杨广宇，仇洪冰,2

(1. 西安电子科技大学 通信工程学院，陕西 西安 710071；2. 桂林电子科技大学 信息与通信学院，广西 桂林 541004)

近年来，为确保无线携能传输(Simultaneous Wireless Information and Power Transfer，SWIPT)系统中的通信安全，SWIPT与物理层保密传输相结合的研究日益引起学界和工业界的关注和研究．多输入多输出(Multiple Input Multiple Out，MIMO)或多输入单输出(Multiple Input Single Out，MISO)SWIPT系统中的研究主要集中于发射功率最小化和保密速率最大化问题[1-5]．文献[5]研究了MISO SWIPT系统的保密速率最大化问题，提出了两种优化方案，一种方案是用Charnes-Cooper变换将原非凸问题转化为等效的半正定规划，采用二分法和内点法联合优化; 另一种是采用连续凸近似算法将原问题转化为凸问题后，直接采用内点法最优化．

能量效率是未来绿色通信网络的一项重要指标和基本要求．保密能量效率(Secrecy Energy Efficiency，SEE)定义为保密传输速率与总消耗功率之比，文献[6]研究了三节点MIMO窃听信道的保密能量效率最大化问题，采用Dinkelbach方法结合泰勒级数展开法求解问题的近似最优解．

在假定发送端掌握完全精准的信道状态信息(Channel State Information，CSI)的情况下，文献[7]研究了存在多个窃听者的MIMO SWIPT系统的能效优化问题，由于目标函数包含凹函数之差以及多个变量之间的耦合，即便对目标函数参数化减式形式等效后，其仍是难以处理的非凸问题，经过等效变换，采用Dinkelbach方法和交替算法得到优化解．

在实际中，由于信道估计误差和反馈延迟，获得精准的CSI 是非常困难的．在CSI不精准的MIMO SWIPT系统中，文中提出一种鲁棒的人工噪声辅助优化方案．通过联合设计波束成形矩阵、人工噪声方差矩阵和功率分配(Power Splitting, PS)比，最大化系统最差情况的保密能量效率．目标函数是非线性分式规划问题，且由于信道的不确定性，约束项中包含半无限约束项，这些因素导致原问题是非凸的，难以处理．通过S-Procedure和一阶泰勒级数展开，把原问题近似等效为带有线性矩阵不等式(Linear Matrix Inequality， LMI)约束的凸问题，针对等效后近似目标函数中相关优化变量的凸性特点，提出了一种基于Dinkelbach方法的两级优化迭代算法．

1 系统模型和问题描述

考虑下行MIMO携能系统．该系统包含一个配备NT个发射天线的发射端，一个配备NR个天线的信息和能量接收用户，M个窃听者，每个窃听者配备NE个天线．发射端的基带信号b=Ws+v，其中W是波束成形矩阵，s是携带保密信息的信号矢量，v～ CN(0，V)，是发射端产生的人工噪声(Artificial Noise， AN)矢量．则用户接收信号可表示为

(1)

第m个窃听者接收到的信号可表示为

(2)

用户配备有功率分配器用于对接收到的信号功率分流，一部分功率用于对解码端接收到的信号解码，一部分功率用于能量接收端对接收信号的能量收获．分流到用户解码端的信号为

(3)

(4)

基于以上设定，系统最差情况下的保密传输速率[8]为

用户能量收获端收获的功率为

(8)

其中，ζ表示能量转换效率,ζ∈(0，1]．

系统消耗的总功率定义为

Ptot(W，V，ρ)=ξtr(WWH+V)+PC-EEH，

其中，ξ是功率放大器效率的倒数，ξ≥1；PC表示电路的恒定功率消耗．不失一般性，文中假定ζ=1，ξ=1．

在CSI非精准情况下，系统的最差情况保密能量效率定义为最差情况保密速率与所消耗总功率之比，即

ηEE(W，V，ρ)=RS(W，V，ρ)/Ptot(W，V，ρ) ．

(9)

则最差情况保密能量效率最大化问题可以描述为

其中，约束项式(10b)表示用户能量接收端最小能量收获约束，式(10c)表示最大发射功率约束．

求解优化问题式(10)的难点在于目标函数分式形式的非凸性，以及目标函数及约束项中优化变量间的耦合．

2 问题变换和算法

2.1 目标函数转换

由于问题式(10)是典型的分式规划问题，是难以处理的非凸问题．为此，引入参数化的减式函数[10-11]为

(11)

其中，λ≥0，Π是问题式(10)的可行域．

引理1 令λ*表示问题式(10)的最大SEE，优化问题式(10)和式(11)是等价的，当且仅当F(λ*)=0．

上述引理1给出了求解问题式(10)的方法，即采用两级优化迭代算法求解最优(W，V，ρ)及对应的最大SEE．具体来讲，在内层给定λ≥0，求解优化问题式(11); 外层利用Dinkelbach方法求方程F(λ)=0 的根，得到最优值λ*．

因此，首先研究λ给定情况下问题式(11)的优化．由于目标函数、最小能量收获约束以及信道误差，问题式(11)仍然是非凸问题．

2.2 内层问题的泰勒级数展开和LMI近似

在这节中，利用一阶泰勒级数展开近似和LMI方法处理非凸问题式(11)．

固定λ的值不变，令Q=WWH，q=1/ρ，把式(6)和Ptot代入式(11)，整理后得到

(13)

式(12b)和式(12c)都是凸约束，但问题式(12)中目标函数的前两项是关于(Q，V，q)的两个凹函数之差，所以式(12)是非凸问题．对目标函数第2项进行线性化近似，在给定点(V(k)，q(k))对其进行一阶泰勒级数展开，其中右上标k表示一阶泰勒级数近似的第k次迭代．引入辅助变量t≥0，问题式(12)近似等效为

由式(13)Ptot(Q，V，q)的表达式可以看出，(Q，V)与q之间是相互耦合的，因此，式(14a)的目标函数不是关于(Q，V，q，t)的联合凹函数，但若固定q，该目标函数是关于(Q，V，t)的凹函数，反之亦然．因此，可用分级算法最优化问题式(14)，可得

(15)

容易证明，问题式(16)优化求解后，其结果F(λ，q)是关于q的单变量凹函数，可用一维搜索算法黄金分割法求取F(λ)．因此，接下来将集中研究问题式(16)的优化．

问题式(16)的目标函数是关于(Q，V，t)的凹函数．但其约束项式(14c)不等式左边是两个凹函数之差[12]，是非凸不等式，所以问题式(16)仍然不是凸优化问题．引入辅助变量β1m≥0，β2m≥0，对式(14c)进行等效变换，即

对于式(18)，由文献[3]的引理2，可得如下关系：

(20)

(21)

利用S-Procedure[13]和关系式tr(ABCD)=vec(AH)H(DT⊗B) vec(C)，式(20)和式(21)变换为等效的线性矩阵不等式，即

(22)

如前所述，两个原因导致式(19)的非凸性，因此首先把不等式左边项近似线性变换，将其在给定点(Q(k)，V(k))一阶泰勒级数展开:

(23)

将式(23)代入式(19)整理后，得

(24)

与式(20)的处理方法相同，式(24)等效变换为如下线性矩阵不等式：

(25)

经过上述变换后，在给定点(Q(k)，V(k)，q(k))，问题式(16)可近似等效为

其中，

问题式(26)是关于(Q，V，t，β1m，β2m，bm，cm)的联合凸优化问题，可用内点法[14]求解．

2.3 基于Dinkelbach Method的迭代算法

基于以上分析，系统具体优化迭代算法如下:

初始化:i=1，λ1≥0，ε1，ε2，ε3，Q(0)，V(0)，q(0)．

图1 文中算法更新收敛速率

3 结果分析

图2 不同信道不确定性情况下最大发射功率对SEE的影响

从图3中可看出，与无辅助人工噪声(Artifical Noise，AN)优化方案相比，采用辅助噪声方法可极大提高系统最差情况SEE．这是由于引入AN可以有效地“恶化”偷听者对信息的接收．

图3还表明，无论在低功率区还是在高功率区，固定功率分配因子ρ不变仅优化其他变量所获得的SEE，总是低于或差于系统所有变量联合优化得到的SEE．

图3还显示了所提方案和保密速率最大化(Secrecy Rate Maximization，SRM)方案相对于最大发射功率的性能．在低功率区，两种方案的SEE都以相同的增长率增长，这说明在这一区域，最大功率传输是能量效率最大的．随着发射功率进一步增加到较高功率区，文中方案的SEE保持稳定不变，而SRM方案的SEE是减小的．这是因为在SRM方案中，保密速率的增长率低于最大发射功率的增大率，从而导致能量效率降低．

图4给出了所提算法与文献[14]路径跟踪算法相对于最大发送功率的最差情况保密能量效率曲线．从图4中可以看出，文中算法性能要优于路径跟踪算法的性能，其原因在于，文中算法对引入的辅助人工噪声相关变量的优化，能够以最小的功率消耗尽可能大的提高保密传输速率; 另外，路径跟踪算法的局部最优性也是其性能相对较差的原因．

4 结 束 语

针对MIMOME SWIPT系统，研究了在信道状态信息不准确情况下系统的能量效率问题．通过减式等效、一阶泰勒级数展开和S-Procedure变换，原问题变为易处理的对各变量的凸优化问题；针对最后形成的目标函数的特点，提出了一种两级优化迭代算法．仿真结果和对比实验，验证了文中提出的人工噪声辅助、波束成形、功率分配因子联合优化方法，在信道存在误差的场景下对系统提高最差情况SEE性能的有效性．