浴缸水温控制的最优注水方案研究

2018-11-07李若韬张文瑜李南廷肖绪洋

电子测试 2018年19期

李若韬，张文瑜，李南廷，肖绪洋

（重庆文理学院，重庆，402160）

0 引言

浴缸是人们日常生活中用来洗浴和缓解压力的必备品，目前市场上大部分浴缸采用一次性注水的工作方式，这类浴缸存在不能较长时间保持水温恒定的困难。本文设计一种浴缸水温调节方案，通过实时控制热水输出量，从而达到人体最舒适的洗浴温度。根据热力学基本定律，浴缸水温降低是因为其与外界有热量交换而损失了一部分热量。

热交换方式除了浴缸壁因导热损失外，主要有蒸发和对流。当热水注入浴缸时与浴缸中的水进行热量交换并使水温升高[1-6]。本文基于傅里叶导热和牛顿冷却的传热原理，结合经典人身体温度的热平衡方程建立数学模型，确定最优的注水方案，通过调整流速[7-10]控制水龙头输出热水的体积流量，从而达到人体最舒适的洗浴温度。与本文相关符号的说明如表1所示。

表1 符号说明

AD人体皮肤与水的有效接触面积，m2 V浴缸的总体积，m3 QV水龙头流出热水的体积流量，m3·s-1

1 恒温浴缸设计的基本原理

1.1 加热器热水输出

冷水在电热水器中流过加热管变成热水，然后通过水管再经水龙头流进浴缸内，如图1所示。

图1 水加热及输送示意图

通常家庭自来水的流量为7/minL，水管的内径Φ＝10mm，所以流入电热水器的自来水流速为

热水从热水器出来以后，流经长约1.5m的铝塑管（即保温管）到达浴缸中。由于铝塑管优异的保温性能以及热水运输管程教短，因此，热量损失可忽略，流入的热水温度容易控制在人体皮肤比较适宜的40°C,即Thotwater= 4 0°C。

1.2 浴缸水的热量传递及传热模型

1.2.1 传导传热及浴缸中的温度场方程

物体或系统内的温度差，是热传导的必要条件。浴缸中无人或人体呈静止状态时，热量主要是以传导传热的方式在近似不流动的液体中层层传递[11]，热传导速率决定于浴缸中水温度场的分布情况。

由傅里叶导热定律可知，任一方向上的热流量Q或导热速率为：

设想在所研究的体系中内任取一微元Ω(τ)，随着液体的运动，其边界是随着时间变化，这个微元将会移动而且体积也会改变，流入微元Ω(τ)的热量

流入微元的热量必然使得微元Ω(τ)内能增加，根据能量守恒定律，得到

由高斯公式[12]，得到

在变动边界区域内，由于温度场对空间的不均匀性和对时间的不定常性，标量场f(x,y,z,t)关于时间t的变化由两部分组成[13]，可以表示为：

对于温度场t(x,y,z,t)，我们便可以得到结论：

将式（7）代入式（4）并联立式（5）得到

再由()τΩ的任意性，得到液体中的温度场方程

方程(11)称为流体中导热微分方程。

如果将流体视为不可压缩的牛顿流体，由连续性方程Δ·U=0，那么方程（11）可简化为：

如果假定热力学参数ρ、c、λ均为常数，那么式（12）可化为

倘若放入的水流流速不是很大，浴缸里面的水相对整个大浴缸可以视为是静止的，所以U=0,则

1.2.2 外界干扰的对流传热及温度场方程

水的温度不仅与自身能量的传递有关，也与外界环境的能量交换有关。冬天浴室温度在28℃左右，即 Toutside=28°C 。单位时间流入微元体Ω(τ)的热量为

流入Ω(τ)的热量必然使得内能增加，根据能量守恒定律，得到

若η、Twater、Toutside视为常数，则

类似于流体中导热微分方程的推导，得到流体受外界干扰的对流传热热扩散方程

如果将流体视为不可压缩的牛顿流体，由连续性方程Δ·U=0，那么方程（18）可简化为

如果视热力学参数ρ、c、λ为常数，Af为浴缸水总表面积，那么

1.2.3 有热源的综合传热及模型

当水龙头中热水注入时，引起了油缸内热量增大。将流体视为不可压缩的牛顿流体，热水落入点视为热源点，所属空间坐标点单位体积单位时间内提供的热量满足热量供给分布函数 g'(x, y, z,τ)，若 g = g'(x, y, z,τ)/cρ ，则同理得到有热源的传热方程

1.3 人身体温度热平衡方程模型

假定人在浴缸里面胸部以下全部浸在水里面。Taverage是人体皮肤平均温度[14]，Taverage=33.5°C。由牛顿热交换定律可知单位时间内热量交换

则Δτ时间内水得到热量为：

因此单位时间内热水升高的温度为 F = d T/dτ,得

结合式（21），得到人在浴缸中时浴缸水的综合传热方程

设水龙头出水速率 v( m/ s)，水流近似横截面积 S ( m2)，体积流量vQSv=，即体积流量，时间微元dτ，由能量守恒定律得到

单位时间的注水量，即vQ

式（31）可知，为了使浴缸水恒温，水龙头放出热水的体积流量可以由相关参数联立计算求得。

2 问题求解

2.1 计算机模拟浴缸二维温度场分布

假定浴缸长度为1.7m ,宽度为 0.8m，高度为 0.7m 。将浴缸平面均分为19x14 个近似矩形的网格，便有 20x15个节点。

图2 浴缸简要示意图

图3 浴缸平面区域均分示意图

如前所述，通过注入热水，维持浴缸内水都处于人体适宜的温度，即38℃左右。若浴缸壁处水温恒定，其中靠近水龙头的一边温度为40℃，其它三边均为35℃。对于无内热源的常物性稳定导热，由式（14）的。只考虑浴缸平面的温度分布，二维稳定导热微分方程为：。计算机C语言编写程序，利用高斯-赛德尔迭代法[17]求出各节点温度，再作图4。从图4可知，浴缸水温度整体分布是靠近四壁的温度高而中间低。

图4 浴缸中水恒温时的温度场分布

2.2 问题的一维求解

由图 2 可以看出，浴缸中水的温度场在沿着 y 方向上变化最为明显，外界水龙头中流出的热水与浴缸中水平面接触的点为内热源，再假设内热源只是在沿着浴缸最长长度的方向上的有着热量的分布，即 g'(x, y, z,τ)可以简化为 g'(y,τ)，Uy为水流沿y方向的速度。仅考虑稳定传热，即dt/dτ = 0，此时

其中 ΔS=0.8×0.7=0.56m2，Af=(1.7×0.7+0.7×0.8+0.8×1.7)×2=6.22m2，v=1.7×0.7×0.8=0.952m3。假设水流速度很小，视 Uy≈0浴缸二维温度场的

模拟过程中得到了300个节点温度，选取一组沿着浴缸y方向的节点温度，作浴缸中水温在沿y方向上的分布图如图5所示。

图5 浴缸中的水温度在y方向上的分布

再通过一元多次函数近似拟合得到：t=39.86-23.53y+13.47y2。

空气与水的热交换系数η的数据如表 2[17]，将该数据进行拟合发现，η与温t有很明显的线性关系如图6所示。

图6 η对t作图

表2 不同温度下空气与水的热交换系数

图5的拟合方程为h=-0.453t+1171水温为38℃，即t=Twater=28°C时η=1109.8W·m-2·K-1。而人的皮肤与水的热交换系数介于 10～15W·m-2·K-1，取 χ= 12.5W·m-2·K-1。查资料[18]可知38℃水的物性参数λ≈0.6338W·m-1·K-1，ρ=1000kg·m-3，c=4200J·kg-1·℃。

代入相关数据代入式（33）计算得