刘旭堂

摘要：可导函数的一致连续性是高等数学当中的重要内容，本文主要研究了如何通过一致连续性的定理来对可导函数进行一致连续性判断的方法，使可导函数的一致连续性判断更加简洁、明了。

关键词：可导函数；一致连续性；判定；方法

在高等数学中，有很多种方法可以证明函数的一致连续性，但是大多数都是使用定义来进行判定，比如：假设f（x）为定义在区间I上的函数，如果对于任意的ε>0，存在δ=δ（ε）>0，对于任意的x′，x〞∈I，那么只要|x′-x〞|<ε，我们就可以说f（x）在区间I上是一致连续的。还可以根据一致连续性定理来进行判定，比如：假设函数f（x）在闭区间[a，b]上是连续的，那么f（x）在闭区间[a，b]上就是一致连续的。由此可见，利用定义来证明函数的一致连续性比较复杂，使用一致连续性定理来证明函数的一致连续性则比较简单，但是定理证明的范围仅限于闭区间，如果函数是在其他类型，如开区间或者半开半闭区间则不适用，如何找到一个方便实用的函数连续一致性判定方法称为数学界一直以来重点研究的问题。

引理：如果f（x）在区间I1上具有一致连续性，在区间I2上也具有一致连续性，并且I1∩I2≠Φ，那么f（x）在I1∪I2上具有一致连续性。

1.利用导数判别可导函数的一致连续性

定理1：假设函数f（x）在区间I上可导，并且它的导函数f′（x）在区间I上有界，那么f（x）在区间I上具有一致连续性。

推论1：假设f（x）在[a，﹢∞]上是连续的，并且在（a，﹢∞）上可导，如果f′（x）在﹢∞的某邻域内有界，那么f（x）在[a，﹢∞]上是一致连续的。

证明：由上述条件可知，?X>a和L>0，當x∈[X，﹢∞）时，| f′（x）|≤L，通过定理1可以推算出f（x）在[X，﹢∞）上具有一致连续性。由于f（x）在[a，﹢∞）上是连续的，所以f（x）在[a，X]上具有一致连续性。通过引理1可得，f（x）在[a，﹢∞）上具有一致连续性。

推论2：如果f（x）在（a，b）上可导，并且f′（x）在点a的某右邻域内有界，在点b的某左邻域内有界，那么f（x）在（a，b）上具有一致连续性。

推论3：如果f（x）在（a，b）上可导，并且 |f′（x）|和 |f′（x）|能够同时存在，那么f（x）在（a，b）上具有一致连续性。反之则不能够成立。

定理2：假设f（x）在[a，﹢∞）上是连续的，并且在（a，﹢∞）上可导， |f′（x）|=A，那么f（x）在[a，﹢∞）上具有一致连续性的充要条件为A<﹢∞。

例1：f（x）=logax，x∈[c，﹢∞），其中a>0，并且a≠1，c>0。f′（x）= · |f′（x）|=0，通过上述定理2可得，f（x）=logax在[c，﹢∞）上具有一致连续性。

2.采取比较判别法判定函数的连续一致性

定理3：假设函数f（x）和g（x）在区间I上可导，如果存在L>0，能够使?x∈I，有|g′（x）|

证明：假设f（x）在区间I上具有一致连续性，那么?ε>0，?δ>0，当x1，x2∈I，并且|x1-x2|<δ时，|f（x1）-f（x2）|< 。通过柯西中值定理能够得出，在x1与x2之间存在一点ξ，能够使| |=| |

假设函数f（x）在区间I上具有一致连续性，从上述结论中可知，g（x）在区间I上也具有一致连续性，所以当g（x）在区间I上不具有一致连续性时，f（x）在区间I上也不具有一致连续性。

推论1：假设函数f（x）和函数g（x）在（a，b]上是连续的，并且在（a，b）内可导， | |=l，那么（1）当0

证明：（1）当0

如果f（x）在（a，b]上具有一致连续性，那么f（x）在（a，c]上也具有一致连续性，根据定理3可得，左端不等式g（x）在（a，c]上也具有一致连续性，由于g（x）在[c，b]上具有连续性，那么g（x）在[c，b]上具有一致连续性。

如果g（x）在（a，b]上具有一致连续性，由右端不等式可以得出，f（x）在（a，b]上也具有一致连续性。

（2）当l=0时，由函数的局部保号性可得，存在c∈（a，b），能够使x∈（a，c]时，| |<1，也就是| f′（x）|<| g′（x）|。由（1）的推导过程可知，如果g（x）在（a，b]上具有一致连续性，那么f（x）在（a，b]上也具有一致连续性。

（3）当l=﹢∞时， | |=0，由（2）的结论可知，如果f（x）在（a，b]上具有一致连续性，那么g（x）在（a，b]上也具有一致连续性。所以当g（x）在（a，b]上不具有一致连续性时，f（x）在（a，b]上也不具有一致连续性。

参考文献：

[1]甘宗怀， 李秋林. 关于可导函数一致连续性的判定定理[J]. 高师理科学刊， 2016， 29（5）：38-39.

[2]张彩霞， 李文赫. 可导函数的一致连续性判别[J]. 哈尔滨商业大学学报（自然科学版）， 2013， 29（4）：496-498.