焦 博，郝金明，刘伟平，张 辉，温旭峰，师一帅

信息工程大学地理空间信息学院，河南 郑州 450001

精密单点定位(precise point positioning,PPP)仅靠单台接收机便可高精度确定位置，在形变监测、工程测量、地球动力学等方面得到了广泛应用[1]。但由于受到未校准相位延迟(uncalibrated phase delays,UPD)的影响，PPP中模糊度通常表现为实数，而准确固定模糊度有利于提高定位的收敛速度和精度[2-3]。国内外学者为实现固定解PPP，提出了小数周偏差(fractional cycle bias,FCB)法、整数钟法、去耦钟差法等方法[4-6]，且已有研究证明了上述方法的等价性[7-8]。其中，FCB方法提出最早且应用较广：文献[9]最早估计了星间单差的FCB，但限于当时星历的精度，仅能有效分离出宽巷模糊度的小数部分；文献[4]采用IGS(International GNSS Service)参考网数据，成功获得宽巷和窄巷的FCB，实现了单差的固定解PPP；文献[10]引入模糊度基准后生成非差FCB参数，进行了非差的固定解PPP；文献[11—16]也围绕FCB的生成与应用展开了研究。

根据是否进行星间差分可将FCB的解算方法分为非差和单差两种。非差方法假设接收机宽巷FCB足够稳定，利用非差模糊度构建观测方程，同时解算接收机和卫星的FCB。研究表明接收机宽巷FCB单天最大变化可达0.3周，并且接收机重启后宽巷FCB会重新赋值[17]，而非差方法每天仅估计一组卫星宽巷FCB，故非差FCB会受到接收机端FCB的不利影响。单差方法则通过星间单差消除了接收机FCB的不利影响，仅估计卫星FCB，无需平差解算，计算量小。但由于一颗卫星无法与所有卫星直接构成单差观测，因此单参考星FCB的作用范围有限，需播发多个参考星的单差FCB才能保证全球范围的可用性，这将大幅增加传输的数据量。受限于此，单差FCB多用于进行区域参考网内的固定解PPP解算，为保证全球范围的可用性，目前公开发布的FCB参数，均采用非差FCB估计方法。

针对这一问题，本文提出一种单参考星下全星座单差FCB估计方法。该方法利用差分传递的思想，将不同卫星对的单差FCB转换到统一的参考星下。采用与整数无关的抗差初值消除转换后FCB值域边界跳变的影响，采用抗差估计合并FCB。为解决宽巷差异引起的窄巷FCB跳变，解算时先使用合并后宽巷FCB解算各卫星的窄巷FCB，再合并得到改进后的窄巷单差FCB。最后，分别利用静态和车载动态数据验证了改进FCB用于固定解PPP的性能。

1 单差FCB估计方法

星间单差消除了接收机影响，只需估计卫星的FCB。采用无电离层(ionosphere-free,IF)组合解算PPP，将IF模糊度分解为具有整数特性的宽巷和窄巷模糊度，分别固定后得到对应的FCB参数。

1.1 宽巷FCB估计

由MW(Melbourne-Wubbena)组合可得宽巷模糊度浮点解为

(1)

(2)

(3)

(4)

式中，〈·〉表示测站间取平均；nsta为参与解算的测站数。

1.2 窄巷FCB估计

(5)

(6)

(7)

2 参考星转换与FCB合并

2.1 单差FCB的参考星转换

(8)

据式(8)可知，标准差随转换次数的增加而累积，故为限制误差传播仅进行一次转换。

转换后，新参考星下每颗卫星可获取多组单差FCB(6～24组)，获取方法有直接法和传递法两种：直接法仅可应用于两星直接共视时；而传递法则可应用于借助中间星构成的间接共视。表1列出了以s1为目标参考星时，卫星对s1-s2对应的单差FCB获取方法及标准差。理论上获取的多组FCB应当相等，但误差影响会导致其存在差异，窄巷FCB所受影响更大。

表1 单差FCB获取方法

2.2 转换后FCB的合并估计

2.2.1 基于GPHASE初值的抗差估计

为削弱不同来源FCB间差异与粗差的影响，提高估计精度，采用IGG Ⅲ定权方案下的抗差估计对参考星转换后的FCB参数进行合并估计[18-19]。抗差估计中采用估计初值确定初始残差，初值的好坏直接影响抗差结果，偏差较大的初值甚至会导致估计发散，通常采用中位数或均值作为抗差估计的初值[20]。作为UPD的小数部分，FCB的值域为(-0.5,+0.5]。当FCB真值在值域边界附近时，由不同参数星转换得到的FCB估值为

(9)

图1 值域边界附近的FCB序列Fig.1 The FCB sequence near boundaries of the range

为消除值域边界跳变对FCB合并的影响，采用文献[21]提出的与整数无关的GPHASE函数计算抗差估计的初值。该函数利用三角函数消除FCB整数部分的影响，再用反三角函数得到非整部分，其值域为(-0.5,+0.5]，函数式如下

(10)

(11)

(12)

(13)

2.2.2 FCB合并顺序选择

转换后FCB在合并时有两种解算顺序：一是先采用单差法分别解算出所有参考星的宽巷和窄巷FCB，再分别将宽窄巷FCB转换到目标参考星后进行合并；二是在生成单差宽巷FCB后，先合并得到目标参考星的宽巷FCB，再用合并后宽巷FCB生成单差窄巷FCB，最后对窄巷FCB进行合并。理论上两种方案是等价的，但值域边界跳变会使方案1的窄巷FCB在转换后分布在相差约0.5周的两组中，从而影响到窄巷FCB估值的准确估计。

2.3 改进后FCB生成流程

参照单差FCB估计方法，结合参考星转换与方案2的FCB合并顺序，得到单参考星下全星座单差FCB的生成流程，如图2所示。

图2 改进后单差FCB生成流程Fig.2 The generation process of improved single-difference FCB

3 改进后单差FCB试验

试验解算了2016年1月10日至24日共15 d 的改进后FCB，选取全球180个IGS观测站采样间隔为30 s的数据。按照宽巷一天一组，窄巷每15 min一组估计FCB；宽巷FCB求解时连续弧段长度不小于20 min；参考星转换时要求FCB的标准差小于0.2周；单参考星和转换后FCB的参考星皆为G01星。转换后FCB在合并中，IGGⅢ方案的调和系数为k0=1.5、k1=3.0，收敛阈值10-3。解算窄巷FCB时，为加快无电离层模糊度收敛，在PPP中将测站坐标固定至已知值，其他参数与误差设置如表2所示。

表2 参数估计与误差处理策略

3.1 宽巷FCB分析

单差宽巷FCB的结果如图3所示：左侧为转换后的FCB合并值，右侧为单参考星的单差解。其中G01星为参考星、G04星无观测数据，共有30组单差结果，图中不同颜色曲线分别代表各卫星结果。因无法与G01星直接共视，单星结果中缺少G05、G20、G21、G29星数据；改进方法则可经间接共视获得所有卫星的单差宽巷FCB；除子图(c)中的G32星FCB在解算周期内显著增大，两组宽巷FCB15 d内的变化都小于0.1周。

武汉大学发布了基于多种星历和钟差的非差的宽巷和窄巷FCB产品[11]，法国国家太空研究中心(CNES)在其整数钟产品中也包含了非差宽巷FCB[22]。将上述非差FCB转换到G01星为参考后作外符合基准，对比可得本文FCB的偏差。数据无缺失时，一天共30对宽巷FCB，15 d共450对，定义宽巷FCB的可用率为有值的FCB总数占450对的比例。两组宽巷FCB的统计结果如表3所示。

相比传统结果，改进后宽巷FCB的可用性与稳定性更佳。其中，合并后宽巷FCB全时段可用，平均标准差减小63.0%，与已有产品的差异均值小于0.03。对比CNES和武汉大学的宽巷FCB产品可知，G32星在观测期间内宽巷FCB都存在一致的增长趋势。根据IGS发布的卫星状态信息可知原G32星为BLOCK ⅡA卫星且于2016年1月25日终止了工作[23]，故推测可能因星上设备老化导致其宽巷FCB稳定性劣于其他卫星。

表3 宽巷FCB统计特性

3.2 窄巷FCB分析

3.2.1 窄巷FCB合并方法比较

窄巷波长较短，其FCB受误差影响较大，且考虑值域边界跳变，因此采用GPHASE初值进行抗差估计。图4以2016年1月10日的G11星为例，比较了窄巷FCB的各合并方法，其中彩色散点为转换后FCB序列，黑色曲线为合并估值。对比图4(a)与(b)，值域边界跳变使均值估计偏离真值，波动变大；而GPHASE初值下抗差估计能较稳定地收敛到真值。图4(c)和(d)中先对FCB观测序列进行偏移，以消除边界跳变影响，此时两种估计都能收敛到真值，但均值估计的标准差为0.021，抗差估计则为0.015，稳定性更好。对比图4(b)与(d)，可知GPHASE初值下抗差估计不受值域边界跳变影响。

3.2.2 窄巷FCB生成方案差异分析

估计转换后FCB时应选择方案二的解算顺序，以消除窄巷FCB间可能存在的半周差异。为分析该差异的影响，以2016年1月10日G03星观测数据为例，其合并后宽巷FCB为-0.493，将参考星转换到G01后集中在值域边界附近，如图5所示。

分别采用方案1和2生成G03的窄巷FCB，转换到G01后利用GPHASE函数得到估计初值，图6中彩色散点为不同参考星转换参考星后的窄巷FCB序列，黑色曲线为GPHASE估值。方案1中FCB转换后分布在相差约半周的两组，而GPHASE函数只能消除整周影响，因此方案一中GPHASE初值无法真实反映真值，将影响抗差估计的结果。方案2则不会产生窄巷FCB的半周差异。

图3 宽巷FCB时间序列Fig.3 Time series of wide-lane FCB

图4 不同合并方法下的G11窄巷FCBFig.4 The narrow-lane FCB of G11 using different combining methods

图5 转换后G03的宽巷FCB序列Fig.5 The wide-lane FCB of G03 after conversion

图6 转换后G03星窄巷FCBFig.6 The narrow-lane FCB of G03 after conversion

3.2.3 合并后窄巷FCB特性分析

相比单参考星结果，合并后窄巷FCB的稳定性与连续性更优。经历元间平滑后生成15 min一组的合并后窄巷FCB，作为对照也计算了传统方法下单G01星的单差FCB。图7为2016年1月10日的窄巷FCB变化图，左图为合并结果，右侧为单星结果。单星的窄巷FCB不具备全天的完整结果，序列稳定性较差且存在跳变，日最大变化可达0.4周；而抗差合并的FCB序列全天连续且更稳定，变化小于0.2周。

图7 窄巷FCB时间序列Fig.7 Time series of narrow-lane FCB

合并后FCB的标准差显著小于单参考星结果。图8对比了单星与合并窄巷FCB各历元标准差的均值，其中，单星结果中缺少G20、G21与G29的结果。由于合并后FCB整合了更多观测信息，且抗差估计削弱了粗差影响，故可获得更为可靠的FCB估值。

相比于单星结果，合并结果与外符合精度基准的一致性更好。选取由武汉大学发布且与本文采用相同星历、钟差和DCB参数的非差窄巷FCB，将其参考星转换到G01下并消除窄巷FCB半周差异后，作为外符合精度评判基准。统计单星和合并后FCB与其相比的偏差，结果如图9所示。合并后FCB的偏差小于单星结果，且均不超过0.05周。

图8 窄巷FCB平均标准差Fig.8 Average standard errors of narrow-lane FCB

图9 窄巷FCB平均偏差Fig.9 Average errors of narrow-lane FCB

在无数据缺失时，单颗参考星下一天共应有2880对窄巷FCB，则窄巷FCB的可用率为可用结果在应有总数中的比例。表4统计了窄巷FCB的各项特性，结合图6—图8可得：改进后的窄巷FCB全天可用，其标准差和偏差的均值相比于单星结果分别改善了42.9%和50.8%。

表4 窄巷FCB统计特性

3.3 基于改进FCB的固定解PPP验证

为验证改进后单差FCB的定位性能，分别选取IGS站的静态数据和车载动态数据进行了固定解PPP验证，其参数估计与误差处理策略采用表2的设置。固定模糊度时，使用Bootstraping成功率和Ratio-test进行检核，阈值分别为0.999和3.0[4]；为确保固定正确率，在连续5历元通过检核、标准差小于0.15 m后才更新固定解结果。若固定解偏差大于0.15 m且超出浮点解偏差的1.5倍，则认为模糊度未能正确固定。

3.3.1 静态验证

静态验证时采用图10所示的12个未参与FCB生成的IGS测站，将2016年1月10日至24日的观测数据分为360段，分别采用3种方案进行PPP静态小时解：①浮点解；②采用单参考星FCB的固定解；③采用合并后FCB的固定解。以IGS周解坐标为参考值，评估各方案下北、东、天(north east up,NEU)方向及三维的偏差，方案2和3中只统计正确固定的时段。图11 为各测站方案1到3的NEU方向位置偏差。

相比浮点解，固定解定位精度显著提升，E方向改进最明显；固定解中，两种FCB的PPP在固定后定位精度相近，但合并后FCB的固定率更高。表5给出了各方案的定位精度的统计结果：方案3中E方向误差相比方案1减小了72.1%，三维偏差减小了1.61 cm；方案2固定后的精度与方案3相近。单参考星FCB由于缺失部分卫星的改正数，仅能正确固定64.9%的时段，而改进后的合并单差FCB可固定97.2%的时段，可用性显著提升。

表5 不同方案下静态小时解精度

3.3.2 动态验证

采用2017年12月27日的车载动态数据进行固定解PPP的动态验证，所用接收机为Trimble NetR9，数据采样率为1 Hz，时长为1 h，运动轨迹

如图12所示。在评估动态PPP的定位精度时，以短基线的双差固定解为参考[24]。图13为动态PPP各方向位置偏差的变化曲线，其中蓝色曲线为采用改进后FCB的固定解，红色曲线为浮点解。

图10 静态验证测站分布 Fig.10 The distribution of stations used in static experiments

图11 各测站位置偏差Fig.11 Position errors of each station

图12 动态试验的运动轨迹Fig.12 The track of dynamic experiment

定义动态PPP收敛的条件为NEU方向偏差均小于10 cm，且保持超过20个历元[25]。如图13 所示，动态验证中PPP浮点解需22.9 min才能收敛，且收敛过程中位置偏差存在波动；而固定解的收敛时间缩短了37.5%，仅需14.3 min便可收敛，收敛后不但精度更高且更为稳定。表6 给出了收敛后动态PPP的平均定位偏差和均方根误差(root mean square,RMS)，为保持一致性，固定解和浮点解均从22.9 min后开始统计。由表6的统计结果可见：动态情况下，固定解PPP在收敛后精度可达5 cm以内，三维定位误差相比浮点解减小了61.4%。

图13 动态PPP的位置偏差Fig.13 Position errors of kinematic PPP

表6 收敛后动态PPP精度统计

4 结 论

本文改进了单差FCB生成方法，经差分传递转换了单差FCB的参考星，利用GPHASE初值下的抗差估计对转换后FCB进行合并，并采用先合并宽巷再生成窄巷的解算顺序避免窄巷FCB间的半周差异。采用IGS全球网生成改进后的全星座单差FCB，并进行固定解PPP验证，得出：

(1) 参考星转换后的合并FCB可保证全时段可用，其数据量小于传统单差法，与非差法相当。而传统单差法中单颗参考星的宽巷和窄巷FCB的可用率仅有86.70%和71.7%。

(2) 合并后FCB在准确性和稳定性等方面均优于单参考星结果。其中，合并后宽巷FCB在15天内的变化小于0.1周，窄巷FCB单天内变化不超过0.2周；与现有产品相比，宽窄巷FCB的平均偏差都在0.04周内。

(3) 利用合并后FCB进行PPP固定解，定位精度相比浮点解显著提升，固定率相比单星FCB大幅提高。静态解算时，NEU方向精度分别提高了0.45 cm、1.37 cm和0.69 cm，3D偏差减少了46.8%；应用改进的单差FCB进行固定解PPP的固定率相比单星FCB提升了32.3%，固定后位置偏差减少了16.4%。动态PPP解算时，固定解平均收敛时间为14.32 min，相比浮点解加快了37.5%，收敛后RMS为4.85 cm，减少了61.4%。