杨志巧,羿旭明

(武汉大学数学与统计学院,湖北武汉 430072)

1 引言

在现代图像处理问题中,图像分割是恢复目标图像形状[1]、检测与识别目标对象[2]、跟踪运动目标[3]的关键技术,也是图像分析和图像理解的基础.自20世纪70年代以来,图像分割一直备受研究者的关注,并在医学、工业、军事等领域得到了广泛的应用[4−7].

近年来,关于图像分割的研究层出不穷,水平集图像分割法[8−10]凭借其效率高和稳定性强等优势得到了迅猛发展.其中基于Mumford-Shah模型[11]水平集方法是20世纪80年代提出的一种非常优秀的图像分割算法.随后,Chan和Vese以简化的Mumford-Shah模型和变分法为基础于在2001年提出了分段恒定两相图像分割的变分水平集(C-V)模型[12].设定义域为Ω的灰度图像I(x,y)被水平集函数φ(x,y)的零水平集Γ划分成互不相交的两个区域R1={(x,y)|φ(x,y)>0,(x,y)∈Ω}和R2={(x,y)|φ(x,y)<0,(x,y)∈Ω},其中R1为目标区域,平均灰度为c1,R2为背景区域,平均灰度为c2,Γ表示边界,即Ω=R1∪R2∪Γ且R1∩R2=∅.C-V模型即为下述能量泛函的极值问题

其中λ1,λ2和µ为正常数,表示各能量权重系数,

该模型对于灰度均匀的图像分割很有效,而且不受噪声影响[13],但是在分割灰度不均匀的图像时得不到满意的分割效果,其次该模型在每次迭代时都要检验水平集函数是否为符号距离函数,计算量大[14],不利于实现.Li等[15,16]于2007年在C-V模型的基础上建立了局部二值拟合(LBF)模型,能较好的解决灰度不均匀图像的分割问题,但是该模型中没有考虑图像的边缘信息,从而边缘控制能力较弱,不利于分割一些弱边缘或边缘模糊的图像[17].文献[18]中提出利用小波变换对图像进行去噪以突出图像中的真实边缘,基于此,本文针对弱边缘图像的分割问题提出了利用小波变换的分解系数构造出边缘刻画函数的方法,将其引入到模型的能量泛函中使得水平集函数在演化过程中能更迅速的捕捉到图像的边缘.

2 LBF模型

LBF模型是通过引入核函数Kσ(x,y)[19]来寻找最优的轮廓曲线C,使曲线内部区域Inside(C)和外部区域Outside(C)的图像灰度拟合函数分别为f1(x,y)和f2(x,y).将曲线C作为零水平集φ(x,y)=0,内部区域和外部区域分别对应{(x,y)|φ(x,y)>0,(x,y)∈Ω}和{(x,y)|φ(x,y)<0,(x,y)∈Ω}.为保证水平集函数φ(x,y)在迭代一定次数后仍然可以保持其光滑性,增加能量惩罚项

水平集函数φ(x,y)的长度可以表示为

于是可得到如下完整的泛函极值问题

其中∗代表卷积运算,λ1,λ2,µ和ν均为正常数,表示各能量的权重系数,核函数Kσ(x,y)定义为

3 基于小波变换的LBF模型

3.1 WLBF模型

图像分割在很大程度上取决于图像目标边缘的刻画,若图像的真实边缘得到增强,则更有利于图像的分割.设原始灰度图像I(x,y)经过二维小波分解后分别得到低频分解系数ILL、水平高频分解系数IHL、垂直高频分解系数ILH和对角高频分解系数IHH,将4组分解系数向上重复采样得到与原图像大小相同的稀疏矩阵,为了表示方便,仍分别记为ILL(x,y),IHL(x,y),ILH(x,y),IHH(x,y),分别代表图像的低频信息,以及在水平、垂直和对角方向上的高频信息.梯度方向是函数变化最快的方向,在图像处理中常用来刻画图像的边缘.为了突出图像的边缘信息,本文定义了如下基于小波分解系数的边缘信息刻画函数g(x,y):

其中

将此刻画函数g(x,y)引入到LBF模型的能量泛函中,得到基于小波变换的LBF模型(简记为WLBF模型),此时图像的分割问题转化为如下能量泛函的极值问题:

为了求解上述问题,分别针对φ,f1,f2最小化,先固定f1和f2,可以得到能量泛函E(φ,f1,f2)关于φ的梯度为

其中

δ(φ)=H0(φ).由梯度下降流理论[20],令,即得水平集函数的演化控制方程为

其演化的初始条件定义为

类似地,针对f1(x,y)和f2(x,y)最小化,可以得到如下形式的更新公式

3.2 数值计算格式

水平集函数的演化过程由上述演化方程来刻画,为了数值求解演化方程,本文利用偏微分方程的差分解法.假设平面网格步长和时间步长分别为h和∆t,经过n步演化,水平集函数φ(x,y)在离散点(i,j)处的值用表示,在时间和平面上采用如下中心差分格式进行离散化,即

且

在第n步演化中,水平集函数φ(x,y)用φ(n)(x,y)来表示,则

于是

此时,演化方程的离散化形式为

3.3 求解算法

根据上述分析,其改进模型的求解算法步骤如下

步骤1设置初始化参数:给定数据项系数λ1,λ2,正则项系数µ,惩罚项系数ν,网格间隔步长h,时间步长∆t,权重系数w,核函数参数σ,迭代次数n;

步骤2初始化水平集函数φ(x,y),并根据函数的演化公式f1(x,y),f2(x,y),初始化f1(x,y),f2(x,y);

步骤3将图像进行小波分解,并构造边缘信息刻画函数g(x,y);

步骤4根据曲线演化方程描述的形式,计算水平集函数φ的演化方程式,即

步骤5从水平集函数中提取出迭代n次后的零水平集函数围成的闭合曲线;

步骤6判断此时的分割效果是否满意,如果满意,则输出分割结果,并终止迭代;如果不满意,则转到步骤4,继续下一次迭代,直到分割结果令人满意为止.

4 图像分割实验

在对本文的方法进行实验以前,本文先对LBF模型进行实验,实验中采用Heaviside函数

其中正则化参数ε=1,能量泛函中各参数分别为µ=0.001×2552,ν=1,空间步长h=1,时间步长∆t=0.1s,核函数参数σ=3,λ1=λ2=1.实验中选取了4张典型的灰度图像,包含灰度均匀和灰度不均匀的两种图像,迭代次数分别设置为10、50以及500,演化过程及分割结果分别如图1所示.

观察上述使用LBF模型对图像进行分割的结果,该模型对于灰度较为均匀的图像分割结果比较理想,但是对多孔图像和灰度不均匀图像,分割效果如图1中下面两幅结果所示,其结果并不令人满意.

接下来对本文中提出的WLBF模型进行实验,实验中本文选取db3小波对图像进行分解,边缘刻画函数的权重参数分别取0,0.5以及1进行实验,其余参数选取和使用LBF模型进行实验时的参数一样,实验结果如图2所示.

观察上述3种权重系数下的分割效果,发现w=0.5时的分割效果比另两种情况更好,故在本文实验中选取权重参数w=0.5进行实验,并将WLBF模型的分割效果和原LBF模型的分割效果进行了对比,各图像的分割效果如图3所示.

观察上述分割效果可知,本文WLBF模型的分割方法取得了较好的分割效果,从简单的图像到多孔图像、医学图像、不规则图像以及背景较为复杂的图像,WLBF模型均能获得较好的分割效果,和LBF模型进行对比,其迭代次数和演化时间如表1所示.

图1:基于LBF模型分割效果图(第一列为待分割图像,第二列为迭代10次的结果,第三列为迭代50次的分割结果,第四列为迭代500次的分割结果)

图2:第一张为待分割图像,第二张为w=0时分割结果,第三张为w=0.5时分割结果,第四张为w=1时分割结果

表1:LBF模型和本文WLBF模型迭代次数与演化时间对比

图3:图像分割图(第一列为待分割图像,第二列为LBF模型分割结果,第三列为本文WLBF模型分割结果)

从表1可以看出,在使用原LBF模型进行分割时,部分图像迭代500次还未达到理想的分割效果,而使用本文提出的WLBF模型时,迭代20次就可以取得满意的效果.在曲线的演化时间方面各种图像均有不同程度的减少,其中图1、图4和图5的演化时间减少了50%以上,平均演化时间减少了41.17%.

为了进一步检验本文WLBF模型对复杂图像例如遥感图像以及含噪图像分割的可行性,本文进行了分割实验.分别如图4所示.观察上述两张遥感图像的分割效果,可以发现图像中的房屋、河流和公路和草坪等都可以较准确的被分割出来,迭代次数均仅为30次,其中第一张图和第二张图的演化时间分别为112.68s和91.97s.

图4:图像分割图(第一张和第三张为待分割图像,第二张和第四张为迭代30次的分割效果)

另外对有噪声图像的分割,图像选择的是空中飞行的飞机,有云、雾等噪声的干扰,由于图像分割难度较大,当迭代次数较少时,会导致许多非目标物体被标记出来,如图5中第二张和第三张所示.使用WLBF模型,虽然较前面数值算例的迭代次数有所增加,但经过80次迭代,仍能得到较为理想的分割结果,如图5中第四张图片所示.

图5:含噪图像分割图(第一张为待分割图像,第二张为迭代20次的分割结果,第三张为迭代50次的分割结果,第四为张迭代80次的分割结果)

5 结语

本文提出了一种基于小波变换的水平集图像分割模型和算法,从实验效果以及分割效率两方面考虑,本文所提WLBF模型较LBF模型均有不同程度的改善和提高,而且本文所给模型和算法对噪声的干扰也显示模型和算法的鲁棒性.