王纯

摘要：针对突发公共卫生事件之后的应急物流系统，以总成本最小为目标建立了不确定机会约束模型。考虑到实际情况，假设应急物资必须在需求点的限制期内到达以及车辆与候选配送中心的容量是有限的，并且认为需求点的需求量是不确定的，但是两节点的运输时间是确定的。同时为了节约成本，还假设车辆在完成配送任务后就近停靠在已开设的配送中心。进一步，应用遗传算法对该模型进行求解，最终给出算例来说明模型以及算法的可用性。

Abstract： For the emergency logistics system after public health emergency， an uncertain opportunity constraint model is established with the goal of minimum total cost. Considering the actual situation， it is assumed that the emergency supplies must arrive before the restriction period of the demand point and the capacity of the vehicle and the candidate distribution center is limited， and the material demand of the demand point is considered to be uncertain， but the transportation time of the two nodes is determined. At the same time， in order to save costs， it is also assumed that the vehicle will stop at the already opened distribution center after completing its own distribution task. Furthermore， the genetic algorithm is applied to solve the model， and an example is given to prove the validity of the model and the algorithm.

关键词：突发公共卫生事件;应急物流;定位-路径问题;不确定变量;优化建模

Key words： public health emergency;emergency logistics;locating-routing problem;uncertain variable;optimization modeling

中圖分类号：F252                                           文献标识码：A                                  文章编号：1006-4311（2019）36-0154-04

0  引言

公共卫生事件的频频发生对人民的生命财产安全造成了严重的威胁。例如2003年SARS病毒、2004年劣质奶粉事件以及2005年的禽流感等等。据统计，2003年SARS病毒给我国造成了高达176亿美元的经济损失。突发公共卫生事件不仅会造成巨大的经济损失，而且还会引发公众的恐惧、焦虑等情绪，这种情绪将会对公众的心理产生严重的危害，进而将产生严重的政治以及社会影响。在突发公共卫生事件后的应急物流系统中有两个关键问题需要得到及时地解决：第一个是应急设施如何定位，即应急设施定位-分配问题（Location-allocation Problem，LAP）;第二个是应急救援车辆路径如何规划，即车辆路径问题（Vehicle Routing Problem，VRP）。这两个问题是相互影响的，需要对其进行集成优化，即研究突发公共卫生事件后应急物流系统中的定位-路径问题（Location-routing Problem，LRP）。因此，国内外学者开始从不同的角度研究应急物流系统的LRP问题。

在经典规划中，Yi和？魻zdamarb[1]协调优化了应急物资配送和伤员运送救治问题，建立了混合整数物资网络流模型。其中，每辆配送车辆被当成一个整体货物来看待，是整数变量，而不是0-1变量。Ahmadi等[2]以总时间最短和总费用最小为目标建立了混合非线性应急LRP优化模型。楼振凯[3]以应急物流系统总时间最小为上层目标，配送成本和时间惩罚成本之和最小为下层目标，建立了双层应急LRP优化模型。

在随机规划中，Laporte等[4]建立了两阶段应急LRP优化模型，第一阶段在不知道实际供应的情况下确定仓库位置、车队规模以及计划路线，第二阶段在供给量已知条件下修订车辆路径。代颖和马祖军[5]假设应急物资需求和救援车辆运输时间都是随机的，基于机会约束规划方法，以系统总成本最小为目标建立了带时间窗的应急LRP优化模型。孙华丽等[6]以总救援时间最短和系统总成本最小为目标，建立了应急LRP优化模型。

在应用概率论时，通常假设估计的累计概率分布与频率足够接近。若要得到累计概率分布函数，这意味着需要进行多次独立重复性实验来获得大量的观测数据。但是由于技术和经济等原因，无法获得样本，例如无法获得正在使用的桥梁的承重量。因此，在评估某件可能发生的事件的可能性时必须依赖专家给出的信度。但是，根据诺贝尔经济学奖得主Kahneman和Tversky[7]的观点，人们经常会高估不太可能发生的事件;Liu[8]也指出人类的估计值总是比真实值范围大得多，这意味着专家信度与真实的频率存在着很大的差距。在这种情况下，如果我们采用概率论处理的话，可能会出现违反人类直觉的结果[9]。这就需要寻找一种新的数学工具来处理专家的信度。

为了处理专家的信度，Liu[10]在2007年基于规范性、对偶性、次可加性公理引入了不确定理论。到目前为止，不确定理论已经成为一个几乎完整的数学系统。有学者将不确定理论运用到了应急物流系统优化中，Zhang等[11]假设两节点之间的距离、受害点的需求量以及应急服务设施的建设成本均为不确定变量，利用机会约束建立了单目标不确定应急LRP优化模型，但是考虑是车辆闭环的情况，即车辆在完成自身配送任务之后必须回到出发的配送中心，从而解决了闭环应急LRP优化问题。

1  基础理论

定义1[10]  假设？祝是一个非空集合，A是？祝上的？滓-代数，则A中的元素？撰称为事件。如果M是从A到[0，1]的集函数，且M满足以下公理：

公理1. （规范性公理）对全集？祝，有M{？祝}=1;

公理2. （对偶性公理）对任意的事件？撰，有M{？撰}+M{？撰c}=1;

公理3. （次可加性公理）对A中任意可数的事件序列

公理4. （乘积公理）假设（？祝k，Ak，Mk）是不确定空间，其中k=1，2，…。若对Ak中任意的？撰k（k=1，2，…），有

M则称M为乘积不确定测度。

定义2[10]  假设函数？孜是从不确定空间（？祝，A，M）映射到实数集上的可测函数，即对任意的实数Borel集B，集合是一个事件，则称？孜是不确定变量。

定义3[10] 假设？孜是不确定变量，对任意的实数x，则称函数？椎（x）=M  {？孜？燮x}为？孜的不确定分布。

定义4[10]  若不确定分布？椎（x）是关于x的连续的严格单增函数，其中，且满足和，则称？椎（x）是正则的。若？椎（x）是？孜的正则不确定分布，则它的逆函数称为？孜的逆不确定

分布。

定义5[12]  对任意的实数Borel集B1，B2，…，Bn，若成立，则称不确定变量是？孜1，？孜2，…，？孜n相互独立的。

定义6[10]  假设？孜是不确定变量，则称为？孜的期望，其中以上两个积分至少有一个是有限的。

定理1[12] 假设？孜1，？孜2，…，？孜n是独立的不确定变量，f1，f2，…，fn是可测的实函数，则f1（？孜1），f2（？孜2），…，fn（？孜n）是独立的不确定变量。

定理2[10] 假设？孜1，？孜2，…，？孜n是不确定变量，f是可测的实函数，则是不确定变量。

定理3[10] 假设？孜1，？孜2，…，？孜n是独立的不确定变量，且分别对应有正则不确定分布。若关于？孜1，？孜2，…，？孜m嚴格单调递增，且关于严格单调递减，则不确定变量=的逆不确定分布为

2  模型构建

2.1 问题描述

当SARS病毒、禽流感等公共卫生事件发生的时候，必须在一定的时间内将救援物资送到医院，否则就会耽误治疗，错过最佳的治疗时机。由于疾病的蔓延性或者有未发现的感染者，需要治疗的人员数量是不能完全确定的，所以当突发公共卫生事件发生时的物资需求是不确定的，假设为不确定变量，并且假设任意两个应急物资需求点的需求量是独立的。但是在突发公共卫生事件不会造成道路的破坏，所以两节点之间的运输时间是确定的。抽象出LRP问题：假设有一组有容量限制的候选应急物流配送中心;还有一组应急物资需求点，每个需求点的需求量是不确定的，假设为一个不确定变量，并且假设任意两个应急物资需求点的需求量是独立的。每个物资需求点都有一个限制期，要求应急物资必须在需求点的限制期之前到达;另外还有若干辆不同型号且均有容量限制的车辆，车辆在两节点之间的运输时间是确定的，并且车辆在完成自身的配送任务后，就近停靠在已开放的配送中心。

2.2 模型建立

式（1）是模型的总成本最小的目标，其中总成本包括配送中心的建设成本、车辆的固定成本以及车辆随运输距离得增加而增加的运输成本;式（2）表示车辆的容量约束;式（3）表示配送中心的容量约束;式（4）为Tbk的表达式;式（5）表示两个配送中心之间没有直接路径相连;式（6）表示集合D中的每一个需求点有且只有一辆车为其服务;式（7）表示开设的配送中心必须发车;式（8）表示未开设的配送中心不能发车;式（9）表示未开设的配送中心没有车辆到达;式（10）表示需求点的限制期要求;式（11）表示车辆只分配给已开设的配送中心;式（12）表示每辆车在完成相应的配送任务后，必须选择一个配送中心停靠。

式（2）等价于

式（3）等价于

3  算法设计与算例求解

3.1 算法设计

3.1.1 染色体编码

在本问题中，根据解的特点，我们采用的是自然数编码。每条染色体由三个子串构成，子串一有n个基因位，每个基因位的值均从1-K的自然数中随机选取，表示D中的需求点对应的配送车辆。子串二的长度为n，每个基因位的取值在1-n的自然数随机排列生成，表示路线当中的需求点排列的顺序。子串三的长度为m，每个基因位的取值在n+1-n+m的自然数中随机生成表示每辆车被分配到的配送中心的标号。

3.1.2 约束条件处理

本文利用罚函数的思想来对约束进行处理。对于车辆容量约束式（14），令，则车辆容量约束式（16）等价于，所以在目标函数中加入一项：，其中N1是个很大的数。同理，对于配送中心容量约束式（15），在目标函数中加入一项：，其中N2是个很大的数。再同理，对于需求点的限制期约束式（10），在目标函数中加入一项：，其中N3是个很大的数。

3.1.3 适应度函数

此时，目标函数为

由于目标函数为，所以适应度函数取，从而使得目标值越小的染色体具有越大的适应度。

3.2 算例分析

假設有10个需求点，编号为1-10;有3个配送中心，编号为11-13;有3辆不同型号的车。配送中心的参数如表1所示，各需求点的需求量服从如表2所示的线性不确定分布，配送车辆的参数如表3所示，各节点之间的运输时间服从如表4所示。

本文使用MATLAB软件编程，设置迭代次数为300代，初始种群为40，交叉概率Pc=0.8，变异概率Pm=0.1，预设的置信水平？茁1=？茁2=0.95。程序运行了50次，均是选择配送中心11、12和13，得到的最优成本为25135元。得到的选址-路径结果如表5所示，对应的目标值随迭代次数的收敛图如图1所示。

从表5可得，从候选配送中心中选择了11、12和13，有3辆车参与运输，车辆3属于配送中心11，车辆1属于配送中心12，车辆2属于配送中心13。同时得出每辆车服务需求点的顺序，3条配送路径分别为：车辆1为12-7-6-10-13;车辆2为13-1-2-4-13;车辆3为11-5-8-3-9-11。

从目标值的收敛图（图1）也可以看出，目标收敛很快，在50多代即可求得最优解，能满足模型的求解要求。此时，改变模型中置信水平，运算结果也会不同。目标函数值随置信水平的变化趋势如图2所示。

由图2可得，随着置信水平的提高，系统的应急物流成本是升高的。当物资需求量满足配送中心容量以及车辆容量的置信水平越低，选出的配送中心数量以及车辆数量可能会越少，则得到的系统应急总成本越小;而置信水平越高，为了能及时地送达物资，会选择容量更大的车辆或配送中心，或者是选择更多的配送中心和车辆导致系统总的应急成本升高。

4  结语

本文考虑了在突发公共卫生事件后应急物流系统的定位-路径问题，建立了一个总成本最小的不确定优化模型。在以后的研究工作中，可以考虑车辆的多次往返配送以及需求点的需求量可能超过车辆容量的情况，甚至可以考虑多式联运运输应急物资的情况。

参考文献：

[1]Yi W， ？魻zdamarb L. A Dynamic Logistics Coordination Model for Evacuation and Support in Disaster Response Activities[J]. European Journal of Operational Research， 2007， 179（3）： 1177-1193.

[2]Ahmadi M， Seifi A， Tootooni B. A Humanitarian Logistics Model for Disaster Relief Operation Considering Network Failure and Standard Relief Time： A Case Study on San Francisco District[J]. Transportation Research Part E， 2015， 75（1）： 145-163.

[3]楼振凯.应急物流系统 LRP 的双层优化模型及算法[J].中国管理科学，2017，25（11）：151-157.

[4]Laporte G， Louveaux F， Mercure H. Models and Exact Solutions for a Class of Stochastic Locationrouting Problems[J]. European Journal of Operational Research， 1989， 39（1）： 71-78.

[5]代颖，马祖军.应急物流系统中的随机定位-路径问题[J]. 系统管理学报，2012，1（2）：212-217，223.

[6]孙华丽，王循庆，薛耀锋.随机需求应急物流多阶段定位-路径鲁棒优化研究[J].运筹与管理，2013（6）：45-51.

[7]Kahneman D， Tversky A. Prospect Theory： An Analysis of Decisions under Risk[J]. Econometrica， 1979， 47： 263-291.

[8]Liu B. Uncertainty Theory[M]. 4nd ed.， Berlin： Springer-Verlag， 2015.

[9]Liu B. Why is There a Need for Uncertainty Theory？[J]. Journal of Uncertain Systems， 2012， 6（1）： 3-10.

[10]Liu B. Uncertainty Theory[M]. 2nd ed.， Berlin： Springer-Verlag， 2007.

[11]Liu B. Some Research Problems in Uncertainty Theory[J]. Journal of Uncertain Systems， 2009， 3（1）： 3-10.

[12]Zhang B， Li H， Li S， Peng J. Sustainable Multi-depot Emergency Facilities Location-routing Problem with Uncertain Information[J]. Applied Mathematics and Computation， 2018， 333： 506-520.