张向东

数学概念是数学知识体系的基石，是理解并掌握数学理论和方法的基础。初中数学教材常用非严格的语言（范例+描述）对数学概念进行简洁、形象、定性的陈述，我们称之为描述性定义。如二元一次方程组的概念，湘教版是这样定义的：像这样，把两个含有相同未知数的二元一次方程（或者一个二元一次方程，一个一元一次方程）联立起来组成的方程组，叫做二元一次方程组。

从数学科学的角度讲，每个概念的表述应该是严密、精确的，但从数学教育的角度来看，对一些概念给出严格的定义是没必要的，有时也是不可能的，如二次根式、函数的定义。如何权衡二者的关系，苏步青先生有一句名言：中小学教材可以混而不错。不错是大前提，关注的是大方向、本质；混是放松严格性的要求，现阶段讲不清楚的问题用写意的方式说明，但仍不失其真。因此，教师们不妨从以下两个方面来理解描述性定义的适当性。

1.从当前的教育需求看描述性定义够用。

2.从学生的认知现实看描述性定义好用。

数学概念具有抽象概括性、严密的逻辑关系以及运动、变化、联系的思想等特性，而初中学生抽象概括水平不高、逻辑思维能力偏低、易受思维定式束缚。综合考虑数学概念的特性和学生的可接受性，对一些概念给出描述性的定义，学生可以通过阅读通俗易懂、简洁明了的语言，结合范例和描述，从具象到抽象，快速领悟概念的实质。

总之，描述性定义从数学教育的立场上尊重了学生的认知现实与学习需求，虽然从数学科学的立场上有失严谨性，但整体上有利于发展学生的数学素养。因此在初中阶段对一些概念仅给出描述性定义是适当的，也是必需的。

课程改革从“一纲一本”到“一标多本”，教材观也随之发生变化。在统一教材的时代，教科书是教学活动的唯一载体，教科书在教学过程中是神圣的、不可替代的。在“一标多本”的时代，教科书不再是包办一切的登山缆车，而是学生攀登科学高峰的助力工具；教材不再是固化定型的统一模具，而是培养人才的重要载体之一；所选用的教材不再是“圣经”，书中的结论也不再是“圣旨”。

教学实践中，不少教师认为概念的定义应该是百密而无一疏。经常有教师对教材中诸如二（三）元一次方程组、相似等概念的描述性定义提出异议，甚至有教师囿于描述性定义的文字内容进行错误判断。教师只有更新教材观，了解描述性定义的特点，才能消除因描述性定义的严谨性不够带来的教学困扰。

对于概念的描述性定义的教学，教师既要立足当前，关注概念在当下教学的地位与作用，满足学生现时数学学习的需求；又要着眼于长远，关注概念的本源与在学生学习历程中的流向，有利于学生后续在数学上的发展。

引导学生区分运用不同形式的定义。初中数学教材中，既有描述性定义界定的概念，又有通过归纳类比或抽象给出严格定义的概念，如平行四边形的定义。严格定义中给出了充要条件，其逆命题也是成立的。描述性定义因严谨性不够，要防止学生死搬硬套定义；对于接受能力强的学生提出有关延伸性问题，教师要站在教材编写的角度与更高的知识高度对学生进行说明，激励学生通过下一阶段的学习提升认识。

引导学生全面准确地认识描述性定义。教师自身要站在数学科学的高度把握描述性定义的本质，在课堂教学中引导学生由表及里，由局部到整体形成全面准确的认识。首先要结合范例和描述了解概念的实质，再根据概念的形成或同化过程细细品味其未尽之意。如人教版关于一元二次方程是这样定义的：

像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

上述定義并未涉及一元二次方程的判断前提。在概念的形成过程中，教材（含章节前言）呈现了3个实例，得到了3个方程x2+2x-4=0、x2-75x+350=0、x2-x=56。以上3个方程都是经过整理（移项、合并同类项）后所成。结合概念的形成过程，就会知道判断一个方程是否为一元二次方程的前提是“方程经过整理后”。

引导学生逐步深入地认识描述性定义。对于描述性定义，随着学习的深入，学生对所刻画的数学概念的认识由单一到全面、从模糊到精确。在教学中，可以通过后续相关概念的学习，从概念的比较与联系中矫正错误、深化认识。

首先要引导学生抓住同类概念的共同属性。如湘教版关于相似是这样定义的：“直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的图形与原图形是相似的。”定义本身只是描述这样的图形是相似的，但学生易错认为相似的图形一定是大小不等的。在后续相似三角形的学习中，学生就会认识到全等形也是相似形，这样上下结合能帮助学生抓住相似形的本质属性，防止以偏概全。

其次要引导学生对概念的逻辑关系进行分析。如在学习矩形、正方形后，对二者的关系进行辨析，完善小学关于长方形的认识，正确认识长方形的长与宽的大小关系。

恰当处理相关概念的训练问题。首先，描述性定义是为了便于学生认识、方便交流，不必倾注过多精力在描述性定义的应用训练中，对这些概念的内涵与外延进行拓展训练就更没有教学意义，如下列问题就不宜作为学生训练与教学评价材料。

教材中称整数和分数统称有理数，从更高的视角看，整数也是分数，整数和分数统称有理数的说法是欠妥的。教材中称单项式与多项式统称为整式，从更高的视角看，单项式可以看作多项式。教材之所以这样表述，是为了使学生在认知可能的前提下对有理数、整式的意义有一个初步的认识，便于学生掌握。实际教学中既要关注其对立性，又要关注其统一性，过于强化对立性，不利于培养学生的辩证思维。【本文系湖南省教育科学“十三五”规划立项课题“初中数学‘自主·深度教学的实践研究”（课题号：XJK016BZXX040）的阶段性成果】

（作者单位：沅江市教育局教育研究室）