梁燕

一、追本溯源，升维类比

你了解向量共线定理的意义和作用吗？

我们可以这样理解向量共线定理：直线上存在无数个向量（共线向量），我们通过选定直线上一个非零向量α，而其他向量b均可用α唯一表示（即存在唯一的实数λ，使得b=λα成立）.这样，共线的所有向量的运算都可以转化为向量α（基本向量）的运算，就将直线上复杂的向量问题转化为有关一个向量的简单问题了.

共线定理中仅需一个基本向量即可表示直线上的所有向量.从直线（一维）到平面（二维），类比猜测很有可能是两个向量，借助物理知识（力的分解与合成）作图后我们可以确定.类比共线向量定理，可得平面向量基本定理：

若向量e₁，e₂是两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任意一个向量α，有且只有一对实数λ₁和λ₂，使得α=λ₁e₁十λ₂e₂.其中不共线的向量叫做这一平面内所有向量的一组基底.

从向量共线定理到平面向量基本定理，实现了从低维向量空间（一维）到高维向量空间（二维）的转化，在三维甚至多维空间，大家猜猜还有什么结论？（可参考选修2-1）

二、对比归纳，透彻理解

向量共线定理和平面向量基本定理作为平面向量中的两大重要定理，它们在内容和表达形式上有着怎样的区别与联系呢？

联系：在平面向量基本定理中，特别地，若λ₁=O或λ₂=O时，就变成了向量共线定理，因此也可说，向量共线定理是一维的向量基本定理.从向量共线定理到平面向量的基本定理，是向量的分解从一维到二维的延伸.

由向量共线定理可知，任意一个向量都可以用一个与它共线的非零向量线性表示，且这种表示形式是唯一的；平面向量基本定理，其实质在于同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.这两个定理都可以看成在一定范围内的向量分解的“唯一性”定理.

区别：它们的表示形式不同，向量共线定理是指与。共线的任意向量都可以表示为λα的形式；平面向量基本定理是指平面內的任意向量可以表示为λ₁e₁与λ₂e₂和的形式，

三、灵活转化，回归基本

向量既能反映对象间的数量关系，又能体现其位置关系，运算简洁而又利落，思维明快而富有创意，用向量方法无疑是解决几何问题的一把“利剑”，下面试举几个例子来说明.

点评 利用平面向量的基本定理解决平面几何问题的关键是选定适当的基底，基底选择不唯一，而选择基底应遵循以下的原则：尽量选取两个已知的向量；尽量选择能将已知量、已知空间位置关系及所求量、所证的未知关系集中的两个向量；尽量选择共点或者具有垂直关系的两个向量.