孙先成，邹 阳，吴 优 ，李世泉

1 引言

自由轮廓曲面铣削加工应用广泛。工件的加工精度和使用性能之间通常存在一定的因果关系，因此高精度的铣削加工技术一直是现代加工制造业追求的目标。随着机床硬件技术的发展和CAD/CAM技术的进步，大量的研究结果表明，在现代铣削加工中，由切削载荷引起的刀具系统的挠曲变形对尺寸误差的影响最为显著[1-3]。由于刀具系统的刚性是有限的，因此加工过程中由切削载荷引起的刀具变形是不可避免的。为了保证工件的加工精度，通常工程师们会采取保守的加工参数进行精加工或者精加工后再进行一次光整加工。文献中也报道了一些通过优化切削条件减小或降低加工误差的工艺方法。这些工艺方法通常是以切削用量或者进给速度为控制变量来限制让刀误差。

这么做虽然可以达到减小让刀误差的目的，但是机床设备的加工潜能没有得到合理的利用，制约了生产效率的提高。

误差补偿方法是通过修改刀具轨迹，在不降低加工效率的前提下，主动补偿加工过程中产生的让刀偏差。一些学者研究了基于坐标测量系统，针对某大批量制备的工件，通过反复试错的方法确定最终补偿加工的刀路轨迹[4-6]。然而由于在确定补偿刀路的过程中需要多次试切和测量，使得该方法的实施成本很高，仅能适用于大批量工件的制造过程。一些学者基于铣削模型首先预测加工过程中的让刀误差，然后根据预测结果反复迭代地修改刀具位置，得到补偿加工的刀具轨迹[7-9]。然而该方法将让刀误差的预测和补偿人为地分割成两个独立的过程来考虑。这就导致了在误差预测或误差补偿计算中迭代过程不可避免，降低了效率。现有文献报道中还主要是针对直面铣削的表面尺寸误差补偿，关于曲面加工让刀误差补偿的研究，目前的报道中仅有文献[10]提出的基于铣削模型，其首先预测让刀误差，再通过镜像法迭代计算刀具位置。然而，该方法需要借助于耗时的迭代计算来确定补偿刀具轨迹存在较大的理论误差[11]。针对自由轮廓曲面的铣削加工，提出了一种让刀误差补偿法。首先通过对铣削过程的受力分析，得出在稳态铣削过程中，在垂直于刀轴的平面内，瞬时切削力与由刀具变形的抗力是一对平衡力。然后以名义刀具轨迹界定理想的加工参数来求解切削载荷和刀具变形。在实际刀具轨迹规划时补偿该刀具变形量。最后通过试验验证了本方法。与文献中现有方法相比，该让刀误差补偿方法能综合考虑刀具系统的柔性，误差补偿过程中也无需耗时的迭代计算。

2 表面尺寸误差分析

刀刃一般具有螺旋角，如图1所示。因此在刀刃划过已加工表面的的某时刻，仅有一个点与已加工表面接触。即此时由切削载荷引起的刀具变形仅影响该点的加工精度，且此时刀具的角位置可以通过该点的轴向高度来确定。因此在某一轴向高度上，工件表面的几何误差是由连续的刀刃序列在相同的刀刃角位置上产生的。又由于连续两个刀齿间划过的位移很小，连续两个刀齿间的残留高度可以忽略。即直面铣削加工中相同轴向高度的表面尺寸误差相同。

图1 立铣加工示意Fig.1 Vertical Milling Processing Schematic Drawing

当刀刃与工件表面的接触点沿刀具轴向变化时，刀具的切削角位置是变化的，因而切削载荷和表面尺寸误差沿刀具轴向也是变化的。而尺寸误差补偿期望表面尺寸误差沿刀具轴向是均一的，即对应某刀具轨迹点，工件的表面尺寸误差是单值的。由于实际加工中，刀具的轴向切深一般取值较小，使得表面尺寸误差沿刀具轴向的变化也较小。因此可以比较方便地找到补偿目标值和实际误差分布曲线间的折衷点。以沿刀轴方向表面尺寸误差变化的平均值所处的轴向位置为目标误差量，进行轮廓曲面尺寸误差补偿。当刀具沿着名义刀具轨迹走刀时，由于切削载荷作用，刀具中心偏离名义值，此时，工件材料作用在切削刀齿上的力使得刀具产生偏离工件方向的变形。由于刀具发生的是弹性变形，因此由于刀具变形而产生的弹力与此时的工件材料对刀刃的作用力构成一对平衡力。将该对平衡力在法平面内投影，即可得到法向切削力与刀具法向变形抗力构成平衡力。该切削平衡关系可表示为，如图2（b）所示。

式中：FY（φ1）—法向切削力；G（δ1）—刀具抵抗变形的弹力。

当完全补偿加工时，如图2（c）所示，切削平衡关系表示成：

即完全补偿加工时，刀具的实际切削用量即为名义值。那么此时的刀具变形量可以通过悬臂梁模型和名义切削用量计算得到。在计算补偿刀具轨迹时仅需反向偏移该刀具变形量即可完成工件表面尺寸误差的补偿。这样整个铣削加工补偿的过程就转化为以名义刀具轨迹界定实际的切削用量，进而求取刀具变形量和补偿刀具轨迹的过程。计算时无需迭代。通常误差补偿的思路是将误差的预测和补偿分开来考虑。由于刀具系统不是刚性的，因此在误差预测和补偿中都存在刀具变形与切削载荷的耦合关系。这样迭代的过程就不可避免。

图2 加工误差补偿示意Fig.2 Error Compensation Schematic Drawing

3 表面尺寸误差模型

采用的表面尺寸误差模型是在文献[12]提出的分布载荷误差模型的基础上，考虑到刀刃部位和刀杆部位截面惯性矩的差异，将其扩展为阶梯悬臂梁。铣削加工中刀具的负载情况，如图3所示。

图3 阶梯悬臂梁Fig.3 Stepped Cantilever Beam

此时z0点的尺寸误差可以表示为：

式中：zm—第m个微元力的作用点；z0—误差测量位置点；E—刀具材料的弹性模量；Ls—刀杆长度；Is—为刀杆惯性矩；Lf—刀刃长度；If—刀刃截面惯性矩；ΔFY，j，m—第 j号刀齿，第 m个切削微元产生的法向切削力，其表达式为：

式中：θjm—刀刃微元的位置角，以顺时针方向为正，从坐标系Y轴正向度量。对于顺铣和逆铣加工，刀刃微元的位置角可表示为：

采用文献[13]提出的机械铣削力模型，考虑刀具的剪切力和刃口力。当θentry＜θjm＜θexit时，微元径向和切向切削力表示如下：

式中：Δs—微元切削刃长度；Kre、Krc、Kte、Ktc—切削系数，一般通过测量槽切实验的切削载荷，应用系数回归的方法获得。

精确合理地确定刀具系统的刚度系数是有效利用悬臂梁模型预测铣削表面尺寸误差的关键。由上述误差模型可知，需要标定的模型系数包括刀刃和刀杆的抗弯刚度。采用文献[14]提出的静力测量法来估算刀具的抗弯刚度。静力测量装置，如图4所示。通过滑轮和细丝将集中载荷作用于刀具某位置，刀具的挠曲变形应用千分表测量。

图4 静力悬垂实验装置Fig.4 Static Suspension Experiment Device

将表面尺寸误差模型整理成形如式（8）的集中力模式。这样针对静力实验中测得的刀具变形和相应位置信息，可以得到一组超静定的线性方程组。用线性回归方法进行估算刀具的抗弯刚度。

式中：G1=EIs，G2=EIf。

实验中应用长柄硬质合金立铣刀，刀具直径8mm，刀刃长20mm，安装时刀具的悬臂长为80mm。估算得到的刀具的抗弯刚度为：G1=87.985Nm2，G2=21.415Nm2。

4 自由轮廓曲面尺寸误差补偿

根据以上对铣削过程分析，提出了自由轮廓曲面尺寸误差的补偿方法。具体的补偿方法，如图5所示。自由轮廓曲面铣削中，由于工件轮廓形状的变化，刀具的切触包角是变化的[11，15]。这就使得加工过程中切削载荷和表面尺寸误差也随之发生变化。因此研究自由轮廓曲面铣削加工中的表面尺寸误差补偿，必须要考虑刀具切触包角的变化。

4.1 刀具的切触包角

精加工的轮廓曲面边界可以看做是半精加工的刀具轨迹法向偏置了一个刀具半径，如图6所示。精加工的工件轮廓可以表示为顺次连接的小直线段和圆弧段。在某个刀具位置，刀具和工件轮廓之间的交点可以通过刀具轮廓圆周方程和工件轮廓的微段方程连列求得。

图5 表面尺寸误差补偿流程图Fig.5 Flow Chart of Surface Size Error Compensation

图6 刀具切入切出角Fig.6 Angel of Cut-in and Cut-out

顺铣加工中，刀具切出角通常表示成pi

在刀具刚切入工件阶段，刀具轮廓圆周不仅与已加工曲面相交还与工件包围框相交。此时刀具的切出角表示为：

4.2 刀具轨迹修正

求得刀具切触包角后，在某轴向位置，刀具变形量可以应用第2节的误差模型求得。获得的刀具变形量需要写入到补偿刀具轨迹中才能在加工中补偿工件的表面尺寸误差。

图7 刀具轨迹修正Fig.7 Tool Path Correction

补偿刀具位置为名义刀具位置沿法向做了一个偏移，该偏移量等于刀具在该位置在名义载荷作用下的挠度，如图8所示。补偿刀具位置的计算方法如下：

5 实验验证

为验证方法的可靠性，特安排了如下实验。详细实验条件，如表1所示。

图9 补偿前后的表面尺寸误差Fig.9 Surface Size Error Before and After the Compensation

实验过程中刀具的悬臂长度为70mm，其中刀刃长度为20mm。首先进行槽切实验，回归得到切削系数分别为：Ktc=1242N/mm2，Kte=16.5N/mm2，Krc=407N/mm，Kre=13.9 N/mm。通过槽切实验估算切削模型系数时不考虑刀具变形，因此实验时尽量缩短刀具悬臂，以提高刀具刚度。实验工件轮廓为4次NURBS曲线形状，如图7所示。利用三坐标测量机划扫描线的方式获取加工后的工件表面轮廓。测量位置为沿刀轴方向距刀尖3 mm处。将测量得到的工件轮廓与理论轮廓比较，计算得到的法向偏差即为轮廓表面的尺寸误差。实验加工前后加工误差的对比，如图9所示。补偿前表面尺寸误差值在0.11mm到0.175mm之间波动。补偿后误差值被控制在0.03mm之内。由实验结果可见，方法对表面尺寸误差补偿有效。

6 结论

（1）在稳态铣削过程中，当刀具变形发生时，刀具的实际负载与由刀具变形引起的弹性力处于瞬时平衡状态。（2）表面尺寸误差完全补偿的铣削加工过程可以转化为以名义刀具轨迹界定实际的切削用量，进而求取刀具变形量，并将其写入补偿刀具轨迹的过程。（3）综合考虑刀具系统的变形，可以大大降低误差补偿的复杂度。不需要误差预测，也不需要迭代计算。（4）自由轮廓曲面尺寸误差补偿过程中，必须要考虑工件几何形状变化对刀具载荷进而刀具变形量的影响。