杨占英，唐小云

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

复杂网络的同步是指网络中各个相互作用节点趋于一致的行为，它在物理学、生物学、化学、经济学和社会学都有广泛的应用. 在现实中，许多网络的同步通过自身的耦合是难以实现的，即使可以也需要付出很大的代价，这时就需要利用一些控制方法.对于复杂的大规模网络来说，牵制控制是一个简单有效的方法. 牵制控制的基本思想是通过控制网络中的部分节点，来达到有效控制整个网络的目的.

在以往的一些牵制方法[1-4]中,有的需要耦合强度充分大，有的需要反馈增益很大,还有的计算量会非常大，这在复杂网络控制应用中都是难以实现的， 对于控制方法而言，我们总是希望用较小的控制代价来实现控制目标．Li R, et al[5]利用耦合强度和反馈增益定义控制代价，发现牵制网络中牵制度小的节点可能会比牵制度大的节点所需的代价小.随后，Wang L, et al[6]利用此代价函数研究了牵制节点数目的估计，完成了基于线性矩阵不等式的牵制控制策略分析. 在文献[7]中，Zhao J C, et al研究了复杂网络在弱耦合强度下的优化线性反馈牵制控制问题，通过选取与牵制比和反馈增益比相关的代价函数，找出受控节点和反馈增益间的平衡.此外，Porfiri M, et al为避免同时控制网络中所有节点，提出了点对点优化牵制控制策略[8].

在本文中，我们考虑了两个线性耦合复杂动态网络的指数同步问题.基于线性反馈牵制控制，给出了两层网络达到全局指数同步的条件.对于满足条件的牵制节点数和反馈增益，它们二者中的一个减小通常会引起另一个的增大，因此，我们需要找到二者的最优组合.这里，通过具体例子，展示了牵制节点数和反馈增益这一可行组合的确定步骤.同时，受文[7]中的评价函数的启发，我们定义一个评价函数并找出最优组合. 此外，通过仿真，分析了最优牵制比(最优组合中的牵制节点数目与总节点数目之比)与耦合强度、网络稠密程度的相关性.最后，给出两个例子验证了该最优控制方法的有效性.

1 模型描述和预备知识

考虑N个不同节点线性耦合的复杂动态网络，其中每个节点都是n维的动力系统，具体模型如下:

(1)

考虑另一个具有N个节点方程(1)同构的复杂动态网络，模型如下：

(2)

其中,yi=(yi1,yi2,…,yin)T∈Rn是第i个节点的状态变量，ui是待设计的控制器. 通常方程(1)被称为驱动网络，方程(2)被称为响应网络.

定义1 假设存在常数M和α>0，使得：

则称驱动网络(1)与响应网络(2)达到全局指数同步.

假设1 对于fi(x)∈C(Rn,Rn),i=1,2，…，N,存在常数δi，对任意的x,y∈Rn有:

(x-y)T(fi(x)-fi(y))≤δi(x-y)T(x-y),

上述条件通常称为全局Lipschitz条件，δi称为Lipschitz常数.容易验证，一些混沌系统，如Chua′s电路和Rössler-like系统都满足此条件.

引理1[1]假设

其中H,D∈RN×N,H1,D1∈Rr×r(1≤r

要使引理1成立，di必须是无穷大，这使得实际中其应用非常受限. 为解决这一问题时，Zhao J C, et al在文[7]中引入了一个松弛因子ε0，进一步分析了引理1的结果.

引理2[7]若λmax(H2)<0，则对某个0<ε0<

|λmax(H2)|，一定存在d>0，使得当di≥d(1≤i

2 全局指数同步的牵制准则与优化

先引入驱动网络和响应网络达到全局指数同步的一个线性反馈牵制准则. 不失一般性，假设响应系统的前l个节点为牵制节点，控制器具体如下：

其中d>0为反馈控制增益.

记ei=yi-xi,i=1,2,…，N,则误差系统为:

(3)

证明构造一个Lyapunov函数

沿着误差动态系统(3)计算V(t)对t的导数可得:

[δ+cγ(λl+1+ε0)]eTe,

注：如果牵制节点数目l确定,根据定理1，我们可以找到一个最小的反馈增益d使得网络(1)和(2)达到全局指数同步，同样如果反馈增益d确定，根据定理1牵制节点的数目也有一个最小值，达到这个值，网络(1)和(2)可以达到全局指数同步.

一般来说，牵制节点数目越多，反馈增益就越小，反之亦然.根据定理1，我们可以得到一系列的(l,d)组合，使得网络(1)和(2)达到全局指数同步.在实际应用中，为降低控制代价，自然希望牵制节点数目l和反馈增益d最好都比较小.为此，我们尝试在所得的可行的(l,d)组合中找出一个最优的组合.

3 数值仿真

在本节中，驱动和响应网络均采用400个节点的无标度网络(其中m0=12,m=10)，在下面的讨论和仿真中，我们取内耦合矩阵P是一个单位矩阵，对于3种牵制方式：牵制度大的节点、牵制度小的节点和随机牵制节点，发现3种牵制方式的矩阵Mi最大特征值曲线有一个交点(此时l=180). 当l不超过180时，牵制度大的节点这一方式的矩阵Mi的最大特征值比其他两种方式的递减速度要快些，如图1所示. 根据定理1，在给定l和δ后，牵制度大的节点的方式需要的牵制节点数要少，因此选择牵制度大的节点；同理，当l大于180时，就要选择牵制度小的节点. 这里，假定仿真中的l不超过180，并且选择牵制度大的节点.

图1 Mi的最大特征值相对于牵制节点数的变化Fig.1 The maximum eigenvalue of Miwith respect to the number of pinned nodes

对于驱动和响应网络，我们取每个节点都是3-D的Rössler-like系统，节点的动力学方程描述为：

其中x=(x1,x2,x3)T∈R3,α=0.05,β=1.5,γ=0.2,μ=1.5,ε=0.75,ρ=21.43,ϑ=0.0075.

图2 无牵制时E(t)的变化Fig.2 Evolution of E(t) without pinning

表1 可行组合(l,d) Tab.1 Feasible combination (l,d)

图相对于可行组合编号的变化趋势Fig.3 The trend of with respect to the number of feasible combination

表2 不同评价函数下的最优解Tab.2 The optimal solution with different evaluation functions

图4 E(t)在l=27,d=134时的变化趋势Fig.4 Evolution of E(t) with l=27,d=134

图5 最优牵制比相对于c的变化趋势Fig.5 The trend of the optimal pinning ratio with respect to c

此外，通过数值仿真发现，当网络结构和节点动力学固定时，网络耦合强度c的变化对最优牵制比是有影响的，具体如图5所示. 可以看出，随着c的增加，最优牵制比总体上是递减的，除了个别位置(如c=1处)呈现微增. 当c=0.1～0.48时，递减趋势比较明显，之后的递减比较缓慢，说明c比较小时，其较小的扰动都会对最优牵制比有很大的影响，c较大时，其较小的扰动对最优牵制比的影响不是很明显. 同时，当节点动力学、耦合强度和内耦合矩阵固定时，最优牵制比也依赖于网络的稀疏程度. 给定m0,当m逐渐增加时(网络越来越密)，最优牵制比逐渐减小，具体如表3所示.

表3 m0=12时，不同m下的最优牵制比

另外，为了验证评价函数模型的可行性，选择N=600和N=800两种不同规模的无标度网络进行仿真，耦合强度c同样取0.32，得到两种情况下的可行组合(l,d)，见图6、图7，表4、表5.

结合图7(a)和(b)，发现它们与N=400时的情形一样，参数θ取0.8时评价函数仍是最优的.根据表4和表5，发现耦合强度为0.32时，这3种规模网络的最优牵制比均在7%左右.

(a) N=600 (b) N=800图6 N=600和N=800时的可行组合(l,d) Fig.6 Feasible combination (l,d) with N=600 and N=800

(a) N=600 (b) N=800图7 N=600和N=800时,相对于可行组合编号的变化趋势Fig.7 The trend of with respect to the number of feasible combination when N=600 and N=800

Tab.4 The optimal solution with different evaluation functions whenN=600

θld可行组合编号牵制比例/%0.612011.919200.7604113100.8459377.50.93639126

表5N=800时不同评价函数下的最优解

Tab.5 The optimal solution with different evaluation functions whenN=800

θld可行组合编号牵制比例/%0.616011.921200.77050138.750.85711087.1250.94735435.875

4 结论

本文研究了两个同构的线性耦合复杂动态网络的指数同步的最优牵制问题. 基于线性反馈牵制控制，给出了两个网络达到全局指数同步的条件.对于满足条件的牵制节点数和反馈增益的组合，通过具体例子展示它的计算方法，并利用定义的评价函数给出了它们的最优组合，同时还给出了两个例子验证了该方法的有效性. 此外，仿真结果表明了网络的耦合强度和稠密程度对最优牵制比有一定的影响.这些结果将为工程技术工作提供一些参考.