调制后为r（t），r（t）为加性高斯白噪声信道条件下去调制后的信号。

2 DFT相位差分法

2.1 假设信号不受噪声影响

对z（t）进行采样，信号持续时间为T，采样点为N，采样后为

将z（n）分成前后两个等长的序列z1（n）和z2（n），表达式为

分别对两序列做N／2点DFT得：

其中Ak和φk分别为Z1（k）的幅度项和相位项，表达式分别为：

由式（9）可知，Z1（k）和Z2（k）的幅度Ak完全相同，Ak最大值处对应的离散频率点记为k0，可知k0＝［fd T／2］（［·］表示取整），此时可得频偏粗估计值为

其中Δf＝2／T为DFT的频率分辨率。

φ1和φ2分别为Z1（k）和Z2（k）在最大幅度谱线处的相位，定义二者的差值Δφ为

则有：

由式（12）得

则最后的频偏估计值为

2.2 噪声对频偏估计的影响分析

上文中，在高斯白噪声条件下对接收信号去调制后得：

为分析噪声对频偏估计精度的影响，将式（16）还原成：

其中，u（t）为复高斯白噪声，均值为0，方差为其前N／2点采样序列为

此时对r1（n）作N／2点DFT，其中采样后白噪声序列u1（n）的DFT变换可以视作若干随机变量的线性组合，其每项DFT系数仍为随机变量，所以u1（n）的DFT变换仍可看做随机序列。定义u1（n）的N／2点DFT变换为

其中b和φu分别为U1（k）的幅度项和相位项，二者均为随机变量。且U1（k）的均值E［bexp（jφu）］为0，方差Var［bexp（jφu）］为Nσ2u／2。

r1（n）的N／2点DFT为

由式（20）可得R1（k）的幅度项和相位项分别为：

在较大的DFT输出信噪比下，在幅度峰值点k0处的φR（k）可近似表示为

由

可得

当N足够大时，由式（9）可知幅度峰值Ak0可近似为

其中sinc（x）＝sin（πx）／（πx），δ＝k0-fd T／2，表示相对频率偏差。

将式（26）代入式（25）可得

由式（14）可知fδ估计的方差为

由于DFT输出信噪比一般较大，此时DFT幅度峰值谱线位置k0估计错误造成的误差可以忽略，fd的估计误差主要取决于fδ的估计误差，则：

对DFT相位差分法进行仿真分析，设置信号持续时间T＝0.005 s，频率分辨率为2／T＝400 Hz，码元周期Tb为1／4 800 s，采样后的样点数为N＝128个，设置频偏为fd＝9.5Δf＝3 800 Hz。对频偏采用500次重复Monte Carlo模拟，频偏估计的性能采用归一化均方误差（MSE）来衡量。由式（29）可得：信号频偏与相对偏差δ密切相关，当信号频偏正好位于幅值最大谱线上时，δ为0，此时估计误差最小；当信号频偏位于两条离散谱线中间时，δ为±0.5，此时估计误差最大。使信噪比SNR为2 dB，δ取值为（-0.5，0.5），图1为不同δ取值下的估计误差曲线，频偏估计的性能采用归一化均方误差（MSE）来衡量：

其中P为Monte Carlo循环次数。

图1 不同δ取值下的估计误差曲线

在实际应用中，DFT最大谱线对应的频偏值与实际频偏的偏差δ是不可控因素，其取值在（-0.5，0.5）范围是随机的。为降低δ的不确定性对频偏估计性能的影响，需要对DFT相位差分算法做出改进。

3 改进的频偏估计算法

3.1 对偏差δ的预估计

要消除δ对频偏估计的影响，考虑利用插值算法对相对偏差δ进行预估计。Rife算法提出利用信号频谱的最大和次大幅度的两根谱线估计相对偏差δ0［4］，从而推算出频偏估计值，其偏差δ0估计公式为

当Ak0＋1＜Ak0-1时，r＝-1；当Ak0＋1＞Ak0-1时，r＝1。该算法的优点在于插值公式简单，易于计算，但在噪声影响下，当较小时，可能会出现插值方向相反的情况，从而造成较大的频偏估计误差。

其中：Re（·）为取复数实部运算，R（k）为式（20）的R1（k）。分别计算若δ1与δ2都大于0，则δ0＝δ1；否则δ0＝δ2。与Rife算法相比，Quinn算法在较小时不会出现插值方向错误问题，可避免较小时估计误差增大，但此方法计算量略大。

综上，可设定δ的门限值为δR，当δ≤δR时，使用Quinn算法预估δ0；当δ＞δR时，使用Rife算法预估δ0。由上文分析可知，门限δR的取值与信噪比和δ值密切相关。图2为不同信噪比下的Rife算法与Quinn算法的估计性能对比曲线，估计性能采用δ的归一化均方误差（MSE）来衡量。

其中P为Monte Carlo循环次数。由图2可知：随着信噪比增大，两种算法的估计性能曲线越来越相似，门限δR的取值也越来越小，说明在信噪比较大时不需要设置门限。

VDES接收信号的信噪比一般为0～20 dB，设置门限值时主要考虑0 dB时的误差。由图2可知，在信噪比为0 dB时两曲线交点在0.2～0.3范围，设置门限值δR∈（0.2，0.3），SNR＝0 dB，图3为不同门限值下的估计性能对比。

图2 不同信噪比下的Rife算法与Quinn算法的估计性能对比

图3 不同门限值下的估计性能对比

由图3可知，信噪比为0 dB时，算法的估计性能在门限范围δR∈（0.2，0.3）内相差很小。在VDES信号频偏估计中，为了保证δ0预估计的正确性，且使计算量适当，可将门限值设置为0.2。

3.2 基于插值DFT相位差的频偏估计算法步骤

改进后算法的流程如图4所示，可具体描述如下：

步骤1将r（n）分成前后两个等长的序列r1（n）和r2（n），分别对两序列做N／2点DFT，设置门限值δR。

步骤2利用Rife算法计算δ0，若δ0≤δR，继续步骤3，否则继续步骤4。

步骤3利用Quinn算法计算δ0。

步骤4将r1（n）和r2（n）频移δ0个量化单位后，利用频谱细化［16-17］方法分别计算R1（k0＋δ0）和R2（k0＋δ0）。

步骤5分别计算R1（k0＋δ0）和R2（k0＋δ0）的相位，得到二者相位差Δφ。

步骤6频偏估计值为

综上，对相对偏差δ进行预估计后，δ的取值不会对频偏估计性能产生影响，即改进后的算法对DFT幅值最大谱线对应的频偏值与实际频偏的偏差并不敏感，由此提高了算法的稳定性和精确度。

图4 基于插值DFT相位差的频偏估计算法流程

4 改进算法的仿真分析

将门限值δR设置为0.2，信噪比SNR 为2 dB，δ取值范围为（-0.5，0.5），采用500次重复Monte Carlo模拟，将改进后算法与原DFT差分算法及其频偏估计的克拉美罗界（CRLB）进行对比，仿真结果如图5所示。由图5可看出：与原算法相比，改进后的DFT插值相位差分算法的频偏估计性能受δ影响不大，在δ取值范围内估计误差基本保持稳定，且接近克拉美罗界。

图5 不同δ取值下的频偏估计性能对比

为进一步验证本算法改进后的性能，在频偏分别为f1＝9.5Δf＝3 800 Hz（δ＝0.5）和f2＝9.1Δf＝3 640 Hz（δ＝0.1）时，对本文算法和原DFT算法在不同信噪比下的频偏估计性能进行仿真，其结果如图6所示。4条曲线依次为原算法与本文算法分别在δ为0.5和0.1时的频偏估计性能曲线，使其与算法的克拉美罗界（CRLB）相对比。由图6可以看出：在低信噪比下，受噪声影响两种算法的频偏估计性能都高于CRLB。对比原算法在δ为0.5和0.1时曲线可知该算法受到δ取值影响较大，δ为0.5时的频偏估计性能明显与δ为0.1时相差较大；而改进后的算法对δ并不敏感，两种δ取值下的频偏估计性能相似，并且在较大信噪比下的仿真结果非常接近CRLB。

图6 两算法的频偏估计性能对比

由式（29）可知，频偏估计性能与DFT点数N密切相关，在频偏为fd＝3 800 Hz，N分别为64、128、256、512的情况下对本文改进算法的频偏估计性能进行仿真，结果如图7所示。可看出DFT点数N越大，频偏估计性能越好，但DFT点数的增加也伴随着计算量的增加，在实际应用中，应综合考虑所需的精确度与计算的复杂度来选取N值。

图7 不同N取值下的频偏估计性能对比

5 结束语

本文主要针对基于插值DFT相位差的VDES信号的频偏估计算法进行研究。首先推导验证了DFT相位差算法中噪声对估计精度的影响，发现在低信噪比下算法估计性能对频偏相对偏差δ非常敏感，然后针对该缺点综合利用两种插值方式对δ进行预估计，将估计值δ补偿入信号后再计算相位差，最后得到频偏估计值。与原DFT算法相比，本文算法不受频偏相对偏差δ影响，算法的估计性能稳定，可适用于各种频偏，且估计精度接近CRLB，说明用于VDES系统是可行的。