何宏骏,崔岩,孙观

(上海工程技术大学机械工程学院,上海 201620)

1 引言

近年来,关于时滞系统的研究成为热点课题,人们越来越重视理论与实际的联系.时滞是广泛存在于社会中且无法避免的一种延迟现象,如通信线路中常常会遇到信号堵塞的问题,经济学中的察觉时滞,交通运输中的传递拥堵,蒸气和流体在管道中的流动,电信号在长线上的传递等,都有时间延迟.广泛的时滞现象并不能直接加以研究和控制,必须建立相应的数学模型,转而研究其带有时滞项的微分方程.自从1963年Lorenz建立数学模型并提出第一个混沌系统[1]以来,专家学者们进行了大量的理论研究,随后也相继提出许多混沌系统,Chen系统[2],Lu系统[3],Liu系统[4],Qi系统[5],Chua系统[6]等.目前对于不含时滞的Lorenz系统,Chen系统等在图像加密,保密通信,控制工程等领域都有非常成熟的理论和丰富的实践.但关于时滞的Chen系统的文献较少,故本文为后续进一步研究时滞类Chen系统提供了理论依据.

在图像加密领域,2013年邹本娜等[7]根据Lorenz系统的特性,设计了一个针对真彩色图像的加密算法,通过在电子商务网站实践,获得良好的效果.在故障分析领域,2015年许师凯等[8]针对机械系统故障信号弱的问题,提出了一种新的关于Lorenz系统的故障检测法,并通过转子冲击实验成功验证了该方法的有效性.在保密通信领域,2013年何建斌等[9]通过研究超混沌Chen系统,提出了具有双重加密效果的分数阶超混沌Chen系统的视频加密通信方法,通过实验验证了该方法具有优异的加密效果和极强的安全性.2015年郭祖华等[10]提出一种基于Chen系统的新的加密算法,通过实验得出该算法具有防破解,抗干扰能力强,对加密对象的高适应力等特点.在其他领域中,也有很多成果.2017年杨志宏等[11]研究了导分数阶Chen系统的动力学特性并通过多种混合电路成功实现该系统.2014年达朝究等[12]成功建立了基于Lorenz系统的数值天气转折期预报理论,为天气预报提供了一种新的理论方法,具有很高的应用价值.

关于时滞系统的研究近几年才火热起来,目前大多数文献是关于Lorenz系统的研究.2014年李德奎等[13]通过分析平衡点的稳定性给出了单时滞类Lorenz系统的Hopf分岔条件.2015年王志强等[14]在文献[13]的基础上研究了时滞类Lorenz系统的Hopf分岔问题并给出产生极限环的条件,运用数值仿真验证结果.2017年李文娟等[15]进一步研究了时滞扰动类Lorenz系统的Hopf分岔问题,对一些已有文献的研究成果进行了推广.从现有文献来看,关于时滞的Chen系统的文献较少,本文将chen系统的第二个非线性方向改为:

从而得到一个新的单时滞类Chen系统.以该一类新的单时滞Chen系统为对象,根据文献[11]中所提出的分析方法,结合规范型定理和Hopf分岔定理,分析该系统的平衡点的稳定性并给出Hopf分岔的发生条件.通过多组仿真实验验证了理论分析的正确性,为以后单时滞类Chen系统的实际应用提供了理论依据,也为进一步研究双时滞类Chen系统和时滞扰动类Chen系统铺设道路.

2 系统分析

本文所研究的单时滞类Chen系统状态方程如下:

其中[x,y,z]T∈R为系统(1)的变量a,b,c为系统(1)的参数.由文献[16]知,当a≥2c时,系统(1)有唯一个平衡点为A(0,0,0),而当a<2c时,有如下两个关于Z轴对称平衡点:

2.1 稳定性分析

根据规范型定理结合文献[15]提出的方法,首先对平衡点A(0,0,0)进行分析.系统(1)在

该点处线性化后可表示为:

系统(2)对应的雅可比矩阵为:

上述雅可比矩阵对应的特征方程为:

其中

引理 2.1 当时滞项τ=0时,系统(1)在平衡点A(0,0,0)处是渐进稳定的.

证明 令时滞项τ=0,则由方程(3)有

根据Routh-Hurwitz判据可知,方程(3)所有特征根均有负实部,需满足以下条件1:

条件 1:当且仅当p1>0,p3+p5<0,p1(p2−p4)+p3+p5.方程(3)所有特征根实部均为负.

将对应参数带入上述不等式可知,当a≥2c时,系统在平衡点A处渐进稳定.故当时滞项τ=0时,系统(1)在平衡点A处是渐进稳定的.

2.2 Hopf分岔分析

设时滞项τ>0,则λ=±iω(ω>0)为特征方程的一对纯虚根.将其带入方程(3)中可得

化简方程(4)后可得如下方程组:

将方程组(5)两边平方后相加可得关于ω的一元六次含参方程如下:

引理 2.2方程6至少含一个正的实根.

证明 令x=ω4,则方程(6)可转化为如下形式:

对以上等式可做如下变化,令

则方程的根的问题转化为求方程(7)至少有一个正零点.对方程(7)做如下变换:

显然有

对于

根据条件1可知p3+p5<0,则g(0)<0.故g(x)在(0,+∞)上必有一点x0使得g(x0)=0成立,证毕.

根据以上验证,设ω0为方程的一个正实根,则根据方程组(5)可得

可得时滞参数τ为:

根据 (8)式可知 (3)式的解为 (ω0,τn),即 λ=±iω(ω>0)为特征方程的一对纯虚根.取时滞参数τ=τ0,即为最小时滞参数.下面针对系统在该点处Hopf分岔给出分岔条件,设方程的特征根为

引理2.3若

则

证明 对(3)式两边关于时滞τ求导,可得

由(3)式可得

将其带入(9)式,有

将其特征根λ=±iω(ω>0)带入上式,有

将其特征根λ=±iω0带入特征方程中,可得如下等式

又因 e−iωτ=cosωτ−isinωτ且 |e−iωτ|=1,故将上式两边取绝对值,可得

根据(10)式-(11)式可得

因为

符号具有一致性,故引理2.3成立.结合 Hopf分岔定理,若g′(ω20)>0,则有如下结论:

a.当τ∈[0,τ0]时,系统(1)在 A(0,0,0)点处是渐进稳定的.

b.当 τ>τ0时,系统(1)在A(0,0,0)处有稳定的极限环.

c.当τ=τn时,系统(1)在A(0,0,0)处发生Hopf分岔并产生极限环.

根据以上结论结合 Hopf分岔定理[15]可得,系统Hopf分岔发生在参数值 τ>τn时发生Hopf分岔并产生极限环.当τ>τ0时,极限环仍然稳定,即极限环是在参数大于τn的范围内存在,根据Hopf分岔定理可知,此时系统发生的是超临界Hopf分岔.

3 数值仿真

本节利用matlab仿真软件对含时滞项的系统(1)进行数值模拟算例,验证上一节中理论分析结果的正确性.根据前文分析取系统参数a=5,b=1,c=1,系统(1)为如下形式:

根据(6)式可得关于ω的方程:ω6+27ω4−349ω2−375=0.解此方程可得唯一正根ω=3.213且 g′(ω20)=527.78>0.根据结论(8)计算可得时滞系数τ=0.2176,上述结论转化为:当系统参数a=5,b=1,c=1时:

a.当τ∈[0,0.2176]时,系统(1)在A(0,0,0)点处是渐进稳定的.

b.当 τ≥0.2176+0.6225nπ(n=0,1,2,···)时,系统 (1)在 A(0,0,0)处发生超临界 Hopf分岔并产生稳定的极限环.

结合上述结论,运用matlab仿真软件,将数值带入系统进行仿真,并给出不同时滞项下系统的状态相图,验证结论正确性.当时滞系数τ=0.21时，系统时间序列图如图1所示,可以从图中观察到,从积分起始点(1,1,1)到稳定仅仅经历了大约70个积分时间,最后稳定于平衡点(0,0,0),此结果说明结论a是正确的.当时滞系数τ=0.22时,系统时间序列图如图2所示,由于此时时滞系数已经经过分叉点τ=0.2176,根据结论b,此时已经产生极限环.也不难从图中观察到,从积分起始点(1,1,1)开始,大约5个积分时间左右已经进入稳定的震荡,即产生了极限环,并持续稳定在该状态,结论b得到初步验证.

图3为单时滞Chen系统关于时滞参数τ的局部分岔图,容易从图中观察到,τ=0.2176为系统的分岔临界点.当 τ<0.2176时,单时滞 Chen系统为渐进稳定的,最终趋近于点A(0,0,0).当τ=0.2176时,系统发生超临界Hopf分岔,产生了稳定了极限环.图3进一步验证了上述结论的正确性.

为了更加直观的观测到各个时滞系数下系统的实际状态,在图 4中同时给出了3个不同时滞系数下的系统相图在xy平面的投影,并用不同线型区分.从图 4可以观测到,时滞系数 τ=0.21时,系统相图投影为虚线所示区域,系统从迭代起始点 (1,1,1)逐渐向平衡点(0,0,0)靠近,最终稳定在平衡点.而当时滞系数τ=0.22时,系统相图投影为实线所示区域,系统从迭代起始点(1,1,1)开始不再向平衡点靠拢,而是产生了极限环,进入震荡状态,最终稳定在极限环上.当时滞系数τ=0.25时,系统相图投影为三角实线所示区域,此时系统所经历的过程与τ=0.22类似,唯一不同的就是所产生的极限环幅值不同.经过多组重复实验,验证了当τ≥0.2176时,系统发生超临界Hopf分岔产生极限环且稳定性不错,进一步验证了结论b的正确性.

图1 时滞系数τ=0.21时系统时间序列

图3 时滞Chen系统局部分岔图

图2 时滞系数τ=0.22时系统时间序列

图4 时滞系数τ=0.21,0.22,0.25时系统xy平面投影

4 结论

本文以单时滞类Chen系统为对象,针对其平衡点的稳定性和Hopf分岔问题,根据Routh-Hurwitz判据和Hopf分岔定理,通过分析系统在对应平衡点处其线性化系统的根的分布情况,给出了其零平衡点的稳定性和Hopf分岔存在和产生的条件.运用matlab仿真软件,取一些系统参数对理论分析进行验证,重复仿真结果表明理论分析的正确性.本文采用文献[14]中的方法对单时滞类Chen系统进行简要分析,为时滞类Chen系统在保密通信等领域的应用提供了理论依据.