■河南省洛阳市第一高级中学 肖赵丽

在高三复习中，同学们要不断研究高考真题，掌握高考考查的重点内容和方法，才能探求命题人的本意，进而总结试题的规律。本文通过对近年高考三角形试题的分析，来领悟高考中一些规律性的东西。

对于三角形问题，主要考查正弦定理、余弦定理、面积公式，同时兼顾考查三角恒等变换，三角函数的求值、化简等。

例1(20 17年新课标Ⅱ卷理17题)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，

(1)求cosB。

(2)若a+c=6，△ABC面积为2，求b。

分析：第(1)问利用三角形内角和定理及倍角公式，结合同角三角函数的基本关系式sin2B+cos2B=1即可解答;第(2)问结合第(1)问及面积公式求出a c的值，再利用余弦定理即可解决。

上式两边平方，整理得17cos2B-32cosB+15=0。

所以b=2。

点评:对于第(1)问，要从结构特征观察出解题方向;对于第(2)问，求出a c=之后，原本可以结合a+c=6，解出a，c，再由余弦定理b2=a2+c2-2a ccosB求出b，但这个方程组不易解，所以利用b2=a2+c2-2a ccosB=(a+c)2-2a c(1+cosB)把a+c=6整体代入即可求解，从而减少了运算量。

例2(20 16年全国Ⅰ卷理17题)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)=c。

(1)求C。

分析：第(1)问先由正弦定理入手，再结合两角和的正弦公式及内角和定理，解出cosC=，从而求解;第(2)问给出了边c，而第(1)问求出的正是其对角C，所以可结合余弦定理，再结合面积公式即可求解。

解析：(1)由2cosC(acosB+bcosA)=c，结合正弦定理得2cosC(sinA·cosB+sinB·cosA)=sinC。

所以2cosC·sin(A+B)=sinC。

因为A+B+C=π，A，B，C∈（0，π），所以sin(A+B)=sinC＞0。

所以(a+b)2-3a b=7，可得(a+b)2-18=7，故a+b=5。

点评:第(1)问在两边约去sinC时，要根据角的范围指出sinC≠0;第(2)问由面积公式求出a b=6，再结合余弦定理得出另一个方程7=a2+b2-a b，二者联立即可求出a，b，从而求出周长，但若利用余弦定理的变形c2=a2+b2-2a b·cosC=(a+b)2-2a b-2a bcosC，则可以直接求出a+b，从而更快捷地求出周长。

例3(20 13年新课标Ⅱ卷理17题)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB。

(1)求B。

(2)若b=2，求△ABC面积的最大值。

分析：第(1)问先用正弦定理，再根据式子结构特征，利用内角和定理及诱导公式，得出sinA=sin(B+C)，从而整理即可求解;第(2)问中知道了边b，结合角B，可利用余弦定理及基本不等式求出a c的最大值，再结合面积公式求解。

解析：(1)因为a=bcosC+csinB，所以由正弦定理可得:

sinA=sinBcosC+sinCsinB。

所以sin(B+C)=sinBcosC+sinC·sinB，即cosBsinC=sinCsinB。

(2)由余弦定理可得b2=a2+c2-2a ccos，即4=a2+c2-2a c。由不等式

得a2+c2≥2a c，当且仅当a=c时取等号，所以4≥(2-2)a c，解得a c≤4+22，即，即△ABC面积的最大值为

点评:第(1)问与例2正好相反，例2中是逆用两角和的正弦公式sinA·cosB+sinB·cosA=sinC，而本题是把sinA换成sin(B+C)再展开整理;第(2)问和例2类似，都是知道了一条边及其对角，再利用余弦定理进行求解。

例4(20 12年新课标卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+3asinC-b-c=0。

(1)求A。

(2)若a=2，△ABC的面积为 3，求b，c。

分析：第(1)问先用正弦定理，再根据结构特点，将sinB换成sin(A+C)，展开后利用辅助角公式得出关于角A的方程求解;第(2)问利用面积公式和余弦定理即可求解。

a2=b2+c2-2b ccosA⇔b+c=4。

由以上两式解得b=c=2。

点评:本题与例2类似，只不过例2的第(2)问是求周长，本题是求两条边长，但实质上是一样的。

规律总结：由上面四道高考试题，可以看出它们都有一个规律，即第一问都是求角，主要利用正弦定理把已知条件进行变形，同时要观察式子的结构特征，充分利用内角和定理，两角和与差的公式进行恒等变形，得出所求角的一个三角函数值，进而求解。而第二问则是给出了上一问所求的角的对边，或其两边的关系，然后利用余弦定理、面积公式进行求解，在求解中要注意余弦定理的变形，结合整体代换，从而可以减少运算量。

在20 17年新课标Ⅰ卷17题中，第二问的考查就体现了上面的规律。

例5 (20 17年新课标Ⅰ卷17题)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，

(1)求sinBsinC。

(2)若6 cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长。

由余弦定理得b2+c2-b c=9，即(b+

点评:本题第(2)问结合两角和的余弦公式求出角A，又知其对边长，所以利用余弦定理及面积公式即可求解。

编者注：总之，高考试题是高三进行复习的最好的载体，本文只是抛砖引玉，希望同学们能从高考试题中总结规律，指导复习方向。