河南师范大学附属中学 赵昱辰

题目：已知实数a、b、c满足a+b+c=0，且a2+b2+c2=1，求a的最大值。

一、基本不等式的角度

解法1：由a+b+c=0得a=-（b+c），将该式子两边同时平方得：b2+c2+2bc=a2①，将①式代入a2+b2+c2=1中得：2bc=2a2-1，对于实数b、c，满足b2+c2≥2bc，即1-a2≥2bc=2a2-1，解得

解 法2： 将a+b+c=0平 方 得：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0，由a2+b2+c2=1得：1+2ab+2bc+2ac=0， 将c=-（b+a） 代 入 整理并化简消元 得：2a2-1=-2b（a+b）， 由 于 -2b（a+b）=2[-b当a=-2b=-2c时，等号成立），即2a2故a的最大值为

二、方程的角度

解法3：由a+b+c=0可知c=-（b+a），代入a2+b2+c2=1，整理化简消去c得方程：2b2+2ab+2a2-1=0，该方程可以看作是关于b的一元二次方程，该方程有根，由判别式解得

解法4：由a+b+c=0，移项得：b+c=-a，代入a2+b2+c2=1得：，继续变形整理为：，由韦达定理知，有两根，满足判别式故a的最大值为

三、三角函数的角度

解法5：由a2+b2+c2=1变形得：b2+c2=1-a2，由同名三角函数关系式可知，

四、向量的角度

解法6：对a+b+c=0变形得：b+c=-a，设向量根据向量的运算性质

五、几何的角度

解法7：用x、y取代b、c，即x+y+a=0，x2+y2=1-a2，可知点（x,y）既在直线x+y+a=0上，又在圆x2+y2=1-a2上，可以说明，直线和圆有公共点，从直线与圆的位置关系来看，直线与圆相切或相交，即圆心O到直线的距离d不大于圆的半径，所以d≤r。因此故a的最大值

【心得体会】

1.以上几种解法各有千秋，该题题干短小，但其中蕴涵的知识却可以进行多角度、多层级的挖掘，笔者最大的感悟是对题目进行不同的转化和巧妙的变形是解决此题的关键，这7种解题方法近乎涵盖了高中数学大部分的解题思想，其中，函数与方程的思想运用其中，使得思维的层次性和深刻性更胜一筹，而后几种方法是通过将纯代数问题过渡到了几何问题中来，是把抽象思维与形象思维有机地联系起来，使思路与解法顺理成章，水到渠成，清晰明了。此外，根据题设条件形式的特殊性，借花献佛，将向量、解三角形、空间几何等独特思维方式引入其中，这种返璞归真的处理方式值得我们借鉴学习。

2.该题虽然解题方法很多，但是每一种方法所采用的都是常规性知识点，从不同角度体现了数学的魅力所在，其中，基本不等式和向量起到了工具性的作用，值得提倡。此外，通过此题多角度求解，我们能从中学到转换策略、函数与方程的精髓，从而得出一样的结论，可以加深我们对教材和知识的理解,同时提高学习能力和学习兴趣。

（指导老师：毋晓迪）

[1]刘永生．数学竞赛与数学思维的发展[D]．华中师范大学，2004．