贾永臻

(北京大学 深圳研究生院，深圳518055)

柔性显示屏幕是未来显示技术的一个重要研发方向. 当前，柔性屏幕各个膜层间常采用光学透明胶材(Optically Clear Adhesive, OCA)进行粘接[1, 2]，柔性屏幕的整体变形过程中，OCA胶材的力学行为最为复杂，易发生粘性流动,导致屏幕表面不平整，是形成波纹状显示效果的主要原因. 构建OCA胶材的力学本构模型是仿真分析波纹状显示效应的理论基础. Yeh[3]等率先建立了柔性屏幕的弯折仿真模型，但是该研究将OCA胶材看作简单的线弹性材料，无法对屏幕摊平及回弹过程中的非线性大变形问题进行解析. 薛宗伟[4]建立了基于小压缩变形数据的OCA超弹性本构模型，同样无法应用于柔性显示屏幕的大变形分析. 基于此，本文展开对OCA胶材力学行为的基础研究，通过力学性能测试，获取了OCA胶材在单轴拉伸和简单剪切两种大变形模式下的应力应变曲线，并选用唯象模型和热力学模型，建立OCA胶材的超弹性本构模型.

1 实验测试

OCA胶材可以在发生大变形的情况下，卸载后自动恢复为初始形状，符合超弹性材料的一般特征，可以采用超弹性本构模型建立OCA胶材的弹性力学行为. 传统橡胶类超弹性材料通常采用单轴试验、双轴试验和平面试验等三种实验方法获取其应力应变曲线，但是OCA胶材的模量很低，商业化的双轴和平面拉伸试验机的传感器精度无法准确获取OCA胶材的应力变化，因此，采用精密度较高的动态机械分析仪和旋转流变仪，分别对OCA胶材的拉伸行为和简单剪切行为进行测试.

首先进行试样制备，将3M公司生产的OCA胶材叠层粘接，厚度h达到1 mm，之后再按照夹具要求完成试样的切割，两种变形模式所采用的测试设备及相应的样品尺寸如表1所示. DMA拉伸测试时，拉伸速率参考ASTM标准D412[5]；采用旋转流变仪进行简单剪切测试时，剪切应变速率控制在0.01 s-1.

表1 试验测试设备及样品尺寸规格

原始实验数据经过处理后，可以提取出应力σ和应变ε数据，具体的计算公式如下所示.

(1)单轴拉伸变形模式下，拉伸应变εT和拉伸应力σT的关系式：

(1)

式中，l0表示试样原始长度；l表示试样拉伸长度；f表示拉伸载荷.

(2)简单剪切变形模式下，剪切应变γs和剪切应力σs的关系式如下：

(2)

式中，φ表示平行板的旋转位移；τ表示平行板扭矩.

2 超弹性本构模型构建及参数拟合

2.1 基本理论

超弹性材料的基本物理特征是弹性变形过程中熵产率为0，不发生能量耗散，因此超弹性材料的本构关系可以通过应变能密度函数U的形式给出：

U=U(l1,l2,l3),

(3)

式中，l1,l2,l3分别为变形张量的三个不变量. 这些不变量和主伸长率λi(i=1,2,3)的关系如下：

(4)

式中，γi表示主应变，I3可以表征材料体积的变化，也用Jei表示，OCA胶材通常认为是不可压缩的，有I3=1.

将应变能密度函数对主伸长率求偏导，得出Cauchy应力张量与主伸长率的关系[6]：

(5)

式中，p表示静水压力.

2.2 应变能密度函数与变形模式

超弹性材料的应变能密度函数主要分为维象模型和统计热力学模型两大类，基于经验的维象模型主要包括Ogden模型、多项式模型、减缩多项式模型、Marlow模型等，其中减缩多项式模型的实验拟合精度较高，同时仿真计算的收敛性较好，是比较常用的唯象模型之一. 统计热力学模型则主要有Arruda-Boyce模型、Van der Waals模型和Gent模型等. 下面将分别给出两类模型中比较有代表性的减缩多项式模型和Arruda-Boyce模型的具体表达式，以及在不同变形模式下推导出的应力应变关系.

由式5可以导出具体变形模式下Cauchy应力张量σi的表达式. 在单轴拉伸变形模式下，拉伸应力的表达式为[7]：

(6)

在简单剪切变形模式下，剪切应力的表达式为：

(7)

2.2.1 减缩多项式模型

减缩多项式(Reduced Polynomial)模型[8, 9]中忽略了第二变形张量不变量对于应变能的影响，具体的应变能密度函数表达式为：

(8)

式中，N表示多项式的阶数；Ci0=(i=1～6)为表征剪切变形的材料常数，Di为表征体积变形的材料常数，对于OCA胶材不予考虑.

将式(8)代入式(6)和(7)，可得到减缩多项式本构模型中的应力-应变关系. 在单轴拉伸变形模式下，其应力应变关系为：

(9)

其中，λT=1+εT在简单剪切变形模式下，其应力应变关系为：

(10)

2.2.2 Arruda-Boyce模型

Arruda-Boyce模型[10]是一类由非高斯统计理论建立的简单热力学模型，其应变能函数表达式如下：

(11)

式中，μ、λm为表征剪切变形的材料常数.

将式(11)代入式(6)和(7)，可得到Arruda-Boyce本构模型中的应力-应变关系. 在单轴拉伸变形模式下，其应力应变关系为：

(12)

在简单剪切变形模式下，其应力应变关系为：

(13)

3 参数拟合与分析

基于上述推导出的应力-应变关系，结合单轴拉伸和简单剪切的实验数据，即可实现超弹性参数的拟合. 目前，尚无商业化的仿真软件可以将单轴拉伸和简单剪切数据同时拟合，也未见相关的公式推导和拟合方法等内容有公开报道. 本文利用数学软件1Stopt，采用Levenberg-Marquardt算法，按照上述本构方程编写代码，实现了单轴拉伸与简单剪切数据的同时拟合，具体结果如表2所示.

表2 OCA胶材的超弹性本构模型参数拟合误差分析Tab.2 The fitting error analysis of the OCA hyperelastic constitutive model

完成参数拟合的本构模型需进行Drucker稳定性评估，对于通过稳定性评估的本构模型，其应力应变曲线如图1～4所示.

由应力应变曲线的拟合结果对比后可知，Arruda-Boyce本构模型和一阶减缩多项式模型的拟合误差较大，在拉伸和简单剪切变形模式下，其力学行为趋近于线弹性. Ritto等[7]进行了基于简单剪切数据的超弹性本构模型参数拟合，其研究成果指出，拟合误差控制在0.2以内，就代表了较高的拟合精度. 由表2可知，三阶(拟合误差0.0979)和五阶的减缩多项式模型(拟合误差0.0590)具备了较好的拟合精度，相较而言，五阶减缩多项式本构模型的拟合精度更高，但是更高阶数的本构模型在仿真分析时会带来较严重的收敛性问题，因此，对于柔性OLED屏幕的应力管控问题，本文推荐采用三阶减缩多项式本构模型进行研究.

图1 一阶减缩多项式本构模型的拟合结果Fig.1 Fitting result of the first-order reduced polynomial model

图2 三阶减缩多项式本构模型的拟合结果Fig.2 Fitting result of the third-order reduced polynomial model

图3 五阶减缩多项式本构模型的拟合结果Fig.3 Fitting result of the fifth-order reduced polynomial mode

图4 Arruda-Boyce本构模型的拟合结果Fig.4 Fitting result of the Arruda-Boyce model

4 结语

基于应变能函数的超弹性模型是描述材料超弹性行为的一种有效方法. 本文采用DMA和流变仪准确测得了OCA胶材在拉伸和简单剪切变形模式下的应力应变曲线，为构建胶材的超弹性模型准备了充足的原始数据. 以减缩多项式模型和Arruda-Boyce模型作为OCA胶材的应变能函数，推导了两种模型在拉伸和简单剪切变形模式下的应力应变公式，并使用Levenberg-Marquardt算法，实现了同时运用单轴拉伸与简单剪切数据，完成本构模型的参数拟合. 通过Druker稳定性评估，最终筛选出了与实验吻合精度高的本构模型及相应参数. 该理论算法可适用于一般胶黏剂材料的超弹性本构模型构建及参数拟合.