钱亚平,张 瑜,顾寄南

(1.江苏理工学院 机械工程学院，江苏 常州 213001；2.江苏大学 制造业信息化研究中心，江苏 镇江 212013)

0 引 言

因具有传动效率高、传动比大等优点，齿轮机构被广泛应用机械手、汽车变速箱、自动化生产线等传动系统中，齿轮传动的优化设计也因而逐渐成为了研究热点[1]。

齿轮传动各变量之间的关系复杂，与一般的优化设计问题相比，其难度较大[2]。遗传算法是模拟生物在自然环境中的遗传和进化过程而形成的一种自适应概率搜索算法[3]，在复杂非线性系统全局优化问题中应用广泛。

目前，国内外相关学者针对遗传算法优化齿轮传动进行了大量的理论分析和研究工作。罗贤海等[4]采用局部补差算子、基于模糊因子函数的适应度函数和模拟退火对遗传算法进行改进，与传统遗传算法相比优化效果明显改善；蒿丽萍等[5]以三级斜齿圆柱齿轮减速器为研究对象，采用Matlab优化工具箱对其进行多目标可靠性优化设计，其结果表明：该优化方法能提高优化设计效率和设计质量；CHEN等[6]利用混合遗传算法求解齿轮最优设计变量和系统质量，结果表明：遗传算法在齿轮优化设计中具有高效性和可行性；ZHANG G等[7]用遗传算法对球磨机齿轮传动进行体积和可靠性的全局优化，通过建立克里格法模型提高了全局优化运算效率。遗传算法在齿轮传动优化领域已取得一定成就，但也存在自身的局限性，如编码单一、容易过早收敛等，因此，基于不同的研究对象应合理选择编码方式和参数设定。

本研究以某自动化生产线中推料机齿轮传动系统为研究对象，针对系统传动平稳性要求，建立以体积和重合度为优化目标的数学模型；采用离散编码与连续编码相结合的混合编码方式以及跨世代精英选择策略，构造带罚函数的适应度函数；并探讨惩罚因子、加权系数对优化结果的影响，选择较优参数组合；最后用改进的遗传算法优化推料机齿轮的设计参数。

1 推料机工作原理和优化目标

本研究以某自动化生产线的推料机为原型，按照1∶1比例对其进行三维建模。

其三维模型如图1所示。

图1 推料机三维模型1-交流伺服电机；2-导柱；3-推爪；4-导条；5-齿轮座

该推料机以交流伺服电机1为动力源，经过一级齿轮减速后，通过齿轮齿条传动实现推爪4的往复运动。

其传动简图如图2所示。

图2 推料机齿轮传动结构

其中，推爪末端与物料一端接触，将其推至下一工位，导条4和导柱2用于控制推爪的运动路径。图1所示位置，推爪向左移动为工作行程，返回则为空行程，由光纤传感器对两端极限位置进行监测。

推料机作为生产线的关键环节之一，对生产节拍和可靠运行均起着重要作用。依据生产线实际情况，加工过程对物料运行时间、姿态和位置精度都有着较高要求，因此，必须保证推料机的运动精度和平稳性。

该推料机主要传动机构为齿轮传动，影响齿轮传动平稳性的因素有很多，但几乎都与重合度有关[8]，且重合度越大，平稳性越高；但重合度的增加通常会导致体积增大，从而加大齿轮间的换向冲击。因此，本研究选择重合度和体积作为联合优化目标，使得机构在保证平稳性要求的基础上，体积也在合理的结构范围内。

2 遗传算法求解优化问题

在实际机械优化设计中，通常需考虑到多个优化目标，且问题被约束在一定的条件范围内，故可将机械多目标优化问题描述为：

f(x) minf(x)=[f1(x),f2(x),…,fn(x),]T
s.t.x∈X
gi(x)≤0,u=1,2,…,m
hj(x)=0,v=1,2,…,l

(1)

式中：x—优化变量；f(x)—优化函数；X—变量范围；gi(x)，hj(x)—约束条件。

基本遗传算法本身不具有约束函数的处理能力，可引入新的目标函数：

(2)

式中：G[gi(x)]，H[hj(x)]—惩罚项；r(k)—惩罚因子。

于是，新的目标函数即为原优化问题的无约束形式：F(x)(x,rk),k=1,2,3,…,x∈X。

式(2)中，当解x不满足约束条件时，惩罚函数的值会变大，从而导致目标函数的值增大，在寻优过程中被淘汰。随着进化代数增加，不在约束范围内的个体将逐渐被淘汰，最后趋近于零，函数F(x)的收敛解x(rk)即为式(1)的优化解。

针对上述优化形式，采用了带惩罚函数的遗传算法，其求解步骤为：

(1)建立带惩罚函数的目标函数：

(3)

惩罚因子r(k)既可以是常数，也可是随着进化代数逐渐变化的序列；

(2)标准遗传算法采用二进制编码，其编码方式单一，局限性较大；实际优化问题中需根据变量的特点，对不同类型的变量采用不同的编码方式，在该优化中采用离散与连续混合编码的方式。

针对离散变量，本研究利用一个数组表示其可选值的集合，在Matlab中，通过M文件xVariable.m来实现：

functionxt=xVariable(x)
allxt=[x1,x2,x3,…];
x(1)=allxt[x(1)];%t=1,2,…,ζ

(4)

(3)在ζ维解空间内随机产生初始种群P0，种群大小为N，给定搜索精度ε；

(4)对种群Ps进行交叉、变异操作，产生新的子代种群Qs；

(5)基于目标函数，对父代Ps与子代Qs中的所有个体进行适应度值计算，从而获取最优个体X*(s)，若满足搜索条件|X*(s)-X*(s-1)|≤ε，则输出最优解X*(s)；若不满足，执行步骤(6)；

(6)基于拥挤度比较算子将父代种群Ps与子代种群Qs排序，并按照精英选择策略进行修剪，得到种群Ps+1，种群大小保持为N；返回步骤(4)。

3 推料机齿轮传动优化设计

3.1 数学模型的建立

机构采用MSMA082A1H型交流伺服电机，电机转速为3 000 r/min，输入功率为0.75 kW，减速比为1∶3。

系统工作时载荷稳定，寿命为10年(每年工作300天)。

小齿轮材料为40Cr调质，硬度260 HBS。

大齿轮材料为45钢调质，硬度为230 HBS。

许用应力[σH1]=700 MPa，[σF1]=590 MPa，[σH2]=585 MPa，[σF2]=445 MPa，7级精度。

根据以上工作要求，本研究建立齿轮传动优化数学模型。

3.1.1 目标函数

(1)第一目标函数

齿条的运动速度决定推爪的推料速度，物料传输间隔为2 s，因此，机构每两秒完成一次往复运动。推进距离为600 mm，即齿轮3的线速度为600 mm/s，转速为1 000 r/min，则有mz3=36 mm为确定值，因此，只需以齿轮1和齿轮2的体积和作为体积目标函数，即：

(5)

其中：小齿轮齿宽b1比大齿轮齿宽b2宽5 mm。

(2)第二目标函数

齿轮重合度表示在同一时刻进入啮合的齿数，轮齿在进入啮合和退出啮合的瞬间都会产生一定的冲击，若在前一对轮齿退出啮合前就有下一对轮齿已进入啮合，会使传动相对平稳，因此，重合度越大，机构平稳性越好。

重合度函数为：

(6)

式中：z1，z2—两啮合齿轮齿数。

3.1.2 设计变量

设计变量由影响目标函数的主要因素确定，一般选取能用来描述结构特征且易独立控制的参数作为设计变量。

根据目标函数确定的设计变量有：

小齿轮齿数z，模数m，齿宽系数φd。

因此，设计变量为：X=[x1,x2,x3]=[m,z,φd]。

3.1.3 约束条件

在闭式齿轮传动中，齿轮的主要失效形式是齿面接触疲劳点蚀和轮齿弯曲疲劳折断，两种失效形式分别与齿面接触应力大小和轮齿弯曲应力大小有关。因此，以满足小齿轮承载能力的性能约束包括：

齿轮接触应力约束：g1(x)=σH1-[σH1]≤0；

轮齿弯曲应力约束：g2(x)=σF1-[σF1]≤0。

齿轮模数m是轮齿抗弯能力的重要标志，而且是一系列标准数，取常用模数系列：1.5≤x1≤20；

为防止根切，齿数约束为：x2≥17；

根据齿轮相对于轴承的非对称布置，齿宽系数约束：0.2≤x3≤1.2。

通过选择相应参数，机构的目标函数如下式所示：

(7)

性能约束条件如下式所示：

(8)

3.1.4 适应度函数

推料机齿轮传动系统优化设计的目标函数为体积函数和重合度函数，二者数量级差异较大，体积值数量级平均为104，而重合度为1～2之间，为了避免优化过程中重合度被忽略，需对重合度函数施加级差因子λ=104，并将重合度函数变换为：λ(5-f2)，以保证适应度函数始终为正值。

针对多目标优化求解方法，常用的有权重系数法、排列选择法、共享函数法等。权重系数法可将多目标优化问题转换为单目标优化问题，可行性强，通过探讨权系数对优化结果和收敛性能的影响，选择合适的权系数组合W1、W2。

综上所述，目标函数为：

(9)

3.2 算法参数分析

标准遗传算法具有自身的局限性，根据不同的优化实例需做适当的改进才能更好地发挥算法的优越性。算法改进中最重要的方向是针对参数的调整[9-11]。

本节主要对惩罚因子、权系数进行分析调整。

(1)惩罚因子

惩罚函数是对约束条件的处理，惩罚因子仅表示对超出约束范围变量的惩罚情况，为了避免干扰，本研究选用体积单目标函数分析惩罚因子的变化对优化结果的影响，如表1所示。

表1 优化结果随k值变化情况

当k=0时，表示算法不使用罚函数的情况，此时优化问题属于无约束优化，体积值远小于k不为零的情况。

经验证，该组变量值并不能满足约束。随着惩罚力度的加大，各变量值变化幅度减小，优化结果接近目标函数的最优解；反之，若惩罚因子过大，将排除掉几乎所有不在约束范围内的个体，减少了新个体的引入，容易使函数陷入局部最优解。

为了分析惩罚因子对收敛效果的影响，笔者选取不同惩罚因子在100次优化中收敛到最优解的次数，绘制其关系曲线图，如图3所示。

图3 k为不同值时收敛次数

分析曲线可知：k越大收敛次数越少，当k>=7时，这种变化趋势尤为明显。为了在使用约束优化的同时保证算法的收敛性，选用k=6。

(2)权系数分配

为清楚观察到各参数的变化规律，此处将各参数统一选用实数编码。分析加权系数W1、W2选用不同值时优化结果的变化情况，如表2所示。

对于推料机的齿轮传动系统，较高的平稳性不仅能保证物料在推进过程中不受损伤，准确进入到加工位置；还能减小系统震动，延长零部件使用寿命。分析表2可知：随着平稳性权系数的不断增加，重合度数值不断增大，与此同时体积也不断增大；当W2>0.7后，重合度数值的增大反而会增大适应度函数值，因此优化结果后期变化不大。

结合数据分析和机构实际需求，本研究选用W1=0.3、W2=0.7的权系数组合。

3.3 优化结果分析

Fmincon函数为Matlab最常用优化函数之一，能对非线性等式或不等式约束优化问题的最值进行求解。

Fmincon函数与改进的遗传算法对推料机齿轮传动的结果对比如表3所示。

表2 不同权系数时优化结果

表3 fmincon函数与改进遗传算法优化结果对比

在两种优化方法中，多目标优化和单目标优化相比，重合度有显著增加，而体积也在允许的增长范围内，表明了多目标优化能避免单目标优化顾此失彼的缺点。

对比两种优化方法，改进的遗传算法较fmincon函数优化效果更明显，体现了其在多维非线性复杂优化问题上的优越性。针对遗传算法对单目标和多目标优化进行分析可得，重合度增加了3.03%，能有效提高推料机传动系统的平稳性。

综上所述，当惩罚因子指数k=6，体积加权系数W1=0.3，重合度加权系数W2=0.7时，用遗传算法对推料机齿轮参数进行优化设计，优化结果为：x=[2.0,26.0,0.22]，体积V=1.473 9×105mm2，重合度ε=1.715 9。

推料机齿轮传动系统优化设计结果为：z1=26，z2=78，z3=18，m1=m2=m3=2，b1=17，b2=12，b3=18。

与优化前对比，该设计方案提高了传动的平稳性，且体积在合理的结构范围内。

4 结束语

(1)本研究以推料机为研究对象，同时考虑到传动平稳性和体积两方面，建立了其多目标优化数学模型；采用离散编码和连续变量编码相结合的编码方式，选取跨世代精英选择策略，用加权系数法构建带罚函数的适应度函数，并探讨了惩罚因子、加权系数对优化结果的影响，结果表明：当惩罚因子指数k=6，体积加权系数W1=0.3，重合度加权系数W2=0.7时，算法易收敛且优化效果好；

(2)本研究利用遗传算法对推料机齿轮传动系统进行了多目标优化设计，优化结果为：齿轮齿数值为z1=26，z2=78，z3=18，模数值为m1=m2=m3=2，齿宽值为b1=17，b2=12，b3=18。

经对比分析，齿轮传动重合度增加了3.03%，有效提高了推料机传动系统的平稳性。