吴卫东，王斯特，王晓丹

1 引言

掘进臂是液压凿装机在凿岩作业时的主要工作机构。掘进臂的凿岩作业覆盖面即其工作空间在巷道断面上的投影，是对其进行结构设计时一个非常重要的参数[1]。目前对机械臂工作空间投影面积和体积的计算方法通常采用解析法、图解法和数值法。文献[2]分别采用解析法和数值法求解某平面机器人工作面积，解析法精度更高，数值法计算效率更高。文献[3]采用图解法绘制机器人在平面上的包络曲线，然后扩展到三维空间求解其工作空间体积。文献[4]通过在Matlab中建立串联机械臂仿真模型，绘制其工作空间包络图。文献[5-6]采用基于数值法中的蒙特卡洛法对机械臂的工作空间进行了求解，通过自适应网格划分方法求取了该工作空间的体积。

工作空间的边界提取是计算工作空间面积和体积的重要步骤。文献[7-8]分别采用栅格法和距离权重法来精确提取工作空间边界点。由于蒙特卡洛法在边界处随机点分布密度较低，导致计算速度和精度存在一定的局限性。文献[9]利用分布函数取代均布函数以增大边界处随机点分布密度。文献[10]提出在边界处局部扩展随机点，重新搜寻边界点，提高了计算精度。文献[11]结合局部坐标法和角度划分法提取边界随机点，计算精度较高。提出一种基于压缩关节自由度的分段极值法生成边界作业面，利用层切法提取边界点，对其作业覆盖面积进行计算，分析掘进臂结构参数对作业面积的影响。

2 运动学分析

掘进臂可以看作5自由度的关节型机械臂，将钎头看作掘进臂的末端执行器，各部件看作连杆，采用D-H方法[12]建立的连杆坐标系，如图1所示。根据某液压凿装机的设计参数，建立掘进臂参数表，如表1所示。由表1的D-H参数利用齐次变换矩阵[12]得到钎头相对支座的位置向量为：

其中，si=sinθi，ci=cosθi，sij=sin（θi+θj），以此类推。

图1 掘进臂连杆坐标系Fig.1 Link Coordinate System of Driving Arm

表1 掘进臂D-H参数Tab.1 D-H Parameters of Driving Arm

3 工作空间求解

3.1 作业覆盖面生成

由式（1）可知，掘进臂的工作空间是由5个相互独立关节变量之间的组合［θ1，θ2，θ3，θ5，a6］来确定的。蒙特卡洛法是将工作空间构造成一个随机概率模型，随机生成大量的关节变量组合，代入位置向量方程，求解对应的坐标值，并投影到巷道断面中得到凿岩作业覆盖面，但由于能达到边界的关节变量组合较少，随机点大多数分布在凿岩作业面内部，如图2所示。因此，采用一种基于压缩自由度的分段极值法来生成凿岩边界作业面，具体步骤如下：（1）压缩自由度：掘进臂关节变量参数中，a6相对于参考坐标系为x轴平移变量，θ2和θ3为y轴旋转变量，θ1和θ5为z轴旋转变量，由于凿岩作业面内部无作业死区，为使随机点尽可能分布在外围边界处，令a6取最大值。故将5自由度压缩为2自由度［θ1+θ5，θ2+θ3］，由于掘进臂的左右摆角对称，分别取θ1和θ5的摆角范围（0～30）°为和（0～25）°；（2）分段极值：令钎头仰角最大，垂直于巷道顶部，使和在转角范围内随机取值，代入位置向量方程求解，并将对应的坐标值投影到凿岩断面上，如图2中的A区域所示。同理，分别令钎头摆角和钎头俯角最大，得到B和C区域的点云图。各区域对应的关节转角参数，如表2所示。

将蒙特卡洛法和改进算法生成的点云图进行对比，改进算法生成的随机点在边界处密度高于作业面内部，相比于蒙特卡洛法具有明显的优势，仅需生成5 000个随机点，就高于常规算法50 000个随机点的边界密度，且计算效率也有较大提升。

表2 凿岩边界关节转角Tab.2 Joint Angle of Drilling Boundary

图2 边界点密度分布对比Fig.2 Comparison of Boundary Point Density Distribution

3.2 作业面积求解

将其按z方向划分为m行，提取凿岩作业面上的边界随机点，如图3所示。每行的宽度为b=（zmax-zmin）/m，在每一行中搜寻右边界线y方向的最大值yimax和最小值yimin。当凿岩作业覆盖面的行数m足够大时，可将每行的曲边梯形面积近似按直角梯形面积进行计算，则凿岩作业覆盖面的总面积为：

根据上式（2），当 m=50，100，200 行时，凿岩作业覆盖面分别为 29.452m2，28.998m2，28.843m2，而理论作业面积为 28.748m2，由此可知，当作业面划分为50行时，每行宽度较大，从而产生一定的误差；当作业面划分为200行时，面积的计算值与实际值已经十分接近，误差仅为0.33%。考虑到求解效率和计算精度，划分为100行已能满足工程机械的要求。

图3 作业面积层切图Fig.3 Drilling Area Floor Cut Map

4 结构参数对作业面积的影响

采用分段极值法和层切法，分别计算各构件在不同长度或关节变量时对应的作业面积，利用Matlab得到各结构参数与作业面积的拟合关系曲线或响应面。

4.1 构件长度的影响研究

各构件长度对作业面积的拟合曲线，如图4所示。作业面积与万向节、动臂、关节两端铰点距离a2、a3、a4和铲臂铰点至钎头水平距离a6近似为线性关系，其中，a6的增长率最大，而掘进臂支座到凿装机前支点的距离a1对作业面积无实际影响。

4.2 各关节变量的影响研究

万向节摆角θ1和铲臂摆角θ5的转角范围与作业面积的响应面，如图 5（a）所示。当 θ1和 θ5上限在（0～45）°时，其与作业面积近似为线性增大的关系，对比作业面积随θ1和θ5的增长速率可发现，θ1对作业面积的影响较大；动臂俯仰角θ2和关节俯仰角θ3的转角范围与作业面积的响应面，如图5（b）、图5（c）所示。作业面积随θ2和θ3的转角范围呈非线性增长的关系，当-45°≤θ2≤45°、-95°≤θ3≤-5°时，作业面积增大速率相对较大，随着转角范围的进一步扩大，增大速率趋于平缓。对比可知，θ2对作业面积的影响较大。

图4 构件长度对作业面积的影响Fig.4 Effect of Link Length on Drilling Area

图5 关节转角范围对作业面积的影响Fig.5 Effect of Joint Angle Range on Drilling Area

5 结论

（1）采用D-H法建立了其掘进臂的运动学数学模型，获得了凿岩机构钎头的空间位置矢量。提出一种基于压缩关节自由度的分段极值法，将同向关节变量压缩，生成凿岩边界作业面。运用层切法提取边界处随机点，求解得到液压凿装机的作业面积为28.843m2，误差仅为0.33%。

（2）在上述方法基础上，对掘进臂的结构参数对作业面积的影响进行了分析，其中，铲臂铰点至钎头水平距离a6和万向节摆角θ1以及动臂俯仰角θ2对作业面积的影响较大，在设计范围内，作业面积随a6和θ1呈线性增大的关系，随θ2呈非线性增大的关系，当 -45°≤θ2≤45°时，作业面积增大速率较大，但 θ2转角范围进一步扩大时，增大速率逐渐放缓。在掘进臂设计和优化时，可适当增大铲臂长度、冲击部伸缩长度、万向节摆角和动臂俯仰角，以提高其作业范围。