批次球磨产品的粒度分布预测

2018-11-30刘建远赵瑞超梁博文王绍维

金属矿山 2018年11期

李沛刘建远赵瑞超梁博文王绍维

（1.内蒙古科技大学矿业研究院，内蒙古包头014010；2.北京矿冶研究总院，北京102628；3.内蒙古科技大学分析测试中心，内蒙古包头014010；4.内蒙古科技大学矿业与煤炭学院，内蒙古包头014010）

预测磨矿产品的粒度分布是建立磨矿环节自动控制和磨机放大选型的基础，是磨矿动力学研究的重要方向。

以Austin为代表的研究者们建立了总量平衡模型（Population Balance Model），并发展了模型求解和碎磨动力学参数反算方法；在此基础上，以Herbst为代表的研究者探究了磨矿过程中输入能量与碎裂速度的关系，进一步发展了该模型［1］。

该领域理论繁杂、晦涩，且鲜有文章给出完整的建模、参数求解过程，以至难以被选矿工作者学习、应用。

本研究择优吸取前人的研究成果，对实验室内批次球磨建模并确定模型参数，以预测一定工作条件、一定磨矿时间下产品的粒度分布。

1 建立模型

1.1 总量平衡模型

建模使用批次磨矿的总量平衡模型，其思想为：批次磨矿中某一粒级的增量为从粗粒级落下来的部分；其减量为该粒级粉碎后落入细粒级的部分，两者差值为变化量［1-2］，其基于时间的微分表达式为其中，mi（t）为t时刻第i个粒级物料含量（定义最大粒级i=1，最细粒级i=n），%；Si为第i个粒级的碎裂速度，表示单位时间内该粒级的粉碎分数，min-1，也称选择函数，记作S；bij为碎裂分布函数，表示经粉碎由j粒级落入第i粒级的含量，无量纲。该值取决于物料性质，不受磨机尺寸和磨矿条件的影响，其累计的形式为累计碎裂分布函数Bij，定义为Bij-B(i+1)j=bij，2种形式都记作 B［3］。

S、B均为该模型的参数，统称为碎磨动力学参数。

1.2 Herbst-Fuerstenau方程

Herbst等从磨矿过程能量输入的角度展开研究，得出如下结论：当磨矿条件一定时，碎裂速度函数取决于起粉碎作用的净功率Pball，数学表达式为

该式被称为Herbst-Fuerstenau方程［3］，式中

Pball值很重要，应通过实测功率计算，kW；H为磨机内的干矿量，t；SiE为基于能量的碎裂速度函数，独立于磨机尺寸，主要由物料性质决定，受钢球级配的影响较大，t/（kWh）。

1.3 基于能量的总量平衡模型

联合式（1）、式（3）并积分，可得到基于能量的总量平衡模型，其可用的积分表达式为［3］

式中，Mf为给矿矩阵，Mf=[mi|i=1,2,3…n] ；Mp为产品矩阵，Mp=[mi|i=1,2,3…n]；J是对角矩阵，其元素为为下三角矩阵，其元素为

上述解析式实为Reid解［4］，本研究用能量做变量替换了时间变量得来。需要说明的是，本研究选用基于能量的总量平衡模型是为后续研究做准备。如果只是建立指定磨机、指定工况条件的球磨预测模型，用基于时间的总量平衡模型即可。可以看出，模型应用的关键是确定碎磨动力学参数。

2 初定碎磨动力学参数

确定碎磨动力学参数至少要做若干单粒级的磨矿试验，在此基础上拟合、推算其余粒级的参数。

2.1 试验内容、装置及工况

2.1.1 试验内容

（1）假设磨矿符合一阶动力学，即有式（5），在单粒级上做间隔磨矿试验，求各粒级的Si［2］。本研究选用的4个粒级为425～600、600～850、850～1 180、1 180～1 700 μm，磨矿时间间隔为0.5、1.0、2.0、4 min。

（2）根据Austin提出的BII法反算碎裂分布函数B，见式（6）［5］。

其中，Pi为的筛下累计含量，%。利用BII法时，磨矿时间t越长，B值越大，这是该方法的固有缺陷。因此t应尽可能短，以接近“一次碎裂”的假设，本研究选用t=0.5min。

2.1.2 试验装置与工况

以粒度为1 700～0 μm的硅石矿（石英含量为95%）为原料，每次磨矿量为500 g，质量浓度为65%，矿浆体积为0.45 L；磨矿用XQM-150型球磨机，转速为78 r/min（相当于71%临界转速，由变频器控制），球径为25 mm，真密度为7.7 g/cm3，球重为5.25 kg（堆积体积约为1.15 L，空隙0.48 L），填充率约50%进行批次湿磨试验，磨矿产品用泰勒筛的 2系列进行筛分，最小筛孔尺寸37 μm。

磨机功率用三相电测试仪测定，考虑到三相电的不平衡性，选用四线三相的连接方式测定三相功率之和。处理数据时应剔除启、停机阶段数据，取平稳运行阶段至少30个连续数据的平均值。

2.2 试验结果

试验结果的一阶动力学曲线见图1，各粒级动力学方程见表1。

由表1的拟合优度R2接近于1可知，试验磨矿符合一阶动力学假设。

通过记录球磨机空转和工作时的功率，得到净功率Pball=0.023 5 kW。结合式（3）可得1 180～1 700、850～1 180、600～850、425～600 μm粒级基于能量的碎裂速度函数SE的计算值分别为0.386、0.345、0.284、0.263 t/（kWh）。

通过BII法，算得累计碎裂分布函数Bij，结果见表2。

经比较，Bi1、B（i+1）2…B（i+3）4差距不大，有自相似性，可认为B值是规范化的，因此用平均值来统一表示［1，6］。

3 拟合碎磨动力学参数

通过试验得到了4个粒级的碎磨动力学参数，继续采用磨矿—筛分的试验方法求解剩余8个粒级的参数显得繁琐、冗长，因而采用Austin等［6-7］提出的方法对剩下粒级的参数进行拟合。该拟合法是基于碎磨动力学参数与粒度或粒级的关系曲线是连续、有规律的，因此可用少量的点得到曲线，并依此推算未知的碎磨动力学参数。

因Excel有简便的规划求解工具，所以本研究不用图解法，直接使用非线性规划求解。

3.1 计算拟合参数初值

对于SE，可用式（7）计算［6］。

根据经验，初定α0=0.1、α1=1，以的计算值与拟合值的相对标准误差最小为目标，利用非线性规划求解得到α0=0.022、α1=0.392，拟合结果见表3，相对标准误差为2.500。

其中，di为i粒级的粒级上限，μm；β0、β1、β2为拟合参数，根据文献［8］估算的初值分别为0.426、1.130、5.540。

考虑到B值取决于物料性质，可用已有数据做初值。如文献［8］给出了石英碎裂分布函数的拟合参数β0=0.5、β1=1.1、β2=5.4。

3.2 优化拟合参数

拟合参数共需5个，其值必须相互配合才能使整体效果最好。因此，有必要对其进行优化。其基本思路是：在拟合参数初值的基础上，不断变动其值，使模型拟合的粒度分布与试验观测的粒度分布尽可能接近［7］。

本研究使用软件包“Moly-Cop Tools”中“Ball-Param Batch MultiTest”进行优化，具体步骤为①输入磨机尺寸和磨矿条件；②选取并输入至少4组试验的给料粒度分布和对应的产品粒度分布、磨矿时间数据；③输入拟合参数初值，调用Excel中“非线性GRG”做规划求解。

规划求解的具体方法可制定，本研究使用如下方案：

B的拟合方程为［7］

其中，P为筛下累计产率，%；m为参与拟合的数据组数（试验数）；n为参与粒级的最大个数；wki是权重系数。本研究选用4个粒级磨矿1 min和2 min的数据，则m=8；全部粒级共12个，故n=12。wki依情况而定：对“有用”的粒级为1，“没用”的粒级为0。如单粒级425～600 μm的试验中，该粒级及以下粒级的wki=1；更粗粒级不参与拟合，wki=0。

添加约束是必要的，否则模型不稳定，对参与确定参数运算的数据拟合效果虽然好，但对新数据拟合效果差。优化后的碎磨动力学参数拟合结果见表4。

由表4可以看出，碎裂分布函数的拟合参数β与文献［8］中的很接近，说明拟合、优化方法较合理。据此可求得全部粒级的碎磨动力学参数，将其代入模型使模型可用。

3.3 模型精度的检验

模型对数据的拟合程度见图2。

由图2可以看出，拟合曲线都穿过观测点。经计算，8组拟合值与其观测值的相对标准误差为7.57%。

需要指出的是，碎裂分布函数虽然是规范化的，但若B值的平均值是由少量试验而得来，则模型精度会大幅度降低。

4 模型验证

为验证该模型，在磨矿设备及磨矿条件不变的情况下，进行两组验证试验。

（1）第1组给矿粒度为0～1 700 μm，利用模型预测磨矿1、2、4、8 min的粒度分布，之后进行相应的间隔磨矿试验，结果见图3。

经计算，预测值与观测值的相对标准误差为4.99%。

（2）第2组给矿为硅石的人工配矿，210～300 μm、425～600 μm、600～850 μm、850～1 180 μm、1 180～1 700 μm粒级产率均为20%，即试验有意设置300～425 μm粒级缺失，制造一个“断层”，以验证模型对非常规给料的适应性。预测结果见图4，预测值与观测值的相对标准误差为5.30%，说明模型对非常规给料也适应，有较好的稳定性。