谢伟林，聂 华，孙容磊，孙柏杨

1 引言

传统轮式机器人对地形要求比较高，无法适应复杂地形，比如一些火灾或地震等灾害现场。而模仿自然界的四足动物（如猎豹）的四足机器人，相比于传统的轮式机器人具有更大的灵活性，可以适应比较复杂的地形，代替人类进入危险区域，完成传统轮式机器人无法完成的任务。目前，国内外在四足机器人领域展开了大量研究[1-9]。国外，美国波士顿动力学工程公司的“BigDog”[1-2]四足机器人采用液压缸为腿部驱动元件，机身采用框架式结构，它可以适应多种复杂地形，包括走室内楼梯和爬坡。Semini的“HyQ”[3-4]机器人采用电，液混合驱动，可以实现四足机器人的跑动和跳跃动作。国内，山东大学[6]设计出高性能的液压驱动四足机器人SCalf，并实现了机器人平稳快速运动。上面提到的四足机器人每个关节都配有一个独立的驱动源。

事实上，四足动物的关节运动具有协同性[10]。这里的协同性是指四足动物在某种步态下各关节运动的角度并不是相互独立的，而是具有一定的协同性。换言之，少量的生物信号输入以协同的方式控制复杂的关节运动。四足动物的这种运动特点可以简化四足机器人的设计和控制；软件上减少控制输入，硬件上减少电机数量，减轻重量。尽管国内外利用生物关节运动的协同性设计机器人的研究[10-14]已经开展，比如文献[13]运用主成分分析方法对人在跑步机上做不同动作和在不同运动速度下的运动数据进行主成分分析，设计出驱动电机数目少于人类关节数的二足机器人，但仍然没有利用少驱动重构四足生物步态的机器人相关设计。立足于此，文章开展了下面的研究。

基于主成分分析方法研究了少驱动的四足机器人设计问题。通过提取四足动物各个关节的运动主元，舍去影响较小的主元，保留对运动起主要作用的主元并得到新主元重构关节运动的转换矩阵，建立实现转换矩阵的几何约束条件，利用几何约束条件设计出少驱动的四足仿生机器人，使腿部的驱动电机数目从8个减少到4个，并保留主要运动特征，最后仿真分析验证了设计的正确性。

2 猎豹Gallop步态下的协同性分析

2.1 主成分分析（PCA）方法简介

主成分分析是多元统计分析学中一种处理高维数据的方法，它通过投影的方法，将高维的数据以尽可能少的信息损失投影到低维空间，使数据降维，达到简化数据结构的目的[15]。

设原始变量矩阵X为：X=［X1…Xm］T

因此降维后X可由重构变量X′近似代替：X′=AY式中：A—转换矩阵；Y—由保留的主元组成的变量。

X′与X的近似程度可以由保留的主元的方差在总方差中所占的比例大小来衡量。具体的数学推导方法见文献[15]。

2.2 猎豹Gallop步态下的协同性分析

本研究用的猎豹的实验数据来自Motion Capture Club公司。文章接下来将把猎豹的所有关节角度分为：4个髋关节，4个膝关节和每条腿的膝关节和踝关节3组，并对这3组分别做主成分分析。这样处理是为了方便后面的机械结构设计。

2.2.1 猎豹4个髋关节主成分分析

猎豹4个髋关节主成分分析碎石图，如图1（a）所示。碎石图表示保留的主元个数与舍去的主元的方差在总方差中所占的比例的关系，利用碎石图可以直观评估保留的主元包含的原始信息量。图中x轴表示保留的主元的个数k，y轴表示舍去的主元的方差在总方差中所占的比例q。显然，q越小，保留的主元包含的原始信息量越大，利用保留的主元重构的角度与原始角度越接近。当q=0（即保留所有主元）时重构角度与原始角度是一致的。由图1（a）可知当k取2时，q足够小，即保留的主元包含足够多的原始信息。当k取2时，由新主元重构得到的4个髋关节角度与原始角度之间的比较，如图2所示。可以看到重构数据与原始数据重合度很好。

图1 髋关节和膝关节碎石图Fig.1 Scree Plots of Hips and Knees

图2 k取2时，4条腿的髋关节的重构角度与原始角度之间的比较。Fig.2 Comparison Between Reconstructed Angles of Hips of 4 Legs and the Original Angles，when k is Equal to 2

2.2.2 猎豹4个膝关节主成分分析

由图1（b）可知当k取2时，q足够小，即保留的主元包含足够多的原始信息。当k取2时，由新主元重构得到的4个膝关节角度与原始角度之间的比较。可以看到重构数据与原始数据重合度很好，如图3所示。

图3 k取2时，4条腿的膝关节重构角度与原始角度之间的比较。Fig.3 Comparison Between Reconstructed Angles of Knees of 4 Legs and the Original Angles，when k is equal to 2

2.2.3 猎豹腿膝关节和踝关节主成分分析

由于猎豹的左右脚是对称的，只需要取猎豹的一只前脚和一只后脚做分析。对猎豹的前脚和后脚的膝关节与踝关节主成分分析的碎石图，如图4所示。由图可知当k取1时，q足够大，包含足够多的原始信息。当k取1时由主成分重构的膝关节和踝关节角度与原始膝关节和踝关节角度对比。前脚膝关节、后脚膝关节、后脚踝关节重构角度与原始数据重合度很好，前脚踝关节略差。但从肢体运动层面来看，前脚的整体运动仍然是仿生的，这点可以由图10看出。

图4 膝关节和踝关节碎石图Fig.4 Scree Plots of Knees and Ankle

2.3 分析结果解析

由前面分析可知4个髋关节可以由2个主元来重构，其数学表达式为

式中：X—髋关节角度重构数据矩阵；Y—2个主元构成的矩阵；A—转换矩阵。

同样4个膝关节角度也可以由2个主元来重构，其数学表达式形式同方程（1）。最后每条腿的膝关节和踝关节可以由1个主元来重构，其数学表达式为：X1=k1Y；X2=k2Y （2）

式中：X1，X2—膝关节和踝关节重构数据矩阵；Y—一个主元构成的矩阵；k1，k2—比例系数。

显然，每条腿的膝关节和踝关节提取的1个主元与4个膝关节提取的2个主元之间具有线性关系。因此猎豹所有关节一共可以提取出4个相互独立的主元，因此理论上仿猎豹四足机器人只需要4个电机既可以驱动所有关节。

3 转换矩阵机械结构的实现

3.1 转换矩阵分解

方程（1）中的矩阵A可以做如下分解：

3.2 转换矩阵R的机械结构设计

现在建立满足式（6）和式（7）得几何约束。如图5（a）定义点A和B为输入，点C为输出。则点A，B和C应满足：（1）点A，B和C分别在直线x=xA，x=xB，x=xC上，且xA≠xB。（2）A，B和C3点共线。

由此可以得到输入与输出的关系式：

则式（6）和式（8）是等价的。因此可以用图5（b）的滑块导线机构来设计满足这个几何约束机械结构。

图5 满足式（6）和式（7）的几何约束和机械原理图Fig.5 Geometrical Constraint and Schematic Diagram Satisfying Formula（6）and（7）

3.3 转换矩阵S的机械结构设计

因为S是个对角矩阵，所以输入输出的关系是一一对应。另外转换矩阵R的机械结构输出的运动是平动，最后要求的输出是关节的转动。所以转换矩阵S的机械结构输入运动应该是平动，输出运动是转动。满足这两个条件的机械结构有很多。如，绳传动机构，齿轮齿条机构，滑块和摇杆机构等。考虑结构紧凑性，选择绳传动机构。转换矩阵S是机械结构的机械原理图，如图6所示。

图6 实现转换矩阵S的机械原理图Fig.6 A Schematic Diagram Implementing Transmission Matrix S

3.4 转换矩阵A的机械结构

数学上A=SR，因此转换矩阵A的机械结构可以看成转换矩阵S的机械结构和转换矩阵R的机械结构的串联。因此可以得到转换矩阵A的机械结构。

4 机械结构优化

由式（8）和式（9）可知，在图 5（a）中当直线 x=xA，x=xB固定时，直线x=xC的位置取决于ri2的值。当ri2＜0时，直线x=xC在直线x=xA左边；当 ri2=0 时，直线 x=xC与直线 x=xA重合；当 0＜ri2＜1 时，直线x=xC在直线x=xA，x=xB之间；当ri2=0时，直线x=xC与直线x=xB重合；当ri2＞1时，直线x=xC在直线x=xB右边。因此ri2取1或0时，可以减少杆的数目，从而简化机械结构。另外，改变ri2的值，还可以改变各根杆的相对位置，从而可以使结构更紧凑。下面给出一种优化方法，来达到这2个目的。显然，X=AY并不是矩阵X唯一的分解形式。这里定义一个可逆矩阵T：

因此矩阵X可以表示为：X=ATT-1Y=JK

其中，J=AT；K=T-1Y

显然这种转换不会改变输出。把矩阵J分解成A的形式：

其中，mi1+mi2=1

为了方便，这里令方程（8）中：xA=0；xB=d

接下来建立4个约束条件：

（1）为了使两根输出杆和两根输入杆重合，可以令：

（2）因为任意2根杆之间的距离Δx不可以无限小（至少要大于滑块的宽度），也不可以无限大。因此，Δx应满足：

这里minΔx，maxΔx的值由机器人大小和零件大小而定。

（3）同样，因为线轮的半径值也不能任意取，因此，ni也应满足：min n≤ni≤max n（i=1，2，3，4）

（4）矩阵T为可逆矩阵。

由以上4个约束条件可得方程组：

由此解出 4 个最优解 f1，f2，θ1，θ2，进而求出矩阵 N，M。

5 四足机器人的设计及仿真

5.1 四足机器人的设计结构

膝关节的转换矩阵的机械结构，如图7所示。具体参数，如表1所示。髋关节的机械结构与膝关节相似。腿部膝关节和踝关节采用同步带传动。前腿的膝关节的带轮直径与踝关节带轮直径的比为1.48；后腿的膝关节的带轮直径与踝关节带轮直径的比为1.15。

表1 膝关节的转换矩阵的机械结构的参数Tab.1 The Parameters of the Mechanical Structure of Transmission Matrix of Knees

图7 膝关节转换矩阵A的机械结构的三维模型Fig.7 Three-Dimensional Model of Mechanical Structure of Transmission Matrix a of Knees

5.2 四足机器人的仿真

四足机器人在Gallop步态下，如图8所示。利用Solidworks做的仿真效果图。可以看出，四足机器人的运动姿态跟猎豹的Gallop步态比较相似，其中后腿的运动比较符合猎豹的运动，但前腿有点变形。出现这个问题可能是因为没有考虑四足动物的脊椎运动。为了避开这个问题目前多数四足机器人前腿的结构采用和后腿一样的结构，也就是设计成前后腿对称的结构，比如文献[1、10]。可以看成两种轨迹重合度很好。其中四足机器人后腿末端轨迹和猎豹前腿末端轨迹的重合度比前腿高。这一点和前面的分析结果一致。

图8 四足机器人的仿真效果Fig.8 The Result of the Simulationof the Quadruped Robot

6 结论

从仿生学的角度出发，基于主成分分析方法分析了猎豹在Gallop步态下的协同性。不同于传统的整体步态或者针对某一个腿的步态进行分析，对髋关节与膝关节分开研究，发现四个髋关节与四个膝关节的复杂运动分别仅需要两个主元便可重构；基于此，开发出驱动电机数目只有4个（2个电机协同驱动4个髋关节，2个电机协同驱动4个膝关节，膝关节与踝关节通过同步带轮耦合），结构紧凑的四足机器人。利用Solidworks仿真验证了机器人设计的合理性。另外，基于髋关节和膝关节分组研究得到的结果从新的角度揭示了四足动物各关节运动的协同关系；同时提出的可复现生物复杂步态的少驱动四足机器人设计方法对于其他仿生机器人的设计具有借鉴意义。