☉天津市宝坻区第一中学 胡文一

笛卡儿在《几何学》中以其敏锐的眼光和令人敬佩的智慧提出了用方程表示曲线，用曲线描述方程的思想，为几何问题的研究提供了一条机械化的道路，推动了数学的发展.

但是，我国现行的教材和教辅上，却又过分强调代数运算的应试化思路，通过直截了当的思维过程，进行大量的重复计算来研究数学问题，却淡化了对坐标系进一步的思考，不利于培养从已知中发现未知的能力.本文将叙述直角坐标系中坐标轴的改变对曲线的影响，并据此发现曲线的更多变化规律.

一、伸缩变换

伸缩变换在中学数学教学中已有提及，在此不作过多阐述，只介绍伸缩变换在化归数学模型上的作用.

现行的标准解法如下：

图1

整理得mn=1.

但如果能利用伸缩变形将椭圆变形为圆，就有了全新的几何关系：∠AQB为弧AB所对圆心角，且为定值.在直角坐标系中，k值即代表直线倾斜角的正切值，故可定量得到这个几何关系，①它为定值.

为计算这个定值只需令BQ过圆心即得到

将②③④代入①，得mn=1.

由于我们只对x轴作了变换，y轴上的m，n无变化，故mn确定为1.

二、单轴旋转

坐标轴可以绕原点旋转来导致坐标有变动.我们先考虑一条坐标轴的旋转，此时被旋转后的坐标读取的方法是作另一轴的平行线，读取和该轴交点的坐标.

图2

图3

图5

图4

三、坐标轴更换

不是只有x轴、y轴才可以称为坐标轴，任意一条过原点的直线都可以被换成坐标轴.

我们来审视坐标轴，x轴有一个特性，凡是垂直于x轴的直线，其方程都满足x=a的形式.我们可以用这个特性来重新定义坐标轴，如果和一条过原点的直线相交而平行于另一坐标轴的直线都有f（x.y）=a的形式，就称这条直线为f（x，y）轴.

例2 直线x-y=0可以称为x+y轴，因为垂直于x-y=0的直线均是x+y=C的形式.利用这个方法可证明的图像为高中课本上定义的双曲线.

取一条最简单的双曲线x2-y2=1，其渐近线为y=±x，将x2-y2=2化为（x+y）（x-y）=2，利用之前提到的更换坐标轴的方法，立即得到这是关于x-y、x+y两条坐标轴的一个反比例函数图像.虽然我们的方程中两变量乘积为2，但方程中变量的值不等于在坐标轴方向位置向量的模.通过运算，得到bx+ay轴和bx-ay轴组成的坐标系下横纵坐标对旧坐标系下长度的“汇率”为.我们可以用此方法解决一些特殊问题.比如，M为双曲线上一点，过M作双曲线两渐近线平行线交两渐近线于A，B两点，如图6.证明：平行四边形MAOB面积为定值.

常用方法证明如下：

证明：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0.

设M（m，n）是双曲线上任一点，过M平行于OB：bx+ay=0的直线的方程是bx+ay-bm-an=0.

图6

可得平行四边形MAOB的面积为

由M在双曲线上，可得b2m2-a2n2=a2b2，

而在我们新换的坐标系中，按照之前谈到的方法整理原式为（bx+ay）（bx-ay）=（ab）2，分别记bx+ay和bx-ay为m和n，得到了一个新坐标系下的双曲线方程，新的横纵坐标相乘是定值a2b2.使用转化为原坐标系下两边长，再乘以两线夹角的正弦值可计算出原坐标系下面积为定值

四、微积分计算

我们需要用换元法或者隐函数微分的方法来处理本文前面谈到的新坐标系下的微积分问题.尽管这种方法一下子难以理解和接受，但一旦用于处理某些比较特殊的问题却很有优势.比如求一个双曲线和两条渐近线和一条与渐近线平行的直线围成的曲边梯形的面积（图7），就可以在新坐标系中转化为求函数反常积分的问题，免去了将双曲线方程转化为函数形式再积分一个根式的麻烦.

图7

有了以上四点讨论，我们就可以在直角坐标系中选取任意的坐标系，通过一些数学关系式上的计算，将各种数学图形联系起来，使坐标系从舞台幕布后面华丽亮相.

结语：无可否认，机械化的证明是数学发展的推进器，但是如果数学的思想跟不上数学理论的进程，就难有颠覆性的发现和历史性的变革.其实数学充满了构造、变形和转化，等待后世的人们去追寻其踪，而本文只是这些踪迹中的沧海一粟.

参考资料：

1.〔美〕C·亚当斯J·哈斯A·汤普森，著.微积分之屠龙宝刀［M］.长沙：湖南科学技术出版社，2004（5）.

2.〔美〕C·亚当斯J·哈斯A·汤普森，著.微积分之倚天宝剑［M］.长沙：湖南科学技术出版社，2005（5）.

3.同济大学数学系编.高等数学［M］.北京：高等教育出版社，2007（4）.W